1、不等关系编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 了解不等式（组）的实际背景，会用不等式表示不等关系；2. 了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系，学会比较两实数的大小的方法；3掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一：符号法则与两实数大小的比较1. 实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：； 两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； 两个异号实数相乘，积是负数符号语言： 任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.3. 实数的运算性质
2、与大小顺序之间的关系要确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系即可：对任意两个实数、：；.要点诠释：等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，它是不等式这一章的理论的基础，是不等式性质的证明，也是解不等式的重要依据. 要点二：不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系. 在数学意义上，不等关系可以体现.常量与常量之间的不等关系. 例如：“神舟五号”的质量大于“东方红一号”的质量；变量与变量之间的不等关系. 例如：身高不足的儿童可免费乘坐公交车；函数与函数直接的不等关系. 例如：当时，销售收入大于销售成本；一组变量之间的不等关系
3、. 例如：购置软件的费用与购置磁盘的费用之和不超过元.常见文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至少，不多于，不超过符号语言要点诠释：（1）不等关系反映在日常生活中的方方面面，在数学上，常常用不等式（组）表示不等关系；（2）不等式或：表示严格的不等式；（3）不等式读作“大于或等于”，其含义是和=中至少有一个正确，等价于“不小于”. 例如不等式32，22都是正确的. 同理“”表示和=中至少有一个正确.要点三：不等式1.定义不等式：用不等号（，）表示不等关系的式子.2.同向与异向不等式同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如与都是同
4、向不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式，例如是同向不等式.3.不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：；(2) 传递性：；(3) 加法法则（同向不等式可加性）：；(4) 乘法法则：若，则（5）除法法则：若且，则运算性质有： (1) 可加法则：；(2) 可乘法则：；(3) 可乘方性：；(4) 可开方性：.要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点四：比较两代数式大小的方法作差法：1. 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.；.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.；.要
5、点诠释：若代数式、都为负数，也可以用作商法.中间量法：若两个代数式、不容易直接判断大小，可引入第三个量分别与、作比较，若满足且，则. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1
6、.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系. 【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元（2） 总面积不超过；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有： 即此即为所求满足题
7、意的不等式组【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.举一反三：【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？【答案】假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截
8、得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：类型二：不等式性质的应用例2已知，求，的取值范围【解析】因为，所以，.两式相加，得.因为，所以，则.又，所以，则.【总结升华】求含字母的数（式）的取值范围，一是要注意题设中的条件，充分利用条件，二是在变换过程中要注意利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等. 举一反三：【变式1】已知，求下列各代数式的的取值范围. （1）； (2)； （3）【答案】（1）；（2） ；（3）.【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型三 不等式性质的应用】【变式2】已知函数，且，.求的取值范围【答案】，.设. ，.例3
9、对于实数判断以下说法的对错. （1）若，则； （2）若，则； （3）若， 则； （4）若， 则； （5）若， ， 则【思路点拨】本类题一般利用不等式的性质判断或者采用作差法判断，还可以利用特殊值法找反例否定.【解析】（）错误因为的符号不定，所以无法判定和的大小.（）正确因为， 所以0， 从而0，所以.（）正确因为，所以 ， 又，所以，综上，.（）正确两个负实数，绝对值大的反而小（）正确因为 ，所以，所以 ，从而. 又因，所以【总结升华】题目中要注意不等式变形的等价性，性质的应用要合理.举一反三：【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型二 不等式的性质】【变式1】若，则下列命题中能成立的个
10、数是()(1)； (2) ； (3)； (4)A1 B2 C 3 D4【答案】C【变式2】若，则下列结论正确的是（ ）.A. 均不成立 B. 均不成立C. 均不成立D. 均不成立【答案】B；【解析】特殊值法：取，分别代入四个选项，即得选项B.例4船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？ 【解析】设甲地与乙地的距离为，船在静水中的速度为， 水流速度为，其中.则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间平均速度， ， . 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度.【总结升华】 恰当的设出变量，利用了
11、作差法比较大小，注意符号的判断方法.举一反三：【变式】甲乙两车从地沿同一路线到达地，甲车一半时间的速度为，另一半时间的速度为；乙车用速度为行走一半路程，用速度行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达地.【答案】甲车先到达地；【解析】设从到的路程为，甲车用的时间为，乙车用的时间为，则，.，.所以，甲车先到达地.类型三：作差比较大小【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型一 比较大小】例5. 已知是实数，试比较与的大小【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要). 根
12、据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小. 比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题. 【解析】=， 当且仅当abc时取等号.【总结升华】用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；第三步：得出结论. 举一反三：【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ；（2） ；（3） ；（4）当时， .【答案】(1)； （2） ； （3）； （4）【变式2】比较下列两代数式的大小：（1）与；（2）与.【答案】（1）（2），.例6.已知()，试比较和的大小.
13、【解析】， 即，当时，；当时，. 【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论举一反三：【变式】已知，比较的大小.【答案】类型四：作商比较大小例7已知：、， 且，比较的大小.【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商比较.【解析】 、 ，.作商：(1)若， 则， ， 此时成立；(2)若， 则， 此时成立.综上，总成立.【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论.2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.举一反三：【变式】已知为互不相等的正数，求证：【答案】为不等正数，不失一般性，设这时，则有： 由指数函数的性质可知：.，即.