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2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数2.1 函数及其表示

1、2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域;分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点,题型既有选择、填空题,又有解答题,中等偏上难度.1.函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作yf(x),xA.(2)函数的定义域、值域

2、函数yf(x),xA中,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域,所有函数值构成的集合y|yf(x),xA叫做这个函数的值域.(3)确定一个函数的两个要素:定义域和对应法则.2.设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x).于是yf(x),x称作y的原象.映射f也可记为:f:AB,xf(x).其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法:待定系

3、数法、换元法、配凑法、消去法.4.函数的表示法(1)函数的常用表示方法:列表法、图象法、解析法.(2)分段函数:在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型;(2)根式型;(3)对数式型;(4)指数函数、对数函数型;(5)三角函数型题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f:AB,其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)若AR,Bx|x0,f:xy|x|,

4、其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2函数f(x)的定义域是_答案(,1)(1,43函数yf(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是_;值域是_;其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知集合Px|0x4,Qy|0y2,下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是_(填序号)f:xyx;f:xyx;f:xyx;f:xy.答案解析对于,因为当x4时,y4Q,所以不是从P到Q的函数5已知函数f(x)x|x|,若f(x0)4,则x0的值为_答案2解析当x0时,f(x)x2,f(x0)4,即x4

5、,解得x02.当x0时,f(x)x2,f(x0)4,即x4,无解,所以x02.6设f(x)则f(f(2)_.答案解析因为20,所以f(f(2)f11.题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018江苏)函数f(x)的定义域为_答案x|x2解析由log2x10,即log2xlog22,解得x2,满足x0,所以函数f(x)的定义域为x|x2(2)函数f(x)ln的定义域为_答案4,0)(0,1)解析由解得4x0或0x1,故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)(3)若函数yf(x)的定义域是0,2 020,则函数g(x)的定义域是()A1,2 019 B1,1)(1,2 019C0

6、,2 020 D1,1)(1,2 020答案B解析使函数f(x1)有意义,则0x12 020,解得1x2 019,故函数f(x1)的定义域为1,2 019所以函数g(x)有意义的条件是 解得1x1或1x2 019.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 019引申探究本例(3)中,若将“函数yf(x)的定义域为0,2 020”,改为“函数f(x1)的定义域为0,2 020”,则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 018解析由函数f(x1)的定义域为0,2 020,得函数yf(x)的定义域为1,2 019,令则2x2 018且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 018命

7、题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f(x)的定义域为x|1x2,则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2,所以解得所以ab3.(2)设f(x)的定义域为0,1,要使函数f(xa)f(xa)有定义,则a的取值范围为_答案解析函数f(xa)f(xa)的定义域为a,1aa,1a,当a0时,应有a1a,即0a;当a0时,应有a1a,即a0.所以a的取值范围是.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,可借助于数轴,注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域若yf(x)的定义域为(a,b),则解不

8、等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域;若yf(g(x)的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数的值或范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解跟踪训练1 (1)若函数yf(x)的定义域为0,2,则函数g(x)的定义域是()A0,1) B0,1C0,1)(1,4 D(0,1)答案A解析函数yf(x)的定义域是0,2,要使函数g(x)有意义,可得解得0x1,故选A.(2)函数yln的定义域为_答案(0,1解析函数的定义域满足解得0x1.(3)若函数f(x)的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是_答案0,4解析由题意知,mx

9、2mx10对xR恒成立当m0时,f(x)的定义域为一切实数;当m0时,由得00)解析在f(x)3f1中,将x换成,则换成x,得f3f(x)1,将该方程代入已知方程消去f,得f(x)(x0)思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(3)配凑法:由已知条件f(g(x)F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;(4)消去法:已知f(x)与f或f(x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f

10、(x)题型三常见函数的值域求下列函数的值域:(1)y3x2x2,x1,3;(2)y;(3)yx4;(4)y.解(1)(配方法)因为y3x2x232,所以函数y3x2x2在1,3上单调递增当x1时,原函数取得最小值4;当x3时,原函数取得最大值26.所以函数y3x2x2(x1,3)的值域为4,26(2)(分离常数法)y3,因为0,所以33,所以函数y的值域为y|y3(3)(换元法)设t,t0,则x1t2,所以原函数可化为y1t24t(t2)25(t0),所以y5,所以原函数的值域为(,5(4)(均值不等式法)yxx,因为x,所以x0,所以x2,当且仅当x,即x时取等号所以y,即原函数的值域为.思

11、维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法,但要注意各种方法所适用的函数形式,还要注意函数定义域的限制换元法多用于无理函数,换元的目的是进行化归,把无理式转化为有理式来解二次分式型函数求值域,多采用分离出整式再利用基本不等式求解题型四分段函数命题点1求分段函数的函数值例3 (1)已知f(x)且f(0)2,f(1)3,则f(f(3)等于()A2 B2 C3 D3答案B解析由题意得f(0)a0b1b2,解得b1;f(1)a1ba113,解得a.故f(3)319,从而f(f(3)f(9)log392.(2)已知函数f(x)则f(2log32)的值为_答案解析2log312log322l

12、og33,即22log323,f(2log32)f(2log321)f(3log32),又33log320,则|log2x|,解得x或x.故x的集合为.(2)已知函数f(x)若f(a),则实数a的取值范围是_答案解析当a0时,令2a,解得10时,令a,解得0a.a(1,0,即a.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值:当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来跟踪训练2 (1)已知函数f(

13、x)若f(2a)1,则a等于()A2 B1C1或 D2答案B解析当2a2,即a0时,令22a211,解得a1;当2a0时,令log23(2a)1,解得a,不符合,舍去所以a1.(2)(2018全国)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(,1 B(0,)C(1,0) D(,0)答案D解析方法一当即x1时,f(x1)f(2x)即为2(x1)22x,即(x1)2x,解得x1.因此不等式的解集为(,1当时,不等式组无解当即1x0时,f(x1)f(2x)即122x,解得x0时,f(x1)1,f(2x)1,不合题意综上,不等式f(x1)f(2x)的解集为(,0)故选D.方法二f(

14、x)函数f(x)的图象如图所示由图可知,当x10且2x0时,函数f(x)为减函数,故f(x1)2x.此时x1.当2x0时,f(2x)1,f(x1)1,满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上,不等式f(x1)0时,每一个x对应2个y,图象中x0对应2个y,所以均不是函数图象;图象是函数图象2下列各组函数中,表示同一函数的是()Af(x)eln x,g(x)xBf(x),g(x)x2Cf(x),g(x)sin xDf(x)|x|,g(x)答案D解析A,B,C的定义域不同,所以答案为D.3(2018郑州调研)函数f(x)ln 的定义域为()A(0,) B(1,)C(0,1) D(0,1)(1,)答

15、案B解析要使函数f(x)有意义,应满足解得x1,故函数f(x)ln 的定义域为(1,)4(2018营口联考)若函数f(x21)的定义域为1,1,则f(lg x)的定义域为()A1,1 B1,2C10,100 D0,lg 2答案C解析因为f(x21)的定义域为1,1,则1x1,故0x21,所以1x212.因为f(x21)与f(lg x)是同一个对应关系,所以1lg x2,故10x100,所以函数f(lg x)的定义域为10,100故选C.5已知f2x5,且f(a)6,则a等于()A B. C. D答案B解析令tx1,则x2t2,所以f(t)2(2t2)54t1,所以f(a)4a16,即a.6.如

16、图,AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形,平面图形OBD是四分之一圆的扇形,点P在线段AB上,PQAB,且PQ交AD或交弧DB于点Q,设APx(0x2),图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y,则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为:(1)当0x1时,y随x的增大而增大,而且增加的速度越来越快(2)当1x0,f(f(2)f(log29)333381243.故选B.9已知f(x)是一次函数,且满足3f(x1)2f(x1)2x17,则f(x)_.答案2x7解析设f(x)axb(a0),则3f(x1)2f(x1)ax5ab,所以ax5ab2

17、x17对任意实数x都成立,所以解得所以f(x)2x7.10函数y的值域是_答案解析若x0,则y0;若x0,则y.故所求值域为.11已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集是_答案x|4x2解析当x0时,由题意得11,解得4x0.当x0时,由题意得(x1)21,解得0x2,综上f(x)1的解集为x|4x212定义新运算“”:当mn时,mnm;当mf(t),则实数t的取值范围是_答案(4,4)解析f(2)4,f(4)8,不等式f(f(2)f(t)可化为f(t)8.当t0时,2t8,得4t0;当t0时,t22t8,即(t1)29,得0t4.综上所述,t的取值范围是(4,4)14已知具有性质:ff(x

18、)的函数,我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数,下列函数:f(x)x;f(x)x;f(x)其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)答案解析对于,f(x)x,fxf(x),满足;对于,fxf(x),不满足;对于,f即f故ff(x),满足综上,满足“倒负”变换的函数是.15已知函数f(x)满足对任意的xR都有ff4成立,则ffff_.答案30解析由ff4,得ff4,ff4,ff4,又f2,ffff47230.16.如图为一木制框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为4 m2,设用x表示y的表达式为f(x),则f(x)_.答案(0x4)解析由已知xyxx4,yx,即f(x).又得0x4.