1、解三角形全章知识复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 通过对任意三角形边长和角度关系的度量，掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形；2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的几何计算问题及相关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理中，各边和它所对角的正弦比相等，即：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）.（2）应用正弦定理解决的题型：已知两角与一边，求其它；已知两边与一边的对角，求其它.（3）在“已知两边与一边的对角，求其它”的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要
2、点二：余弦定理在中，.变形为：，.要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：已知三边，求各角；已知两边和一边的对角，求其它；已知两边和夹角，求其它.（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别.（3）正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式(1) ，其中分别为边上的高；(2) ；(3) ，其中.要点四：三角形形状的判定方法设的三边为、，对应的三个角为、，1. 解斜三角形的主要依据（1）角与角关系：由于，由诱导公式可知，；.（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦
3、定理、余弦定理2. 常用两种途径（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.3. 几种常见的判断方法（1）若，则为等腰三角形；（2）若，则为等腰三角形或直角三角形；（3）若，则为等腰三角形；（4）若，则为等腰三角形或钝角三角形.要点诠释：（1）化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.（2）在中，熟记并会证明：角，成等差数列=60；是正三角形的，成等差数列且，成等比数列.要点五：解三角形应用举例的分类1. 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；2. 高度问题（最后都转化为解直角三角形）；3. 角度问题；4. 面积问
4、题.【典型例题】类型一：求解斜三角形中的基本元素例1. 在中，.（）求的值；（）若点是的中点，求中线的长度.【思路点拨】灵活运用正弦定理和余弦定理：作出图形，先根据条件求出的值，再由正弦定理求出边和的长度，最后在中由余弦定理求出的长度. 【解析】（）如图，由=，得=，=. 由正弦定理可得，=.（）中， =. 在中，由余弦定理知 =.【总结升华】在求解三角形的基本元素的过程中，注意正弦定理和余弦定理的应用条件，少走弯路.举一反三：【变式1】在中，若，则= . 【答案】由正弦定理，解得，又，所以，所以a = b = 1【变式2】在中，若，则_.【答案】在中，得用余弦定理，化简得，与题目条件联立，可
5、解得. 故答案为. 类型二：判断三角形的形状（或求角）例2. 在中，、分别是角、的对边，且满足（1）求角的度数；（2）若，求和的值 【思路点拨】本题第（2）题是三角形的求值问题，利用第（1）问的结果和余弦定理公式，可得和的一个方程，再加上条件，易求出和的值. 所以本题的关键是解出第（1）题. 需要将题设中的边化为角的形式，利用三角的恒等变换求角. 【解析】（1）因为，由正弦定理可知，则即，所以120o(2) 由（1）可知，120o ，由余弦定理可得，又，可解得，或和.【总结升华】本题中第（1）题也可以将题设转化为边的形式，再化为因式乘积的形式，最后求的角.举一反三：【变式1】已知的周长为，且（
6、1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数【答案】1；（1）由题意及正弦定理，得， ，两式相减，得（2）由的面积，得，由余弦定理，得，所以【变式2】在中，若，请判断的形状【答案】等腰或直角三角形，即，所以，为等腰三角形或直角三角形【变式3】在中，角所对的边分别为若，则_.【答案】60类型三：解决与面积有关的问题例3. 在中，角、分别是边、的对角.已知.(1)求证:；(2)若，求的面积. 【解析】(1)证明:由 及正弦定理得: ， 即 整理得:，所以，又 所以 (2)由(1)及可得，又 所以， 所以三角形ABC的面积为【总结升华】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正
7、弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 【变式1】在中，若，则的面积_ 【答案】 由可得，故面积.【变式2】在中，已知，三角形面积为12，则 . 【答案】 三角形面积=，可得，故=.类型四：三角形的综合应用例4. 已知是三角形三内角，向量，且.（）求角； （）若，求.【思路点拨】利用条件及三角恒等变换求角；运用倍角公式，将用表示，从而得到关于的方程，求解即
8、可.【解析】（），即， .，.（）由题知，整理得， ，或，而使，舍去，.【总结升华】“以向量为背景，考查解三角形”的综合问题是现在考试的趋势和走向，而正确运用向量的有关公式与性质，使之正确的转化为解三角形问题是此类问题的关键. 在这类问题中，经常用到的向量知识有：已知两个非零向量，（1）；（2）；（3）.举一反三：【变式1】在中，已知.(1)求证:；(2)若求A的值.【答案】 (1)，即. 由正弦定理，得，. 又，.即. (2) ，. ，即. 由 (1) ，得，解得. ，. 类型五：利用正、余弦定理解决实际问题例5. 如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，
9、在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，求cos的值【思路点拨】首先根据题意利用已知条件确定相关的角度，将问题转化到三角形中，利用余弦定理求出BC的长度之后，注意到所求角与ABC是互余的关系，将所求cos转化为求sinABC.【解析】如图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcos120402202240202 800，所以BC.由正弦定理得：，故【总结升华】本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关
10、键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解举一反三：【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】【变式】如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.在中，由正弦定理知：，于是A到BC所在直线的距离为(海里)它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.