1、2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1.函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域
2、函数yf(x)，xA中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域.(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则.2.设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是yf(x)，x称作y的原象.映射f也可记为：f：AB，xf(x).其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系
3、数法、换元法、配凑法、消去法.4.函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法.(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，
4、其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2函数f(x)的定义域是_答案(，1)(1,43函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.答案解析对于，因为当x4时，y4Q，所以不是从P到Q的函数5已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为_答案2解析当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4
5、，解得x02.当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，无解，所以x02.6设f(x)则f(f(2)_.答案解析因为20，所以f(f(2)f11.题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018江苏)函数f(x)的定义域为_答案x|x2解析由log2x10，即log2xlog22，解得x2，满足x0，所以函数f(x)的定义域为x|x2(2)函数f(x)ln的定义域为_答案4,0)(0,1)解析由解得4x0或0x1，故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)(3)若函数yf(x)的定义域是0,2 020，则函数g(x)的定义域是()A1,2 019 B1,1)(1,2 019C0
6、,2 020 D1,1)(1,2 020答案B解析使函数f(x1)有意义，则0x12 020，解得1x2 019，故函数f(x1)的定义域为1，2 019所以函数g(x)有意义的条件是 解得1x1或1x2 019.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 019引申探究本例(3)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2 020”，改为“函数f(x1)的定义域为0,2 020”，则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 018解析由函数f(x1)的定义域为0,2 020，得函数yf(x)的定义域为1,2 019，令则2x2 018且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 018命
7、题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.(2)设f(x)的定义域为0,1，要使函数f(xa)f(xa)有定义，则a的取值范围为_答案解析函数f(xa)f(xa)的定义域为a,1aa,1a，当a0时，应有a1a，即0a；当a0时，应有a1a，即a0.所以a的取值范围是.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不
8、等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解跟踪训练1 (1)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1) B0,1C0,1)(1,4 D(0,1)答案A解析函数yf(x)的定义域是0,2，要使函数g(x)有意义，可得解得0x1，故选A.(2)函数yln的定义域为_答案(0,1解析函数的定义域满足解得0x1.(3)若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_答案0,4解析由题意知，mx
9、2mx10对xR恒成立当m0时，f(x)的定义域为一切实数；当m0时，由得00)解析在f(x)3f1中，将x换成，则换成x，得f3f(x)1，将该方程代入已知方程消去f，得f(x)(x0)思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f
10、(x)题型三常见函数的值域求下列函数的值域：(1)y3x2x2，x1,3；(2)y；(3)yx4；(4)y.解(1)(配方法)因为y3x2x232，所以函数y3x2x2在1,3上单调递增当x1时，原函数取得最小值4；当x3时，原函数取得最大值26.所以函数y3x2x2(x1,3)的值域为4,26(2)(分离常数法)y3，因为0，所以33，所以函数y的值域为y|y3(3)(换元法)设t，t0，则x1t2，所以原函数可化为y1t24t(t2)25(t0)，所以y5，所以原函数的值域为(，5(4)(均值不等式法)yxx，因为x，所以x0，所以x2，当且仅当x，即x时取等号所以y，即原函数的值域为.思
11、维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解题型四分段函数命题点1求分段函数的函数值例3 (1)已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)等于()A2 B2 C3 D3答案B解析由题意得f(0)a0b1b2，解得b1；f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.(2)已知函数f(x)则f(2log32)的值为_答案解析2log312log322l
12、og33，即22log323，f(2log32)f(2log321)f(3log32)，又33log320，则|log2x|，解得x或x.故x的集合为.(2)已知函数f(x)若f(a)，则实数a的取值范围是_答案解析当a0时，令2a，解得10时，令a，解得0a.a(1,0，即a.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练2 (1)已知函数f(
13、x)若f(2a)1，则a等于()A2 B1C1或 D2答案B解析当2a2，即a0时，令22a211，解得a1；当2a0时，令log23(2a)1，解得a，不符合，舍去所以a1.(2)(2018全国)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)故选D.方法二f(
14、x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)2x.此时x1.当2x0时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式f(x1)0时，每一个x对应2个y，图象中x0对应2个y，所以均不是函数图象；图象是函数图象2下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)eln x，g(x)xBf(x)，g(x)x2Cf(x)，g(x)sin xDf(x)|x|，g(x)答案D解析A，B，C的定义域不同，所以答案为D.3(2018郑州调研)函数f(x)ln 的定义域为()A(0，) B(1，)C(0,1) D(0,1)(1，)答
15、案B解析要使函数f(x)有意义，应满足解得x1，故函数f(x)ln 的定义域为(1，)4(2018营口联考)若函数f(x21)的定义域为1,1，则f(lg x)的定义域为()A1,1 B1,2C10,100 D0，lg 2答案C解析因为f(x21)的定义域为1,1，则1x1，故0x21，所以1x212.因为f(x21)与f(lg x)是同一个对应关系，所以1lg x2，故10x100，所以函数f(lg x)的定义域为10,100故选C.5已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A B. C. D答案B解析令tx1，则x2t2，所以f(t)2(2t2)54t1，所以f(a)4a16，即a.6.如
16、图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x0，f(f(2)f(log29)333381243.故选B.9已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.答案2x7解析设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)ax5ab，所以ax5ab2
17、x17对任意实数x都成立，所以解得所以f(x)2x7.10函数y的值域是_答案解析若x0，则y0；若x0，则y.故所求值域为.11已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集是_答案x|4x2解析当x0时，由题意得11，解得4x0.当x0时，由题意得(x1)21，解得0x2，综上f(x)1的解集为x|4x212定义新运算“”：当mn时，mnm；当mf(t)，则实数t的取值范围是_答案(4,4)解析f(2)4，f(4)8，不等式f(f(2)f(t)可化为f(t)8.当t0时，2t8，得4t0；当t0时，t22t8，即(t1)29，得0t4.综上所述，t的取值范围是(4,4)14已知具有性质：ff(x
18、)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上，满足“倒负”变换的函数是.15已知函数f(x)满足对任意的xR都有ff4成立，则ffff_.答案30解析由ff4，得ff4，ff4，ff4，又f2，ffff47230.16.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m2，设用x表示y的表达式为f(x)，则f(x)_.答案(0x4)解析由已知xyxx4，yx，即f(x).又得0x4.