1、高考总复习：随机事件及其概率编稿：孙永钊 审稿：张林娟【考纲要求】1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2、了解两个互斥事件的概率加法公式。【知识网络】概率随机事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率应用【考点梳理】知识点一、事件的有关概念1事件在一定条件下出现的某种结果。在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能：（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件；（3）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。必然事件和不可能事件的统称为确
2、定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母A、B、C表示。2. 基本事件一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n个，那么这个试验由n个基本事件组成。3基本事件的特点（1）不能或不必分解为更小的随机事件；（2）不同的基本事件不可能同时发生；（3）一次试验中的基本事件是彼此互斥的；（4）试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘.知识点二、频率与概率1.频数与频率在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称为事
3、件A出现的频率。2.概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，则这个常数就叫事件A的概率，记作。概率的基本性质任何事件的概率的取值范围：；P（必然事件）1，P（不可能事件）0。3.频率与概率的区别与联系频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率。概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。4概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策
4、提供关键性的依据；（2）在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率；（3）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频繁随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率来估计概率P（A）。要点诠释：1、频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率。2、求概率的方法:(1)等可能性事件的概率,步骤:明确事件A的意义,确定是否等可能性事件.求出一次实验可能出现的结果的总数n;求
5、m,n时,要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n和分子m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理)。用等可能性事件概率公式P=求出概率值. 知识点三、互斥事件有一个发生的概率1. 互斥事件的概念不可能同时发生的事件叫做互斥事件一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥2互斥事件有一个发生的概率对于事件A和事件B，用A+B表示事件A、B中有一个发生。如果A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，则：。一般地，如果彼此互斥，则：。3对立事件的概念其中必有一个发生的两个互斥事件，叫做互为对立事件。事件A的对
6、立事件记作。4对立事件的概率如果A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生，则：。一般地，。要点诠释：当计算事件A的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些。涉及“至少一个”多转化为求对立事件的概率。5对立事件与互斥事件的区别和联系：互斥事件研究的是两个事件之间的关系，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事
7、件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。【典型例题】类型一、概率的相关概念【例1】下面事件：实数的绝对值大于0；从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；在标准大气压下，水在100C沸腾；掷一枚硬币，出现反面；异性电荷相互吸引；3+510；随机事件有 ；必然事件 ；不可能事件： .【思路点拨】通过本例，要加深对必然事件，不可能事件，随机事件的理解.【解析】随机事件：、；不可能事件：；必然事件：、.【例2】一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：（1）“取出的球是红球”是什么事件？（2）“取出的球是黑球
8、”是什么事件？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？【思路点拨】结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。【解析】（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。【点评】对随机事件的理解应包含下面两个方面：（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；（2）随机事件可以重复地进行大量试
9、验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。【例3】已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：若任取xA，则xB是必然事件若xA，则xB是不可能事件若任取xB，则xA是随机事件若xB，则xA是必然事件其中正确的个数是( )A、1B、2C、3D、4【思路点拨】本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.【解析】答案：C正确，错误.【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。举一反三：【变式】事件“时，”是（）A.必然事件 B.不可能事
10、件 C.随机事件 D.以上均不正确【答案】A类型二、随机事件的频率与概率1随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；2概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。【例4】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8101291016进球次数m6897712进球频率（1）计算表中进球的频率；（
11、2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？【思路点拨】解答本题可根据频率的计算公式，其中为相同条件下重复的试验次数，为事件A出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率。【解析】（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为。【例5】在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验(
12、1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率【思路点拨】采用列举法列举出基本事件个数，再利用概率公式加以求解。【解析】设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3
13、)，故P(A).(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，故P(B)1().【总结升华】将分类讨论的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，作到不重不漏举一反三：【变式】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率【解析】法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表
14、示“一个月内被投诉的次数为1”，P(AB)P(A)P(B)0.40.50.9.(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”P(Ai)0.4，P(Bi)0.5，P(Ci)0.1(i1,2)两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，P(D)P(A1C2A2C1)P(B1B2)P(A1C2)P(A2C1)P(B1B2)，由事件的独立性得P(D)0.40.10.10.40.50.50.33.法二：(
15、1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”P(A)0.1，P(B)1P(A)10.10.9.(2)同法一类型三、互斥事件、对立事件的概率【例6】甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个、判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？【思路点拨】先设事件，再分析事件的性质，然后根据互斥事件概率求法求解。【答案】甲、乙两人依次抽一题的结果有个（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有个，所求概率；（2）法一：因为甲，乙二人都没有抽到选择题的概率是，故甲
16、，乙二人中至少有一人抽到的概率为.法二：甲，乙二人中至少有一人抽到选择题包含着三种情况：甲，乙二人都抽到选择题，其概率为甲抽到选择题，乙抽到判断题，其概率为甲抽到判断题，乙抽到选择题，其概率为，三种情况是三个互斥事件，故甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率P=.【总结升华】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便。举一反三：【变式1】【高清课堂随机事件及其概率例题7】从
17、装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】C.【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率【答案】（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则互斥
18、，且，故于是解得（舍去）（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故.【例7】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元（）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率【解析】记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”，（）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品
19、，商场获得利润不超过元”表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”则，【变式】某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率.【解析】（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7
20、环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=10.97=0.03.【例8】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社高中4530初中151020 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.(I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.【思路点拨】（I）根据围棋社共有60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数（II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，根据概率公式得到结果【解析】（I）围棋社共有60人， 由可知三个社团一共有150人. （II）设初中的两名同学为，高中的3名同学为, 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果: ，共10个基本事件. 设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， 则事件共有 6个基本事件. . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为. 【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数