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2020版高考数学大一轮复习 第六章 数 列 6.2 等差数列及其前n项和

1、6.2等差数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系.主要考查等差数列的基本运算、基本性质,等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查难度中低档.1等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字

2、母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列那么A叫做x与y的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN)(2)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN),则akalaman.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN+)是公差为md的等差数列(6)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,构成等差数列(7

3、)若an是等差数列,则也是等差数列,其首项与an的首项相同,公差为d.5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A,B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值概念方法微思考1“a,A,b是等差数列”是“A”的什么条件?提示充要条件2等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗?提示不一定当公差d0时,Snna1,不是关于n的二次函数3如何推导等差数列的前n项和公式?提示利用倒序相加法题组一思考辨析1判断下列结

4、论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n,则它的公差为2.()(5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+,都有2an1anan2.()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列()题组二教材改编2设数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a62且S530,则S8等于()A31 B32 C33 D34答案B解析由已知可得解得S88

5、a1d32.3在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8 .答案180解析由等差数列的性质,得a3a4a5a6a75a5450,a590,a2a82a5180.题组三易错自纠4一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是()Ad BdC.d D.d答案D解析由题意可得即所以0,a7a100,所以a80.又a7a10a8a90,所以a9.(1)证明an1,化简得2,即2,故数列是以1为首项,2为公差的等差数列(2)解由(1)知2n1,所以Snn2,.证明:1.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2 (2018本溪模拟)已知an为等

6、差数列,a2a818,则an的前9项和S9等于()A9 B17C72 D81答案D解析由等差数列的性质可得,a1a9a2a818,则an的前9项和S9981.故选D.命题点2等差数列前n项和的性质例3 (1)(2019锦州质检)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57,S1021,则S15等于()A35 B42 C49 D63答案B解析在等差数列an中,S5,S10S5,S15S10成等差数列,即7,14,S1521成等差数列,所以7(S1521)214,解得S1542.(2)已知Sn是等差数列an的前n项和,若a12 018,6,则S2 020 .答案2 020解析由等差数列的性质可得也为

7、等差数列设其公差为d,则6d6,d1.故2 019d2 0182 0191,S2 02012 0202 020.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列an中,mnpq(m,n,p,qN+),则amanapaq.(2)和的性质:在等差数列an中,Sn为其前n项和,则S2nn(a1a2n)n(anan1);S2n1(2n1)an.跟踪训练2 (1)已知等差数列an,a22,a3a5a715,则数列an的公差d等于()A0 B1 C1 D2答案B解析a3a5a7 3a515,a55,a5a233d,可得d1,故选B.(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S130,S140,S140,a

8、1a14a7a80,a80,所以Sn取最大值时n的值为7,故选B.1若an为等差数列,且a72a41,a30,则公差d等于()A2 B C. D2答案B解析由于a72a4a16d2(a13d)a11,则a11.又由a3a12d12d0,解得d.故选B.2在等差数列an中,已知a12,a2a3a424,则a4a5a6等于()A38 B39 C41 D42答案D解析由a12,a2a3a424,可得,3a16d24,解得d3,a4a5a63a112d42.故选D.3已知等差数列an中,a1 0123,S2 0172 017,则S2 020等于()A2 020 B2 020C4 040 D4 040答

9、案D解析由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得,S2 0172 0172 0172 017a1 0092 017,则a1 0091,据此可得,S2 0202 0201 0101 01044 040.4程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠次第每人多十七,要将第八数来言务要分明依次弟,孝和休惹外人传”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为()A65 B176 C183 D184答案D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an,其中d

10、17,n8,S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996,解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.5已知数列an是等差数列,前n项和为Sn,满足a15a3S8,给出下列结论:a100;S10最小;S7S12;S200.其中一定正确的结论是()A B C D答案C解析a15(a12d)8a128d,所以a19d,a10a19d0,正确;由于d的符号未知,所以S10不一定最大,错误;S77a121d42d,S1212a166d42d,所以S7S12,正确;S2020a1190d10d,错误所以正确的是,故选C.6在等差数列an中,若0时,n的最小值为()A14 B1

11、5 C16 D17答案C解析数列an是等差数列,它的前n项和Sn有最小值,公差d0,首项a10,an为递增数列1,a8a90,由等差数列的性质知,2a8a1a150.Sn,当Sn0时,n的最小值为16.7(2018北京)设an是等差数列,且a13,a2a536,则an的通项公式为 答案an6n3(nN)解析方法一设公差为d.a2a536,(a1d)(a14d)36,2a15d36.a13,d6,通项公式ana1(n1)d6n3(nN)方法二设公差为d,a2a5a1a636,a13,a633,d6.a13,通项公式an6n3(nN)8(2019包头质检)在等差数列an中,若a7,则sin 2a1

12、cos a1sin 2a13cos a13 .答案0解析根据题意可得a1a132a7,2a12a134a72,所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.9等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且,则 .答案解析在等差数列中,S1919a10,T1919b10,因此.10已知数列是公差为2的等差数列,且a11,a39,则an .答案(n23n3)2解析数列是公差为2的等差数列,且a11,a39,(1)2(n1),(1)2,3(1)2,a21.2n2,2(n1)22(n2)222122(n1)1n23n3.a

13、n(n23n3)2,n1时也成立an(n23n3)2.11已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1),a12,令bn.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明,bn1bn,bn是等差数列(2)解由(1)及b11.知bnn,an1,an.12(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a17,S315.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d,由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9(nN)(2)由(1)得Snnn28n(n4)216.所以当n4时,Sn取得最小值,最

14、小值为16.13已知等差数列an的前n项和为Sn,bn且b1b317,b2b468,则S10等于()A90 B100C110 D120答案A解析设an公差为d,2d4,d2,b1b317,1,a10,S1010a1d290,故选A.14设等差数列an的公差为,前8项和为6,记tan k,则数列的前7项和是()A. B.C. D.答案C解析等差数列an的公差d为,前8项和为6,可得8a1876,解得a1,tan antan an111,则数列tan antan an1的前7项和为(tan a8tan a7tan a7tan a6tan a2tan a1)7(tan a8tan a1)77777.

15、故选C.15已知数列an与均为等差数列(nN),且a12,则a20 .答案40解析设an2(n1)d,所以,由于为等差数列,所以其通项是一个关于n的一次函数,所以(d2)20,d2.所以a202(201)240.16记m,若是等差数列,则称m为数列an的“dn等差均值”;若是等比数列,则称m为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1等差均值”为2,数列bn的“3n1等比均值”为3.记cnklog3bn,数列的前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有SnS6,求实数k的取值范围解由题意得2,所以a13a2(2n1)an2n,所以a13a2(2n3)an12n2(n2,nN),两式相减得an(n2,nN+)当n1时,a12,符合上式,所以an(nN)又由题意得3,所以b13b23n1bn3n,所以b13b23n2bn13n3(n2,nN),两式相减得bn32n(n2,nN)当n1时,b13,符合上式,所以bn32n(nN)所以cn(2k)n2k1.因为对任意的正整数n都有SnS6,所以解得k.