1、3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1.平均变化率一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商，称作函数yf(x)在区间x0，x0x(
2、或x0x，x0)的平均变化率.2.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).3.函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x).于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数
3、yf(x)的导函数，记为f(x)或y(或yx).4.基本初等函数的导数公式表yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)ynxn1，n为正整数yx(x0，0且Q)yx1，为有理数yax(a0，a1)yaxln aylogax(a0，a1，x0)yysin xycos xycos xysin x5.导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)(f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).概念方法微思考1根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f(x)|越大，曲线f(x)的形状
4、越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)f(x0).()(3)(2x)x2x1.()题组二教材改编2若f(x)xex，则f(1)_.答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为_答案2xy10解析y，y|x12.所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知，yf(x)在
5、(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5若f(x)，则f_.答案解析f(x)，f.6(2017天津)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为 答案1解析f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1已知f(x)sin ，则f(x) .答
6、案cos x解析因为ysin sin x，所以y(sin x)cos x.2已知y，则y_.答案解析y.3f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0 .答案1解析f(x)2 019ln xx2 020ln x，由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，x01.4若f(x)x22xf(1)，则f(0) .答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错(2)若函数
7、为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1 (1)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A1 B1 C2 D2答案A解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，f(1)1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k1.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值例
8、2 (1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab .答案1解析由题意知，yx3axb的导数为y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m .答案2解析f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以22，所以a的取值范围是(，2)1.函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A.2(x2a2)
9、 B.2(x2a2)C.3(x2a2) D.3(x2a2)答案C解析f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2).2已知函数f(x)cos x，则f()f等于()A B C D答案C解析因为f(x)cos x(sin x)，所以f()f(1).3(2018包头调研)设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()Ae2 Be C. Dln 2答案B解析由f(x)xln x，得f(x)ln x1.根据题意知，ln x012，所以ln x01，即x0e.4曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20C2xy10 D3xy10
10、答案C解析ycos xex，故切线斜率k2，切线方程为y2x1，即2xy10.5已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析求导可得y，exex2224，当且仅当x0时，等号成立，y1,0)，得tan 1,0)，又0，)，0)，对yx23ln x求导得yx，所以m，解方程可得m2(舍去负值)9若曲线yln x的一条切线是直线yxb，则实数b的值为 答案1ln 2解析由yln x，可得y，设切点坐标为(x0，y0)，由曲线yln x的一条切线是直线yxb，可得，解得x02，则切点坐标为(2，ln 2)，所以ln 21b，b1ln 2.10(2
11、018丹东模拟)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab .答案1解析依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin 020b，得b0.又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.11.已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示(1)若f(1)1，则f(1) ；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为 (用“”连接)答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1)解析(1)由题图可得f(x)x，g(x)x2，设f(x
12、)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，则f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，所以f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，则f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，则有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)h(1)0，即m即可，故选B.14已知曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，求实数a的值解因为f(x)ln x1，所以曲线f(x)xln x在xe处的切线斜率为k2，则曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线y
13、x2a相切，联立得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.15给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”已知函数f(x)5x4sin xcos x的“拐点”是M(x0，f(x0)，则点M()A在直线y5x上B在直线y5x上C在直线y4x上D在直线y4x上答案B解析由题意，知f(x)54cos xsin x，f(x)4sin xcos x，由f(x0)0，知4sin x0cos x00，所以f(x0)5x0，故点M(x0，f(x0)在直线y5x上16已知函数f(x)x.(
14、1)求曲线f(x)过点(0，3)的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)f(x)1，设切点为(x0，y0)，则曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，切线过(0，3)，3(x0)，解得x02，y0，所求切线方程为y(x2)，即yx3.(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为yn(xm)，即y(xm)，令x0，得y，从而切线与直线x0的交点为，令yx，得yx2m，从而切线与直线yx的交点为(2m,2m)，点P(m，n)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2m|6，为定值