1、2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1.函数单调性的定义增函数减函数定义设函数yf(x)的定义域为A，区间MA，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数yf(x2)f(x1)0f(x)在D上是增函数，减函数类似2写出对勾函数yx(a0)的增区间提示(，和
2、，)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(5)所有的单调函数都有最值()题组二教材改编2函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案1，)(或(1，)3函数y在2,3上的最大值是_答案24若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案(，2解析由题意知，2
3、，)m，)，m2.题组三易错自纠5函数y(x24)的单调递减区间为_答案(2，)6若函数f(x)|xa|1的增区间是2，)，则a_.答案2解析f(x)|xa|1的单调递增区间是a，)，a2.7函数yf(x)是定义在2,2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_答案1,1)解析由条件知解得1a1.8函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0，解得x4或x2，所以(4，)为函数yx22x8的一个单调递增区间根据复合函数的单调性可知，函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间为(4，)(2)函数yx22|
4、x|3的单调递减区间是_答案1,0，1，)解析由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3的单调递减区间为1,0，1，)命题点2讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性解函数f(x)ax2(1a3)在1,2上单调递增证明：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10,2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增引申探究
5、如何用导数法求解本例？解f(x)2ax，因为1x2，所以1x38，又1a0，所以f(x)0，所以函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函数思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接(4)具有单调性函数的加减跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2x Bf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)答案C解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0，即a1，
6、因此g(x)的单调递减区间就是y|x2|的单调递减区间(，2(3)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_答案1,2解析f(x)画出f(x)图象，由图知f(x)的单调递减区间是1,2题型二函数的最值1函数y的值域为_答案1,1)解析由y，可得x2.由x20，知0，解得1yx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，因为aff，且2ac.命题点2解函数不等式例4设函数f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则f(x)0的解集是()Ax|3x3Bx|x3或0x3Cx|x
7、3Dx|3x0或0x3答案B解析f(x)是奇函数，f(3)0，f(3)f(3)0，解得f(3)0.函数f(x)在(0，)内是增函数，当0x3时，f(x)3时，f(x)0.函数f(x)是奇函数，当3x0；当x3时，f(x)0.则不等式f(x)0的解集是x|0x3或x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为10，40成立，那么a的取值范围是_答案解析对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在(，)上是增函数所以解得a2.故实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是_答案解析因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函
8、数，且满足f(2x1)f，所以02x1，解得xf(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)4已知函数f(x)当x1x2时，0，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析当x1x2时，0，f(x)是R上的减函数f(x)0a.5函数f(x)，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是()A(1,2) B(1,2)C1,2) D1,2)答案D解析因为f(x)1在(1，)上单调递减，且f(2)0，所以n2，1mbc解析f(x)在R上是奇函数，afff(log25)又f(x)在R上是增函数，且log25log24.1lo
9、g24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.8已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案1，)解析要使ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则a0且a10，即a1.9记mina，b若f(x)minx2,10x(x0)，则f(x)的最大值为_答案6解析由题意知，f(x)易知f(x)maxf(4)6.10设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案(，14，)解析作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.11已知f(
10、x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围(1)证明当a2时，f(x).设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)解设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，00且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20，a1.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2
11、或k6.即实数k的取值范围为(，26，)13已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)答案D解析当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连续的曲线又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2xf(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22
12、x3在(0，)上单调递减，x22x3f(2ax)得到xa2ax，即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2的解集为_答案解析由题意知，f(x)f(x)2，f(2x1)f(2x)2可化为f(2x1)f(2x)，又由题意知函数f(x)在R上单调递增，2x12x，x，原不等式的解集为.16已知定义在区间(0，)上的函数f(x)是增函数，f(1)0，f(3)1.(1)解不等式0f(x21)1；(2)若f(x)m22am1对所有x(0,3，a1,1恒成立，求实数m的取值范围解(1)由得x2或2x.原不等式的解集为(2，)(，2)(2)函数f(x)在(0,3上是增函数，f(x)在(0,3上的最大值为f(3)1，不等式f(x)m22am1对所有x(0,3，a1，1恒成立转化为1m22am1对所有a1,1恒成立，即m22am0对所有a1,1恒成立设g(a)2mam2，a1,1，需满足即解该不等式组，得m2或m2或m0，即实数m的取值范围为(，202，)