1、第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()A.m1 B.m0C.0m5且m1 D.m1且m5答案D解析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，m1且m5.2.已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240. 方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原
2、方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.题型二弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例1 斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，
3、B两点，则|AB|的最大值为()A.2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.命题点2中点弦问题例2 已知P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_.答案x2y30解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1
4、x22，2，解得k.经检验，k满足题意.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1， 1， 得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.经检验，k满足题意.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A
5、B| (k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.跟踪训练1 设离心率为的椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1PF2，PF1F2内切圆的半径为1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线yx2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程.解(1)RtPF1F2内切圆的半径r(|PF1|PF2|F1F2|)ac，依题意有ac1.又，则a，c1，从而b1.故椭圆E的方程为y21.(2)设直线AB的方程为yxm，代入椭圆E的方程，整理得3x24mx2m220，由0得m.设A(
6、x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x2x1|.易知|BC|，则由m知|BC|，所以由已知可得|AB|BC|，即，整理得41m230m710，解得m1或m(均满足mb0)，e，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且(其中1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值.解(1)由椭圆的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意；当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为yk(x
7、1).由消去y得(34k2)x28k2x4k2120. 的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x22，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.思维升华 一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想.跟踪训练2 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2
8、，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程.解(1)F1B1B2为等边三角形，则椭圆C的方程为3y21.(2)易知椭圆C的方程为y21，当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(2k21)x24k2x2(k21)0，由已知得0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k，故直线l的方程为xy10或xy10
9、.1.若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A.至多为1 B.2C.1 D.0答案B解析由题意知，2，即b0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.5.(2018锦州质检)经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点.设O为坐标原点，则等于()A.3 B.C.或3 D.答案B解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1.代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x
10、.所以两个交点坐标为A(0，1)，B，所以(0，1).同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.6.设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A.4 B.3 C.2 D.1答案D解析()()0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，mn2，mn1.7.直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_.答案相交解析由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段
11、AB的中点，则椭圆C的离心率等于_.答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.9.已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，则椭圆C的离心率e_.答案解析设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF为直角三角形，且AFB90，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.10
12、.已知直线MN过椭圆y21的左焦点F，与椭圆交于M，N两点.直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则_.答案2解析不妨取直线MNx轴，椭圆y21的左焦点F(1,0)，令x1，得y2，所以y，所以|MN|，此时|PQ|2b2，则2.11.如图，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.解(1)由已知|AB|BF|，即a，4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，椭圆C：1.设
13、P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而40，解得b1，满足b.椭圆C的方程为y21.12.设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若8，O为坐标原点，求OCD的面积.解(1)过
14、焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以.因为椭圆的离心率为，所以，又a2b2c2，可解得b，c1，a.所以椭圆的方程为1.(2)由(1)可知F(1,0)，则直线CD的方程为yk(x1).联立消去y得(23k2)x26k2x3k260.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k.从而x1x2，x1x20.所以|x1x2| ，|CD|x1x2|.而原点O到直线CD的距
15、离为d，所以OCD的面积为S|CD|d.13.(2018广州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|OF2|2|OM|，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析方法一|OA|OF2|2|OM|，M在椭圆C的短轴上，设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，|OA|OF2|，|OA|F1F2|，AF1AF2，从而AF1F2OMF2，又|AF1|2|AF2|2(2c)2，|AF1|c，|AF2|c，又|AF1|AF2|2a，c2a，即.故选D.方法二|OA|OF2|2|OM|，M在椭圆C的短轴上，在RtMOF
16、2中，tanMF2O，设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，|OA|OF2|，|OA|F1F2|，AF1AF2，tanAF2F1，设|AF1|x(x0)，则|AF2|2x，|F1F2|x，e，故选D.14.已知椭圆1(ab0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于，则点P到直线QM的距离为_.答案b解析设A(x0，y0)，则B点坐标为(x0，y0)，则，即，由于1，则，故，则，不妨取M(a,0)，则直线QM的方程为bxayab0，则点P到直线QM的距离为db.15.平行四边形ABCD内接于椭圆1，直线AB的
17、斜率k12，则直线AD的斜率k2等于()A. B. C. D.2答案C解析设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GOAD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得，整理得k12，即.又G，所以kOG，即k2，故选C.16.过椭圆1(ab0)上的动点M作圆x2y2的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求EOF面积的最小值.解设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y00，则直线MP和MQ的方程分别为x1xy1y，x2xy2y.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0y1y0，x2x0y2y0，则P，Q两点的坐标满足方程x0xy0y，所以直线PQ的方程为x0xy0y，可得E和F，所以SEOF|OE|OF|，因为b2ya2xa2b2，b2ya2x2ab|x0y0|，所以|x0y0|，所以SEOF，当且仅当b2ya2x时取“”，故EOF面积的最小值为.