1、2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且为既约分数)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且为既约分数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂
2、的运算性质：aaa，(a)a，(ab)ab，其中a0，b0，Q.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数概念方法微思考1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为 提示cd1ab02结合指数函数yax(a0，a1)的图象和性质说明ax1(a0，a1)的解集跟a的取值有关提示当a1时，ax1的解集为x|x0；当0a1的解集为x|x0题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(nN)()(2)分数指数幂可
3、以理解为个a相乘()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则mn.()(5)函数y2x在R上为单调减函数()题组二教材改编2化简(x0，y0，且a1)的图象经过点P，则f(1) .答案解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是 答案cb0，即ab1，又c01，cba.题组三易错自纠5计算：0 .答案2解析原式12.6若函数f(x)(a23)ax为指数函数，则a .答案2解析由指数函数的定义可得解得a2.7若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是 答案(，1)(1，)解析由题意知0a2
4、11，即1a22，得a1或1a1，则f(x)maxf(1)a2；若0a0，则下列等式成立的是()A(2)24 B2a3C(2)01 D答案D解析对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，故D正确2计算：0.00210(2)10 .答案解析原式211010201.3化简：(a0，b0) .答案解析原式2213101.4化简： (a0)答案a2解析原式思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运
5、算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二指数函数的图象及应用例1 (1)函数f(x)1e|x|的图象大致是()答案A解析f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有A.(2)若函数y|4x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_答案(，0解析函数y|4x1|的图象是由函数y4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围是(，0思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除
6、(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练1 (1)已知实数a，b满足等式2 019a2 020b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个C3个 D4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)方程2x2x的解的个数是 答案1解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2 (1)
7、已知a，b，c，则()Abac Babc Cbca Dca220，可知b15a15c15，所以bac.(2)若1a”连接)答案3aa3a解析易知3a0，a0，a30，又由1a0，得0a1，所以(a)3(a)，即a3a，因此3aa3a.命题点2解简单的指数方程或不等式例3 (1)(2018包头模拟)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为 答案解析当a1时，代入不成立故a的值为.(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为 答案x|x4或x0解析f(x)为偶函数，当x0，则f(x)f(x)2x4，f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x4或
8、x0)，则yt22t的单调增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上单调递增，所以函数f(x)4x2x1的单调增区间是0，)(3)若函数f(x)有最大值3，则a .答案1解析令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练2 (1)函数f(x)x
9、2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3，当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(，1)上单调递减，f(bx)f(cx)，综上，f(bx)f(cx)(2)已知f(x)2x2x，a，b，则f(a)，f(b)的大小关系是 答案f(b)b，f(a)f(b)(3)若不等式12x4xa0在
10、x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是 答案解析从已知不等式中分离出实数a，得a.函数yxx在R上是减函数，当x(，1时，xx，从而得.故实数a的取值范围为.1设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca答案C解析因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61，所以ba0，且axbx0且a1，b0且b1)，则a与b的大小关系是()Aba1 Bab1C1ba D1ab答案B解析若ax0，则必有0a1，所以C，D错，又axa，故选B.4已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x
11、)的值域为()A9,81 B3,9 C1,9 D1，)答案C解析由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.故选C.5若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选B.6已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1 D3答
12、案B解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，所以8,1，即81，即3aa”是“函数f(x)xm的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为 答案1解析f(0)m，函数f(x)的图象不过第三象限等价于m0，即m，“ma”是“m”的必要不充分条件，ax4的解集为 答案(1,4)解析原不等式等价于2x4，又函数y2x为增函数，x22xx4，即x23x40，1x4.9当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是 答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1
13、m2.10已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是 答案0解析当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.11已知9x103x90，求函数yx14x2的最大值和最小值解由9x103x90，得(3x1)(3x9)0，解得13x9，即0x2.令xt，则t1，y4t24t2421.当t，即x1时，ymin1；当t1，即x0时，ymax2.12已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取
14、值范围解(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx在(，1上均为减函数，所以yxx在(，1上也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围是.13(2018呼和浩特调研)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1 C. D1，)答案C解析令f(a)t，则f(t)2t.当t1时，3t12t，令g(t)3t12t，则g(t)32tln 2，当t0，g(t)在(，1)上单调递增
15、，即g(t)g(1)0，则方程3t12t无解当t1时，2t2t成立，由f(a)1，得a1，且3a11，解得a1；a1，且2a1，解得a1.综上可得a的取值范围是.故选C.14若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，f(x)在区间m，n上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)maxf(x)min3，则nm的取值范围是 答案(0,4解析因为f(1x)f(1x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，所以a1，所以f(x)2|x1|.作出函数yf(x)的图象如图所示当mn1或1mn时，离对称轴越远，m与n的差越小，由y2x1与y21x的性质知极限值为0.当m
16、1n时，函数f(x)在区间m，n上的最大值与最小值的差为f(x)maxf(x)min2|2|203，则nm取得最大值2(2)4，所以nm的取值范围是(0,415设f(x)|2x11|，af(c)，则2a2c 4.(选填“”“”“”)答案解析f(x)在(，1上是减函数，在1，)上是增函数，故结合条件知必有a1.若c1，则2a2,2c2，故2a2c1，则由f(a)f(c)，得12a12c11，即2c12a12，即2a2c4.综上知，总有2a2c4.16已知函数f(x)4(1x2)(1)若，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)0有解，求实数的取值范围解(1)f(x)42x2x4(1x2)设tx，得g(t)t22t4.当时，g(t)t23t42.所以g(t)maxg，g(t)ming.所以f(x)max，f(x)min，故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)0有解可转化为22x(1x2)设(x)22x，当2x，即x1时，(x)min2；当2x4，即x2时，(x)max.函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.