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2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.6 正弦定理和余弦定理

1、4.6正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识题型多样,中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A;b2c2a22cacos B;c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;(4)sin A,sin B,sin C;(5)abcsin

2、Asin Bsin C;(6)asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin A(7)cos A;cos B;cos C2在ABC中,已知a,b和A时,解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高);(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A;(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中,AB是否可推出sin Asin B?提示在ABC中,由AB可推出sin Asin B.2如图,在ABC中,有如下结论:bcos Cccos Ba

3、.试类比写出另外两个式子提示acos Bbcos Ac;acos Cccos Ab.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时,三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中,.()(4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2在ABC中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理,得sin Acos Asin Bcos B,即sin 2Asin 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3在AB

4、C中,A60,AC4,BC2,则ABC的面积为 答案2解析,sin B1,B90,AB2,SABC222.题组三易错自纠4在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbcos A,则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sin Csin Bcos A,sin(AB)sin Bcos A,sin Acos Bcos Asin B0,cos B1.角B不存在,即满足条件的三角形不存在6(2018包头模拟)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若bc2a,3sin A5sin B,则C .答案解析由3sin A5sin B

5、及正弦定理,得3a5b.又因为bc2a,所以ab,cb,所以cos C.因为C(0,),所以C.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018天津)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小;(2)设a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos,得asin Bacos,即sin Bcos,所以tan B.又因为B(0,),所以B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,得b2a2c22accos B7,故b.由bsin Aacos,可得sin A.因为a

6、c,所以cos A.因此sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1 (1)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b5c,C2B,则cos C等于()A. B C D.答

7、案A解析8b5c,由正弦定理,得8sin B5sin C.又C2B,8sin B5sin 2B,8sin B10sin Bcos B.sin B0,cos B,cos Ccos 2B2cos2B1.(2)如图所示,在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,2ABBD,BC2BD,则sin C的值为 答案解析设ABa,ABAD,2ABBD,BC2BD,ADa,BD,BC.在ABD中,cosADB,sinADB,sinBDC.在BDC中,sin C.题型二和三角形面积有关的问题例2 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2acos B.(1)证明:A2B;(2)若ABC的面积

8、S,求角A的大小(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B,故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B,于是sin Bsin(AB)又A,B(0,),故0AB,所以B(AB)或BAB,因此A(舍去)或A2B,所以A2B.(2)解由S,得absin C,故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B,由sin B0,得sin Ccos B.又B,C(0,),所以CB.当BC时,A;当CB时,A.综上,A或A.思维升华 (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一个角

9、就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2 (1)(2018沈阳质检)若AB2,ACBC,则SABC的最大值为()A2 B.C. D3答案A解析设BCx,则ACx.根据三角形的面积公式,得SABCABBCsin Bx.根据余弦定理,得cos B.将代入,得SABCx.由三角形的三边关系,得解得22x0,sin A1,即A,ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中,若将条件变为2sin Acos Bsin C,判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB),2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B,sin

10、(AB)0.又A,B为ABC的内角AB,ABC为等腰三角形2本例(2)中,若将条件变为a2b2c2ab,且2cos Asin Bsin C,判断ABC的形状解a2b2c2ab,cos C,又0C,C,又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0,AB,故ABC为等边三角形命题点2求解几何计算问题例4如图,在四边形ABCD中,DAB,ADAB23,BD,ABBC.(1)求sinABD的值;(2)若BCD,求CD的长解(1)因为ADAB23,所以可设AD2k,AB3k.又BD,DAB,所以由余弦定理,得()2(3k)2(2k)223k2kcos ,解得k1,所以AD2,AB3,sinAB

11、D.(2)因为ABBC,所以cosDBCsinABD,所以sinDBC,所以,所以CD.思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意:根据已知的边角画出图形并在图中标示;选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理跟踪训练3(1)在ABC中,cos2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2,cos2,(1cos B)cac,acos Bc,2a2a2c2b2,a2b2c

12、2,ABC为直角三角形(2)在平面四边形ABCD中,ABC75,BC2,则AB的取值范围是_答案(,)解析如图所示,延长BA与CD相交于点E,过点C作CFAD交AB于点F,则BFABBE.在等腰三角形CBF中,FCB30,CFBC2,BF.在等腰三角形ECB中,CEB30,ECB75,BECE,BC2,BE.ABc,可得30B180,B60或B120.3(2018丹东模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos 2Asin A,bc2,则ABC的面积为()A. B. C1 D2答案A解析由cos 2Asin A,得12sin2Asin A,解得sin A(负值舍去),由bc2

13、,可得ABC的面积Sbcsin A2.4在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量m,n,p共线,则ABC的形状为()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案A解析向量m,n共线,acos bcos .由正弦定理得sin Acos sin Bcos .2sin cos cos2sin cos cos .则sin sin .0,0,即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.5.(2018本溪质检)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C,bcos Aacos B2,则ABC的外接圆面积为()A4 B8 C9 D36答案C解析

14、cbcos Aacos B2,由cos C,得sin C,再由正弦定理可得2R6,R3,所以ABC的外接圆面积为R29,故选C.6在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,sin A,sin B,sin C成等比数列,且c2a,则cos B的值为()A. B.C. D.答案B解析因为sin A,sin B,sin C成等比数列,所以sin2Bsin Asin C,由正弦定理得b2ac,又c2a,故cos B.7(2018通辽模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2c2b2)tan Bac,则角B的值为_答案或解析由余弦定理,得cos B,结合已知等式得cos B

15、tan B,sin B,又0B,B或.8设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a,sin B,C,则b_.答案1解析因为sin B且B(0,),所以B或B.又C,BC0,1,即sin Bcos A.(2)解由sin Csin Acos B知,sin(AB)sin Acos B,cos Asin B.由(1)知,sin Bcos A,cos2A,由于B是钝角,故A,cos A,A.sin B,B,C(AB).12(2018北京)在ABC中,a7,b8,cos B.(1)求A;(2)求AC边上的高解(1)在ABC中,因为cos B,所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B,所

16、以0A0,sin Acos A,即tan A.0A,A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)232,则(bc)264,即bc8(当且仅当bc4时等号成立),ABC的周长labc4bc12,即最大值为12.15在ABC中,C60,且2,则ABC面积S的最大值为_答案解析由C60及2,可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号),Sabsin C3,ABC的面积S的最大值为.16在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2(bc)2(2)bc,且sin B1cos C,BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小;(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc,得a2b2c2bc,即b2c2a2bc,cos A,又0A,A.又sin B1cos C,0sin B1,cos C0,即C为钝角,B为锐角,且BC,则sin1cos C,化简得cos1,解得C,B.(2)由(1)知,ab,sin C,cos C,在ACM中,由余弦定理得AM2b222bcos Cb2()2,解得b2,故SABCabsin C22.