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2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系

1、9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主,有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,特别是距离公式,是高考考查的重点.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行:()对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1k2.()当直线l1,l2不重合且

2、斜率都不存在时,l1l2.两条直线垂直:()如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1l2.(2)两条直线的交点直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.概念方法微思考1.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率有什么关系?提示当两条直线l1与

3、l2的斜率都存在时,1;当两条直线中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,l1与l2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么?提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时,应使两平行线方程中x,y的系数分别对应相等.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1k2l1l2.()(2)已知直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1l2,则A1A2B1B20.()(3)点P(x0,y0)到直线ykxb的距

4、离为.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)若点A,B关于直线l:ykxb(k0)对称,则直线AB的斜率等于,且线段AB的中点在直线l上.()题组二教材改编2.已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1,则a等于()A. B.2 C.1 D.1答案C解析由题意得1.解得a1或a1.a0,a1.3.已知P(2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线xy10,则m_.答案1解析由题意知1,所以m42m,所以m1.4.若三条直线y2x,xy3,mx2y50相交于同一点,则m的值为_.答案9解析由得所以点(1,2)满足方程mx2y50,即m12250,

5、所以m9.题组三易错自纠5.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行,则m等于()A.2 B.3C.2或3 D.2或3答案C解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行,则有,故m2或3.故选C.6.直线2x2y10,xy20之间的距离是_.答案解析先将2x2y10化为xy0,则两平行线间的距离为d.7.若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直,则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件,得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0,解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(2018满洲里调研)已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1)ya210.

6、(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1l2时,求a的值.解(1)方法一当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于l2;当a0时,l1:y3,l2:xy10,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线可化为l1:yx3,l2:yx(a1),l1l2解得a1,综上可知,当a1时,l1l2,a1时,l1与l2不平行.方法二由A1B2A2B10,得a(a1)120,由A1C2A2C10,得a(a21)160,l1l2可得a1,故当a1时,l1l2.当a1时,l1与l2不平行.(2)方法一当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1与l2不垂直,故a1不成立;当a0时,l1:y3,l2:x

7、y10,l1不垂直于l2,故a0不成立;当a1且a0时,l1:yx3,l2:yx(a1),由1,得a.方法二由A1A2B1B20,得a2(a1)0,可得a.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1 (1)已知直线l1:x2ay10,l2:(a1)xay0,若l1l2,则实数a的值为()A. B.0C.或0 D.2答案C解析若a0,则由l1l2,故2a21,即a;若a0,l1l2,故选C.(2)

8、已知直线l1:2x(m1)y40与直线l2:mx3y20垂直,则m的值为()A.2或3 B.2C. D.答案C解析由l1l2得2m(m1)30,整理得5m30.解得m.题型二两直线的交点与距离问题1.(2018葫芦岛调研)若直线l与两直线y1,xy70分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,1),则直线l的斜率是()A. B. C. D.答案A解析由题意,设直线l的方程为yk(x1)1,分别与y1,xy70联立解得M,N.又因为MN的中点是P(1,1),所以由中点坐标公式得k.2.若P,Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点,则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.答案C解

9、析因为,所以两直线平行,将直线3x4y120化为6x8y240,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即,所以|PQ|的最小值为.3.已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是_.答案解析方法一由方程组解得(若2k10,即k,则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限,解得k.方法二如图,已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2),表示这是一条过定点P(2,1),斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限,两直线的交点必在线段AB上(不包括端点),动直线的斜率k需满足kPAkkPB.k

10、PA,kPB.k.4.已知A(4,3),B(2,1)和直线l:4x3y20,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为_.答案或解析设点P的坐标为(a,b).A(4,3),B(2,1),线段AB的中点M的坐标为(3,2).而AB的斜率kAB1,线段AB的垂直平分线方程为y2x3,即xy50.点P(a,b)在直线xy50上,ab50. 又点P(a,b)到直线l:4x3y20的距离为2,2,即4a3b210, 由联立解得或所求点P的坐标为(1,4)或.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)利用

11、距离公式应注意:点P(x0,y0)到直线xa的距离d|x0a|,到直线yb的距离d|y0b|;两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2xy80和l2:x3y100截得的线段被点P平分,则直线l的方程为_.答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上,代入l2的方程得a3(2a6)100,解得a4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例3如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(

12、2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()A.3 B.6C.2 D.2答案C解析直线AB的方程为xy4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(2,0),则光线经过的路程为|CD|2.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_.答案x2y30解析设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于xy20的对称点为P(x0,y0),由得由点P(x0,y0)在直线2xy30上,2(y2)(x2)30,即x2y30.思维升华 解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x,y)

13、关于Q(a,b)的对称点P(x,y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a,b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m,n),则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2 已知直线l:3xy30,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点;(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程;(3)直线l关于(1,2)的对称直线.解(1)设P(x,y)关于直线l:3xy30的对称点为P(x,y),kPPkl1,即31.又PP的中点在直线3xy30上,330.由得把x4,y5代入得x2,y7,点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).

14、(2)用分别代换xy20中的x,y,得关于l对称的直线方程为20,化简得7xy220.(3)在直线l:3xy30上取点M(0,3),关于(1,2)的对称点M(x,y),1,x2,2,y1,M(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,k3,对称直线方程为y13(x2),即3xy50.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中,可采用设直线系方程的方式简化运算,常见的直线系有平行直线系,垂直直线系和过直线交点的直线系.一、平行直线系例1 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.解由题意,设所求直线方程为3x4yc0(c1),又因为直线过点(1,2),所以3142c0,解得c1

15、1.因此,所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系例2 求经过A(2,1),且与直线2xy100垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2xy100垂直,所以设该直线方程为x2yC0,又直线过点A(2,1),所以有221C0,解得C0,即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系例3 求经过两直线l1:x2y40和l2:xy20的交点P,且与直线l3:3x4y50垂直的直线l的方程.解方法一解方程组得P(0,2).l3的斜率为,且ll3,直线l的斜率为,由斜截式可知l的方程为yx2,即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0,即(1)x(2)y420.又ll3,3(1)

16、(4)(2)0,解得11.直线l的方程为4x3y60.1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12,直线x2yn0的斜率k2,则k1k2,且k1k21.故选C.2.已知直线l1:xmy70和l2:(m2)x3y2m0互相平行,则实数m等于()A.1或3 B.1C.3 D.1或3答案A解析当m0时,显然不符合题意;当m0时,由题意得,解得m1或m3,故选A.3.已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线为l1,直线2xy10为l2,直线xny10为l3.若l1l2,l2l3,则实数mn的值为()A.10 B.2

17、C.0 D.8答案A解析因为l1l2,所以kAB2.解得m8.又因为l2l3,所以(2)1,解得n2,所以mn10.4.过点M(3,2),且与直线x2y90平行的直线方程是()A.2xy80 B.x2y70C.x2y40 D.x2y10答案D解析方法一因为直线x2y90的斜率为,所以与直线x2y90平行的直线的斜率为,又所求直线过M(3,2),所以所求直线的点斜式方程为y2(x3),化为一般式得x2y10.故选D.方法二由题意,设所求直线方程为x2yc0,将M(3,2)代入,解得c1,所以所求直线为x2y10.故选D.5. (2018盘锦模拟)若直线l1:xay60与l2:(a2)x3y2a0

18、平行,则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.2答案C解析l1l2,a2且a0,解得a1,l1与l2的方程分别为l1:xy60,l2:xy0,l1与l2的距离d.6.已知直线l1:y2x3,直线l2与l1关于直线yx对称,则直线l2的斜率为()A. B.C.2 D.2答案A解析直线y2x3与yx的交点为A(1,1),而直线y2x3上的点(0,3)关于yx的对称点为B(3,0),而A,B两点都在l2上,所以.7.已知直线l1:axy10,直线l2:xy30,若直线l1的倾斜角为,则a_;若l1l2,则a_;若l1l2,则两平行直线间的距离为_.答案112解析若直线l1的倾斜角为,则ak

19、tan 1,故a1;若l1l2,则a11(1)0,故a1;若l1l2,则a1,l1:xy10,两平行直线间的距离d2.8.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn_.答案解析由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y2x3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故mn.9.直线l1:y2x3关于直线l:yx1对称的直线l2的方程为_.答案x2y0解析由解得直线l1与l的交点坐标为(2,1),所以可设直线l2的方程为y1k(x2),即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2),由题设知点(1,

20、2)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得,解得k(k2舍去),所以直线l2的方程为x2y0.10.已知入射光线经过点M(3,4),被直线l:xy30反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_.答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l:xy30的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以解得a1,b0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6xy60.11.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2).(1)证明:对任意的实数,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标;(2)证明:该方程表示的直线与点

21、P的距离d小于4.(1)解显然2与(1)不可能同时为零,故对任意的实数,该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0,解得故直线经过的定点为M(2,2).(2)证明过P作直线的垂线段PQ,由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|,当且仅当Q与M重合时,|PQ|PM|,此时对应的直线方程是y2x2,即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40,M与Q不可能重合,而|PM|4,|PQ|0);l2:4x2y10;l3:xy10,且l1与l2间的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:点P在第一象限;点P到l1的距离是点P到l2的距离的;点P到l1的距离与点P到l3

22、的距离之比是.若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.解(1)直线l2:2xy0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d,所以,即,又a0,解得a3.(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若P点满足条件,则P点在与l1,l2平行的直线l:2xyc0上,且,即c或,所以2x0y00或2x0y00;若P点满足条件,由点到直线的距离公式,有,即|2x0y03|x0y01|,所以x02y040或3x020;由于点P在第一象限,所以3x020不可能.联立方程2x0y00和x02y040,解得(舍去)联立方程2x0y00和x02y040,解得所以存在点P同时满足三个条件.13.已知直线y2x是ABC中C的

23、平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(4,2),(3,1),则点C的坐标为()A.(2,4) B.(2,4)C.(2,4) D.(2,4)答案C解析设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x,y),则解得BC所在直线方程为y1(x3),即3xy100.同理可得点B(3,1)关于直线y2x的对称点为(1,3),AC所在直线方程为y2(x4),即x3y100.联立解得则C(2,4).故选C.14. (2018赤峰质检)若三条直线y2x,xy3,mxny50相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为()A. B. C.2 D.2答案A解析联立解得x1,y2.把(1,2)代入mxny50可

24、得,m2n50.m52n.点(m,n)到原点的距离d,当n2,m1时取等号.点(m,n)到原点的距离的最小值为.15.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且ACBC,则ABC的欧拉线的方程为()A.4x2y30 B.2x4y30C.x2y30 D.2xy30答案B解析因为ACBC,所以欧拉线为AB的中垂线,又A(1,0),B(0,2),故AB的中点为,kAB2,故AB的中垂线方程为y1,即2x4y30.16.在平面直角坐标系xOy中,将

25、直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称,求直线l的方程.解由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykxb,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1:yk(x3)5b,将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,则平移后的直线方程为yk(x31)b52,即ykx34kb,b34kb,解得k,直线l的方程为yxb,直线l1为yxb,取直线l上的一点P,则点P关于点(2,4)的对称点为,8b(4m)b,解得b.直线l的方程是yx,即6x8y90.