1、解三角形全章知识复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 通过对任意三角形边长和角度关系的度量，掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形；2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的几何计算问题及相关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理中，各边和它所对角的正弦比相等，即：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）.（2）应用正弦定理解决的题型：已知两角与一边，求其它；已知两边与一边的对角，求其它.（3）在“已知两边与一边的对角，求其它”的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要
2、点二：余弦定理在中，.变形为：，.要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：已知三边，求各角；已知两边和一边的对角，求其它；已知两边和夹角，求其它.（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别.（3）正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式(1) ，其中分别为边上的高；(2) ；(3) ，其中.要点四：三角形形状的判定方法设的三边为、，对应的三个角为、，1. 解斜三角形的主要依据（1）角与角关系：由于，由诱导公式可知，；.（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦
3、定理、余弦定理2. 常用两种途径（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.3. 几种常见的判断方法（1）若，则为等腰三角形；（2）若，则为等腰三角形或直角三角形；（3）若，则为等腰三角形；（4）若，则为等腰三角形或钝角三角形.要点诠释：（1）化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.（2）在中，熟记并会证明：角，成等差数列=60；是正三角形的，成等差数列且，成等比数列.要点五：解三角形应用举例的分类1. 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；2. 高度问题（最后都转化为解直角三角形）；3. 角度问题；4. 面积问
4、题.【典型例题】类型一：求解斜三角形中的基本元素例1. 中，为边上的一点，33，求【思路点拨】确定在在ABD中运用正弦定理，将问题转化为求的正弦值.【解析】由知由已知得，从而由正弦定理得，所以【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.举一反三：【变式1】设的内角,所对的边分别为,. 若,则角_. 【答案】由 根据余弦定理可得 【变式2】在中，已知60，45，则_【答案】由正弦定理得， 即，得类型二
5、：判断三角形的形状（或求角）例2. 在中，角所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）当，时，求及的长【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c，要求边b，考虑用余弦定理，即先求出cosC的值.【解析】（1）因为，及，所以（2）当a2，2sinAsinC时，由正弦定理，得c4由，及得由余弦定理得，得解得或所以或【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】在中，角所对的边分别
6、为，若，则的度数为 【答案 】30， ， ， 30【变式2】设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为（）A4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4【答案】D由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且ABC，可设三边长分别为 a、a-1、a-2由余弦定理可得又3b=20acosA，可得解得，故三边是6,5,4.由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=6:5:4类型三：解决与面积有关的问题例3. 已知的周长为，且（1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数【思路点拨】（1）由正弦定理及三角形的周长，易求出边的长；（2）画出简易图，将已知条件在
7、图上标出来，运用余弦定理求得角的余弦值.【解析】（1）由题意及正弦定理，得， ，两式相减，得（2）由的面积，得，由余弦定理，得，所以【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.【变式1】在中，若，则的面积_ 【答案】 由可得，故面积.【变式2】在中，已知，三角形面积为12，则 . 【答案】 三角形面积=，可得，故=.类型四：三角形的综合应用例4. 设锐角三角形的内角的对边分别为，（1）求的大小；（2）求的取值范围【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得
8、的正弦值，进而求；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（2）.由为锐角三角形知，所以由此有，所以的取值范围为【总结升华】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 举一反三：【变式1】已知为的三个内角的对边，向量m（），n（）.若mn，且，则角
9、【答案】 【变式2】已知函数，中三个内角的对边分别为.（1）求的单调增区间；（2）若，求角的大小.【答案】（I）因为 又的单调递增区间为， 所以令 解得所以函数的单调增区间为， （2）因为所以，又，所以，所以.由正弦定理， 把代入，得到，又，所以，所以.类型五：利用正、余弦定理解决实际问题例5. 在2012年的“利剑”军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如下图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离【思路点拨】首先根据问题的背景，把相关数据标注在图形中，转化到解三角形中求边长的问题，然
10、后根据已知选用相应的定理进行求解，最后把求解的结果还原为实际问题的答案【解法】解法一： ADCADB+CDB60，ACD60， DAC60， ，在BCD中，DBC1803010545，由正弦定理得，在ADB中，由余弦定理得， 或（舍去）， 蓝方这两支精锐部队的距离为解法二：（同解法一），在BCD中，DBC45，由正弦定理得， ，在ABC中，由余弦定理得， 或（舍去）， 蓝方这两支精锐部队的距离为【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当举一反三：【变式1】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C、D，测得，并且在C、D两点分别测得，求河的对岸的两点A、B间的距离。 【答案】在中， ，在中，在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：故A、B间的距离为.【变式2】AB甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【答案】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点 ABDC此时,甲、乙两船相距最近