1、解三角形的应用举例编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2. 提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；3. 掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.【要点梳理】要点一：解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识. 实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决. 其解题的一般步骤是：(1) 准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已
2、知和所求，理清量与量之间的关系；(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4) 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.解题时应认真分析题意，做到算法简练，算式工整，计算正确.要点二：解三角形应用题的基本思路检验画图解三角形实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解要点三：实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，
3、如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示.坡比是坡角的正切值.方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针旋转到到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0360.如图，点的方位角是.方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度.如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）：东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四：
4、解三角形应用中的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1. 测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2. 测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3. 测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高.【典型例题】类型一：距离问题例1. 如图，两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点，测得，并且在两点分别测得，求河的对岸的两点间的距
5、离.【思路点拨】这是一道关于研究两个不可到达的两点之间的距离测量问题. 题目条件告诉了边的长以及以为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理、正弦定理很容易算出或；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出的距离.【解析】在中， ，在中，在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：故间的距离为【总结升华】此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.举一反三：【变式1】如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是42 m， ，.求两点的距离.【答案
6、】根据正弦定理，得，答: 两点间的距离为.【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.【答案】在中，由余弦定理得.答：隧道长约为409.2 m.类型二：测量高度问题【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】例2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.【思路点拨】找出“当看到塔的最大仰角时，某人的位置”是解决本题的关键. 先画出空间图形，再将空间问题转化为平面问题，利用正、余弦定理求解.【解析】由右图所示，过做于点，由题意知在点测得塔的最
7、大仰角，在在. 由正弦定理，得在中，在中，（米）.故所求塔高为米.【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.举一反三：【变式】在某点处测得建筑物的顶端的仰角为，沿方向前进30m，至点C处测得顶端的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端的仰角为4，求的大小和建筑物的高.【答案】所求角，建筑物高度为.类型三：方位角问题例3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路南侧远处一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，求此山的高
8、度.【思路点拨】欲求出，只需在中求出或，而在中先求边比较适合；或设，列方程解答.【解析】方法一：在中， ，根据正弦定理： = ，有， .方法二：设CD=x，则，根据正弦定理： = ，有，解得，即.答：此山的高度为.【总结升华】正确地画出其空间示意图、将空间问题转化为平面问题是解题的关键.举一反三：【变式1】两灯塔、与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏西30，灯塔在观察站南偏西60，则、之间的距离为 .【答案】如图，.【变式2】如图所示，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东20，灯塔在观察站的南偏东40，则灯塔与灯塔的距离为( )A. B. C. D.【答案】B
9、类型四：航海问题【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】例4. 如图所示，在海岸处，发现北偏东45方向，距为()km的B处有一艘走私船.在处北偏西75方向，距为2 km的处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10 km/h的速度从处向北偏东30方向逃窜,则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.【思路点拨】仔细审题，画出示意图，即可求出的方位角及由到D所需航行的时间. 这里必须弄清楚三个概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等.【解析】设缉私船追上走私船需，则，.由余弦定理，得
10、 ，由正弦定理，得，而，.，即， 答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形.举一反三：【变式1】如图，是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于点北偏东45，点北偏西60的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西60且与点相距20海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达点需要多长时间？【答案】由题意知海里，在中，由正弦定理得10.又，在中，由余弦定理得20900， (海里)，则需要的时间(小时).答：救援船到达点需要1小时【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】【变式2】如图所示，海中小岛的周围海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在处测得小岛在船的南偏东，航行海里后，在C处测得小岛在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于到直线的距离与海里的大小.于是，只要先算出 (或)，再算出到所在直线的距离，将它与海里比较即得问题的解.在中，由正弦定理知：，.于是到所在直线的距离为(海里).它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.