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本文(2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值)为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值

1、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知,当x0;当2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值,在x2处取得极小值命题点2求已知函数的极值例2(2018通辽质检)已知函数f

2、(x)x1(aR,e为自然对数的底数),求函数f(x)的极值解f(x)1,当a0时,f(x)0,f(x)为(,)上的增函数,所以函数f(x)无极值当a0时,令f(x)0,得exa,即xln a,当x(,ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a,无极大值综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在xln a处取得极小值ln a,无极大值命题点3根据极值(点)求参数例3若函数f(x)x2x1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析因为f

3、(x)x2x1,所以f(x)x2ax1.函数f(x)x2x1在区间上有极值点,可化为x2ax10在区间上有解,即ax在区间上有解,设t(x)x,则t(x)1,令t(x)0,得1x4,令t(x)0,得x0,解得x1;由f(x)0,解得x0,得0x1,由f(x)1,f(x)1ln x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减(2)由(1)得f(x)在上单调递增,在1,e上单调递减,f(x)在上的最大值为f(1)1ln 10.又f1eln2e,f(e)1ln e,且ff(e),f(x)在上的最小值为f2e.f(x)在上的最大值为0,最小值为2e.思维升华 (1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,

4、f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值;(2)若函数在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到跟踪训练2 (2017北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx,所以f(x)ex(cos xsin x)1,f(0)0.又因为f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,f(

5、0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1,则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时,h(x)0,所以h(x)在区间上单调递减,所以对任意x有h(x)h(0)0,即f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为e3,求f(x)在区间5,)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc,因为ex0,所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0,所以当3x0,即f(x)0,当x0时,g(x)0,即f(x)

6、5f(0),所以函数f(x)在区间5,)上的最大值是5e5.思维升华 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值跟踪训练3 已知函数f(x)ax32x24x5,当x时,函数f(x)有极值,则函数f(x)在3,1上的最大值为_答案13解析f(x)3ax24x4,由f0可得a1,经验证f为极值;f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4.令f(x)0,解得x2或x.当x变化时,f(x),f(x)的取值及变化情况如表所示

7、:x3(3,2)21f(x)00f(x)8134函数f(x)在3,1上的最大值为13.利用导数求函数的最值例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,求函数f(x)在1,2上的最小值规范解答解(1)f(x)a(x0),当a0时,f(x)a0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,)2分当a0时,令f(x)a0,可得x,当0x0;当x时,f(x)0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.5分(2)当1,即a1时,函数f(x)在1,2上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分当2,即0a时,函数f(x)在1,2上是增函

8、数,所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当12,即a1时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a,所以当aln 2时,最小值是f(1)a;当ln 2a1时,最小值为f(2)ln 22a.11分综上可知,当0aln 2时,函数f(x)的最小值是f(1)a;当aln 2时,函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a.12分用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步:(求导数)求函数f(x)的导数f(x);第二步:(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;第三步:(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;第四步:(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的

9、端点值进比较,确定f(x)的最大值与最小值;第五步:(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范1.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1,x2,x3,x4.当x0,f(x)为增函数,当x1xx2时,f(x)1时,y0;当x1时,y0,所以当x1时,函数取得最小值,且ymin.故选C.4(2018包头调研)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)

10、,则()A当k1时,f(x)在x1处取得极小值B当k1时,f(x)在x1处取得极大值C当k2时,f(x)在x1处取得极小值D当k2时,f(x)在x1处取得极大值答案C解析当k1时,f(x)exx1,f(1)0,x1不是f(x)的极值点当k2时,f(x)(x1)(xexex2),显然f(1)0,且在x1附近的左侧f(x)1时,f(x)0,f(x)在x1处取得极小值故选C.5已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,则f(2)等于()A11或18 B11C18 D17或18答案C解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,f(1)10,且f(1)0,又f(x)3x22axb,

11、解得或而当时,函数在x1处无极值,故舍去f(x)x34x211x16,f(2)18.6若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0),则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件答案C解析y3x2273(x3)(x3),当0x0;当x3时,y0时,ex1,aex0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa),由f(x)0得xa,当axa时,f(x)a或x0,函数f(x)单调递增,f(x)的极大值为f(a),极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值

12、范围是.9已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m1,1,则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax,由f(x)在x2处取得极值知f(2)0,即342a20,故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x,由此可得f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当m1,1时,f(m)minf(0)4.10(2018鞍山调研)已知yf(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)ln xax ,当x(2,0)时,f(x)的最小值为1,则a_.答案1解析由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为1.令f(x)a0,得x,当0x0;当x时,f(x)0),所以f(

13、x)2x,令f(x)0,解得x1,令f(x)0,解得0x1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,所以f(x)极小值f(1)1,无极大值12(2018丹东质检)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(,1)上的极小值和极大值点;(2)求f(x)在1,e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时,f(x)3x22xx(3x2),令f(x)0,解得x0或x.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时,函数f(x)取得极小值f(0)0,函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时,f(x)在1,e上单调递增,则f(

14、x)在1,e上的最大值为f(e)a.故当a2时,f(x)在1,e上的最大值为a;当a0),则f(t)2t,令f(t)0,得t,当0t时,f(t)时,f(t)0,当t时,f(t)取得最小值15已知函数f(x)xln xmex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数m的取值范围是_答案解析f(x)xln xmex(x0),f(x)ln x1mex(x0),由函数f(x)有两个极值点可得ym和g(x)在(0,)上有两个交点,g(x)(x0),令h(x)ln x1,则h(x)0,h(x)在(0,)上单调递减且h(1)0,当x(0,1时,h(x)0,即g(x)0,g(x)在(0,1上单调递增,g(x)g(1),当x(1,)时,h(x)0,即g(x)0,g(x)在(1,)上单调递减,故g(x)maxg(1),而当x0时,g(x),当x时,g(x)0;若ym和g(x)的图象在(0,)上有两个交点,只需0m,故m0.16已知函数f(x)axln x,x(0,e的最小值是2,求正实数a的值解因为f(x)a,所以当0e时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)minf1ln a2,解得ae,满足条件;当e时,f(x)在(0,e上单调递减,f(x)minf(e)ae12,解得a(舍去)综上,正实数a的值为e.