1、第2课时数列的综合问题题型一数列与函数例1数列an的前n项和为Sn，2Snan12n11，nN，且a1，a25，19成等差数列(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列an的通项公式；(3)设bnlog3(an2n)，若对任意的nN，不等式bn(1n)n(bn2)60恒成立，试求实数的取值范围解(1)在2Snan12n11，nN中，令n1，得2S1a2221，即a22a13，又2(a25)a119，则由解得a11.(2)当n2时，由得2anan1an2n，则1，又a25，则1.数列是以为首项，为公比的等比数列，1n1，即an3n2n.(3)由(2)可知，bnlog3(an2n)n.当bn
2、(1n)n(bn2)60恒成立时，即(1)n2(12)n60(nN)恒成立设f(n)(1)n2(12)n6(nN)，当1时，f(n)n60恒成立，则1满足条件；当1时，由于对称轴n0，则f(n)在1，)上单调递减，f(n)f(1)341满足条件，综上所述，实数的取值范围是1，)思维升华 数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法跟踪训练1 (2018葫芦岛模拟)已知数列an满足a11，2an1an，数列bn满足bn2log2a2n1.(1)求数列a
3、n，bn的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围解(1)由a11，an0，an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得，Tnn23n，m2n26n对任意正整数n都成立设f(n)2n26n，f(n)2n26n22，当n1或2时，f(n)的最大值为4，m4.即m的取值范围是4，)题型二数列与不等式例2 已知数列an中，a1，其前n项的和为Sn，且满足an(n2)(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn1.证明(1)当n2时，SnSn1，整理得Sn1Sn2SnSn1(n2)，2，
4、从而构成以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)可知，(n1)22n，Sn.当n1时，Sn1，方法一当n2时，Sn，S1S2S3Sn 11.原不等式得证方法二当n2时，S1S2S3Sn，1.原命题得证思维升华 数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到跟踪训练2已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1a2，a32b36.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn
5、，证明：Tn0，所以Tn.又因为Tn在1，)上单调递增，所以当n1时，Tn取最小值T1，所以Tn.题型三数列与数学文化例3我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤”()A6斤 B7斤 C8斤 D9斤答案D解析原问题等价于等差数列中，已知a14，a52，求a2a3a4的值由等差数列的性质可知a2a4a1a56，a33，则a2a3a49，即中间三尺共重9斤思维升华 我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，
6、解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式跟踪训练3 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作九章算术、算法统宗中都有大量古人研究数列的记载现有数列题目如下：数列an的前n项和Snn2，nN，等比数列bn满足b1a1a2，b2a3a4，则b3等于()A4 B5 C9 D16答案C解析由题意可得b1a1a2S2221，b2a3a4S4S242223，则等比数列bn的公比q3，故b3b2q339.1(2018包头模拟)设数列an的前n项和为Sn，且Snan1.(1)求数列an的通项公式；(2)若f(x) x，设bnf(a1)f(a2)
7、f(an)，求数列的前n项和Tn.解(1)由Snan1得Sn1an11，两式相减得，Sn1Snan1an，即 an1an1an，即 (n1)，所以数列an是公比为的等比数列，又由a1a11得a1，所以ana1qn1n.(2)因为bnf(a1)f(a2)f(an)12n，所以2，所以Tn22.2已知等差数列an的公差d0，a10，其前n项和为Sn，且a22，S3，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.(1)解由a10得an(n1)d，Sn，因为a22，S3，S4成等比数列，所以S(a22)S4，即(3d)2(d2)6d，整理得3d212
8、d0，即d24d0，因为d0，所以d4，所以an(n1)d4(n1)4n4.(2)证明由(1)可得Sn12n(n1)，所以bn22，所以Tn2n2n1，所以Tn2n0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，则2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1，由，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n
9、1.所以Tn.5(2019盘锦模拟)若正项数列an的前n项和为Sn，首项a11，点P(，Sn1)在曲线y(x1)2上(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tn表示数列bn的前n项和，若Tna恒成立，求Tn及实数a的取值范围解(1)由Sn1(1)2，得1，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以(n1)1，即Snn2，由公式an得an所以an2n1.(2)因为bn，所以Tnb1b2bn，显然Tn是关于n的增函数，所以Tn有最小值(Tn)minT1.由于Tna恒成立，所以a，于是a的取值范围是.6已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为9，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1cn(nN)(1)解设数列an的公差为d，则解得或(舍去)，所以ann1，Sn.又b1a12，b2a34，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明因为anbn(n1)2n，所以Kn221322(n1)2n，所以2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，所以Knn2n1.则cn，cn1cn0，所以cn1cn(nN)