1、中考总复习：圆综合复习知识讲解（提高）责编：常春芳【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半
2、径；圆是到定点的距离等于定长的点的集合要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小2.与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是O的直径，直径是圆中最长的弦弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是O中的弧，分别记作， 半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆 劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 等弧：
3、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中AOB，BOC是圆心角 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中BAC、ACB都是圆周角要点诠释：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质1.圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两
4、条弧如图所示 要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5)若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立因此，垂径定理也称“五二三定理”即知二推三 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径3.弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等4.圆周角定理及推论 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：
5、圆周角性质的前提是在同圆或等圆中考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示d表示点到圆心的距离，r为圆的半径点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内dr点在圆上dr点在圆外dr 要点诠释：(1)圆的确定：过一点的圆有无数个，如图所示过两点A、B的圆有无数个，如图所示经过在同一直线上的三点不能作圆不在同一直线上的三点确定一个圆如图所示 (2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点它到三角
6、形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径如图所示2.直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表 圆的切线 切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线这个公共点叫切点 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线友情提示：直线l是O的切线，必须符合两个条件：直线l经过O上的一点A；OAl切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 三角形的内切圆：与三角形各边
7、都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(Rr)d为圆心距要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍其中相切和相交是重点 同心圆是内含的特殊情况 圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解 “r1r2”时，要特别注意，r1r2考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心
8、外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径2.正多边形的性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比3.正多边形的有关计算 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算
9、，考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：，其中为n的圆心角所对弧的长，R为圆的半径2.扇形面积公式：，其中圆心角所对的扇形的面积，另外3.圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和要点诠释：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法考点六、四点共圆1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般
10、简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距. 2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆 （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆 4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相
11、交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理图形已知结论证法相交弦定理 O中，AB、CD为弦，交于P.PA
12、PBPCPD.连结AC、BD，证：APCDPB.相交弦定理的推论 O中，AB为直径，CDAB于P.PC2PAPB.用相交弦定理.切割线定理 O中，PT切O于T，割线PB交O于APT2PAPB连结TA、TB，证：PTBPAT切割线定理推论 PB、PD为O的两条割线，交O于A、CPAPBPCPD过P作PT切O于T，用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1 BC为的弦，BOC=130，ABC为的内接三角形，求A的度数.【思路点拨】依题意知为ABC的外心，由外心O的位置可知应分两种情况进行解答.【答案与解析】应分两种情况，当O在ABC内部时， 当O在ABC外部时，由BOC=130，得劣
13、弧BC的度数为130，则的度数为360130230,故A=115.综合以上得A=65或A=115.【总结升华】转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决.举一反三：【变式】如图，AOB100，点C在O上，且点C不与A、B重合，则ACB的度数为（ ）AB OA B或 C D 或【答案】 解：当点C在优弧上时，ACBAOB10050，当点C在劣弧上时，ACB（360AOB）（360100）130故选D类型二、与圆有关的位置关系2如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积（答案保留） 【思路点拨】设正方形外接圆，内
14、切圆的半径分别为R，r，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可【答案与解析】解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，如图，连接OE、OA，则OA2-OE2=AE2，即R2-r2=（）2=（）2=4，S圆环=S大圆-S小圆=R2-r2，（2分）=（R2-r2），（3分）R2-r2=（）2=4， S=4（cm2） 【总结升华】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可3如图，已知O的半径为6cm，射线PM经过点O，射线PN与O相切于点QA,B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方
15、向运动设运动时间为s（1）求PQ的长；（2）当为何值时，直线与O相切？ 【思路点拨】 (1)连OQ,则OQPN,由勾股定理可以求得PQ的长；(2)由直线AB与O相切,先找出结论成立的条件,当BQ等于O的半径时,直线AB与O相切,再根据直线AB与O相切时的不同位置,分类求出的值.【答案与解析】解 （1）连接OQPN与O相切于点Q，OQPN, 即，（2）过点作，垂足为点的运动速度为5cm/s，点的运动速度为4cm/s，运动时间为s，PABPOQ, PBA=PQO=900，四边形为矩形BQ=OCO的半径为6，BQ=OC=6时，直线与O相切 当运动到如图1所示的位置时由，得解得当运动到如图2所示的位置
16、时由，得解得所以，当为0.5s或3.5s时,直线与O相切【总结升华】 本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例4】【变式】已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE（1）求证：BE与O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，求BF的长 【答案】 （1）证明：连结. 与相
17、切，为切点. 直线是线段的垂直平分线. 是的直径. 与相切.（2）解：过点作于点，则. 在中， 由勾股定理得 在中，同理得 是的中点， ， AMDABF 类型三、与圆有关的计算4如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2 T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值 【思路点拨】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐
18、角三角函数即可求得其比值；（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比【答案与解析】解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形所以r：a=1：1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以r：b=AO：BO=sin60=：2； （2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4【总结升华】计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方举一反三：【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正
19、六边形，求地基的周长和面积（结果保留根号）【答案】解：连接OB、OC；六边形ABCDEF是正六边形，BOC=60，OBC是等边三角形，BC=OB=8m，正六边形ABCDEF的周长=68=48m过O作OGBC于G，OBC是等边三角形，OB=8m，OBC=60，OG=OBsinOBC=8=4m，SOBC=BCOG=84=16，S六边形ABCDEF=6SOBC=616=96m2类型四、与圆有关的综合应用5（2014孝感模拟）如图，AB是O的直径，C为O上一点，BAC的平分线交O于点D，过点D作EFBC，交AB、AC的延长线于点E、F（1）求证：EF为O的切线；（2）若sinABC=，CF=1，求O的
20、半径及EF的长【思路点拨】（1）连接OD，只要证明ODEF即可（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到CDFABDADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值【答案与解析】（1）证明：连接OD；AB是直径，ACB=90；EFBC，AFE=ACB=90，OA=OD，OAD=ODA；又AD平分BAC，OAD=DAC，ODA=DAC，ODAF，ODE=AFD=90，即ODEF；又EF过点D，EF是O的切线（2）解：连接BD，CD；AB是直径，ADB=90，ADB=AFD；AD平分BAC，OAD=DAC，BD=CD；设BD=CD=a；又EF是O的切线，CDF=DAC，CDF=OAD=DA
21、C，CDFABDADF，=，=；sinABC=，设AC=3x，AB=4x，=，则a2=4x，在RtCDF中，由勾股定理得 DF2=CD2CF2=4x1；又=，4x1=1（1+3x），x=2，AB=4x=8，AC=3x=6；EFBC，ABCAEF，=，=，AE=，在RtAEF中，EF=综上所述，O的半径及EF的长分别是4和【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例3】【变式】（2015宁波模拟）已知：如图，ABC中，BAC=90，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半
22、径画圆（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为8，tanC=，求线段AB的长，sinADB的值【答案】解：（1）连接OD，BA=BD，BOAD，ABO=DBO，在ABO和DBO中，ABODBO（SAS），OD=OAODB=OAB=90，BDOD，BC是O的切线；（2）在RTODC中，CD=6，OC=10，AC=18在RTABC中，AB=ACtanC=18=24，ADB=DAB=AOB，sinADB=sinAOB=，6 （1）已知：如图1，ABC是O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3
23、）如图3，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明 【思路点拨】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明PCE是等边三角形利用CE=PC，E=60，EBC=PAC，得到BECAPC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BEPB交PA于E，证明ABECBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证ABQCBP，所以BQ=BP又因为APB=30所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC【答案与解析】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CEBAC=CPE=60，PE
24、=PC，PCE是等边三角形，CE=PC，E=60；又BCE=60+BCP，ACP=60+BCP，BCE=ACP，ABC、ECP为等边三角形，CE=PC，AC=BC，BECAPC（SAS），PA=BE=PB+PC （2）过点B作BEPB交PA于E1+2=2+3=901=3，又APB=45，BP=BE，；又AB=BC，ABECBP，PC=AE（3）答：；证明：过点B，作BMAP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，BAP=BCP，AB=BC，ABQCBP，BQ=BPMP=QM，又APB=30，cos30=，PM=PB，【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识要熟悉这些
25、基本性质才能灵活运用解决综合性的习题举一反三：【变式】（1）如图，M、N分别是O的内接正ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求MON的度数；（2）图、中，M、N分别是O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、正n边形ABCDEFG的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图中MON的度数是 ，图中MON的度数是 ；由此可猜测在n边形图中MON的度数是 ；（3）若3n8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 . 【答案】解：（1）连接OB、OC；ABC是O的内接正三角形，OB=OCBOC=120，OBC=OCB=OBA=30；又BM=CN，OBMOCN， MOB=NOC，MON=BOC=120；（2）90；72； （3）.