1、2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（4分）已知全集U1，2，3，4，5，A1，3，则UA（）AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，52（4分）函数的定义域是（）ABCD3（4分）已知，则（）ABCD4（4分）复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5（4分）“sincos”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（4分）为了得到的图象，只需将函数ysin2x的图象（）A向右平移个单位B向右平移
2、个单位C向左平移个单位D向左平移个单位7（4分）已知函数在区间（1，+）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）ABCD8（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A12B24C36D729（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）AB2CD410（4分）已知函数f（x）alnx2x，若不等式2alnx2x2+f（2x1）在x（1，+）上恒成立，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca0D0a2二、填空题：本大题共7小题，多空题
3、每小题6分，单空题每小题6分，共36分11（6分）已知向量|1，的夹角为，则 ，| 12（6分）已知随机变量XB（n，p），则E（X）2，D（X），则n ，p 13（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为 ；所有的二项式系数之和为 14（6分）在数列an中，已知a12，则a2 ，归纳可知an 15（4分）已知函数f（x）3x2，若存在使得不等式成立，则实数的最小值为 16（4分）设a0且a1，函数f（x）为奇函数，则f（g（2） 17（4分）已
4、知D是ABC中AC所在边上的一点，则在上投影的最小值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数，（）求函数的最小正周期；（）当时，求f（x）的取值范围19（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔选手F与A，B，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响（）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望20（15分）已知向量与，其中（）若，求ta
5、nx的值；（）记函数f（x），且f（a），求sin的值21（15分）已知函数f（x）ax2+bx+c（a0）满足f（0）0，对于任意xR都有f（x）x，且（）求函数f（x）的表达式；（）令g（x）f（x）|x1|（0），讨论函数g（x）在区间（1，2）上零点个数的所有情况22（15分）已知函数f（x）mxln（x+1）+x+1，mR（）求函数f（x）在x0处的切线方程；（）当x0时，f（x）ex，求实数m的取值范围（）求证：（nN*）2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有
6、一项符合题目要求1（4分）已知全集U1，2，3，4，5，A1，3，则UA（）AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，5【分析】根据补集的定义直接求解：UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合【解答】解：根据补集的定义，UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件UA2，4，5故选：C【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题2（4分）函数的定义域是（）ABCD【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可【解答】解：由题意得，解得x，则函数的定义域是，故选：C【点评】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题3（4分）已知，则（）AB
7、CD【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题【解答】解：根据题意设x+y，则（1，2）x（1，1）+y（1，1）x+y1 xy2 由知，x，y故选：D【点评】本题考查平面向量的坐标表示4（4分）复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】将复数化简整理，得z+i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限【解答】解：+i复数在复平面内对应的点为Z（，），为第二象限内的点故选：B【点评】本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题5（4分）“sinco
8、s”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由“sincos”得：k+，kZ，故sincos是“”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题6（4分）为了得到的图象，只需将函数ysin2x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【分析】先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数ysin2xcos（2x） 的图象向左平移个单位，可
9、得ycos（2x+）cos（2x+）的图象，故选：D【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数yAsin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题7（4分）已知函数在区间（1，+）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）ABCD【分析】先对函数进行求导，根据函数函数在区间（1，+）上有极小值无极大值，列出不等式组，进而可解出a的范围【解答】解：函数，f'（x）x2+2ax2，函数在区间（1，+）上有极小值无极大值，f'（x）x2+2ax20在区间（1，+）上有1个实根，（，1上有1个根，解得a故选：A【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，
10、以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想属中档题8（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A12B24C36D72【分析】根据题意，分2步进行分析：，将4名教师分成3组，将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，将4名教师分成3组，有C426种分组方法，将分好的三组全排列，对应3种题型，有A336种情况，则有6636种不同的分派方法；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数
11、原理的应用，属于基础题9（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）AB2CD4【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g（x）2f（x）f2（x），然后利用基本不等式的性质，转化为关于f（1）+f（2020）的一元二次不等式，进行求解即可【解答】解：由，得2f（x）f2（x）0，得0f（x）2，平方得f2（x+1）1+2+2f（x）f2（x），2f（x+1）2+2得2f（x+1）f2（x+1）2+21+2+2f（x）f2（x）12f（x）f2（x），即2f（x+1）f2（x+1）+2f（x）f2（x）1，设g（x）2f（x）f2（x），则等价为g（x+1）+g（x
12、）1，即g（x+2）+g（x+1）g（x+1）+g（x）1，g（x+2）g（x），则g（0）g（2）g（4）g（2020），g（1）g（3）g（5）g（2021），则g（1）+g（2020）g（1）+g（0）1，2f（1）f2（1）+2f（2020）f2（2020）1，即2f（1）+f（2020）f2（1）+f2（2020）1即2f（1）+f（2020）f（1）+f（2020）22f（1）f（2020）12f（1）f（2020）1+f（1）+f（2020）22f（1）+f（2020）22f（1）+f（2020）2，设tf（1）+f（2020），则不等式等价为1+t22tt2，整理得t24t+2
13、0，得2t2+，即2f（1）+f（2020）2+，则f（1）+f（2020）的最大值为2+，故选：C【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键综合性较强，难度较大10（4分）已知函数f（x）alnx2x，若不等式2alnx2x2+f（2x1）在x（1，+）上恒成立，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca0D0a2【分析】根据条件先计算f（x2），将不等式等价转化为f（x2）f（2x1）在x（1，+）上恒成立，结合函数单调性进行求解即可【解答】解：f（x）alnx2x，x0，f（x2）alnx22x22alnx2
14、x2，则不等式2alnx2x2+f（2x1）在x（1，+）上恒成立，等价为2alnx2x2f（2x1），即f（x2）f（2x1）在x（1，+）上恒成立，x2（2x1）x22x+1（x1）20，即x22x1，等价为函数f（x）在（1，+）为减函数即可，函数的导数f（x）0即可，f（x）2，由f（x）20，即2，则a2x，在（1，+）上恒成立，2x2，a2，即实数a的取值范围是a2，故选：A【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用条件转化为f（x2）f（2x1）在x（1，+）上恒成立，以及利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共3
15、6分11（6分）已知向量|1，的夹角为，则1，|【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可，通过向量的模转化求解即可【解答】解：向量|1，的夹角为，则|cos11，|故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力12（6分）已知随机变量XB（n，p），则E（X）2，D（X），则n8，p【分析】直接利用离散型随机变量的期望与方差，列出方程求解即可【解答】解：随机变量XB（n，p），且E（X）2，D（X），可得np2，np（1p），解得pn8故答案为：8；【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查计算能力13（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为40；所
16、有的二项式系数之和为32【分析】由二项式定理及二项式系数得：二项式（1+2x）5展开式的通项可得：Tr+1（2x）r，当r2时，第三项的系数为40，所有的二项式系数之和为2532，得解【解答】解：由二项式（1+2x）5展开式的通项可得：Tr+1（2x）r，当r2时，第三项的系数为40，所有的二项式系数之和为2532，故答案为：40 32【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题14（6分）在数列an中，已知a12，则a2，归纳可知an【分析】根据数列的递推关系进行计算，利用取倒数法，结合等差数列的定义进行求解即可【解答】解：a12，a2，由，取倒数得3+，得得3，即数列是以
17、公差d3的等差数列，首项为，则+3（n1），即an，nN故答案为：，【点评】本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推公式，利用取倒数法是解决本题的关键15（4分）已知函数f（x）3x2，若存在使得不等式成立，则实数的最小值为【分析】令f（x）解得x，若存在（0，不等式f（cos2+sin1）+0成立，化为存在（0，不等式cos2+sin1成立，即sin2sin+0成立；设g（）sin2sin+，（0，求g（）的最小值小于或等于0即可【解答】解：函数f（x）3x2，令f（x），解得：x；若存在（0，不等式f（cos2+sin1）+0成立，则存在（0，cos2+sin1成立，即1sin2+sin1
18、成立，所以sin2sin+0成立；设g（）sin2sin+，（0，则g（）+，由（0，得sin（0，1；所以0时，g（）在（0，上单调递增，则g（）g（0），不满足题意；02时，g（）在（0，上先增或减，则g（）g（0），令0，解得或（不合题意，舍去），所以2；2时，g（）在（0，上单调递减，则g（）g（）1+，令0，解得，所以2；综上所述，的取值范围是，+），所以的最小值为故答案为：【点评】本题考查了不等式成立应用问题，也考查了等价转化与应用问题，是难题16（4分）设a0且a1，函数f（x）为奇函数，则f（g（2）【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）0，即有f（0）a20，解可得a2
19、，则f（x），据此结合函数解析式分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）a20，解可得a2，则f（x），f（2）212，则g（2）f（2）f（2），g（）f（）f（）2，则f（g（2）2，故答案为：2【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题17（4分）已知D是ABC中AC所在边上的一点，则在上投影的最小值是【分析】依题意AC6，设|t，（0t6），然后根据数量积可以求出的最小值，从而可求出在上投影的最小值【解答】解：依题意AC6，设|t，（0t6）（）466（6t）6t（t0时取等，此时D与C重合），在上投影为故答案为：【点评
20、】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数，（）求函数的最小正周期；（）当时，求f（x）的取值范围【分析】（）由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期（）当时，利用正弦函数定义域和值域，求出f（x）的取值范围【解答】解：（），故它的周期（），sin（2x），1，即【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题19（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔选手F与A，B
21、，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响（）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望【分析】（）选手F与A，B，C的对抗赛获胜，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可（）X的可能值为0，1，2，3求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可【解答】（本题满分15分）解：（），F会入选；（）X的可能值为0，1，2，3P（X0），P（X1）+；P（X2）+，P（X3）所以，X的分布列为：X0123P【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随
22、机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用20（15分）已知向量与，其中（）若，求tanx的值；（）记函数f（x），且f（a），求sin的值【分析】（）通过向量的表达式，结合，利用二倍角公式化简求tanx的值；（）化简函数f（x），且f（a），列出关系式，通过两角和与差的三角函数，转化求sin的值【解答】解：（）向量与，其中，；（），【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力21（15分）已知函数f（x）ax2+bx+c（a0）满足f（0）0，对于任意xR都有f（x）x，且（）求函数f（x）的表达式；（）令g
23、（x）f（x）|x1|（0），讨论函数g（x）在区间（1，2）上零点个数的所有情况【分析】（）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可（）求出g（x）的解析式，当当时，方程x2+x1x在内必有一解，则只需要讨论当时，方程x2+xx1在内的解的个数问题，利用一元二次函数的性质进行讨论求解即可【解答】解：（）f（0）0，c0，对于任意xR，都有，函数f（x）的对称轴为，即，得ab，又f（x）x，即ax2+（b1）x0对于任意xR，都成立，a0，且（b1）20（b1）20，b1，a1f（x）x2+x（）g（x）f（x）|x1|x2+x|x1|，0，则即求方程x2+x|x|，在
24、（1，2）内的解的个数问题0，当时，方程x2+x1x在内必有一解只需考虑时，方程x2+xx1在内的解的个数问题即x2+（1）x+10，判别式（1）24223（+1）（3），当0时，可得3此时x1在（，2）上，此时有一解；当0时，可得03此时f（x）0无解，即此时在内无解；当0时，可得3记两解为x1，x2，（x1x2），x1x21，必有之间，取x2，若21f（2）即时，解x2（1，2）；若21f（2），即，x22，+）；综上，当03时，g（x）在（1，2）内有一个零点；当3或时，g（x）在（1，2）内有两个零点；当时，g（x）在（1，2）内有三个零点【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数
25、的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用属于综合性较强的试题22（15分）已知函数f（x）mxln（x+1）+x+1，mR（）求函数f（x）在x0处的切线方程；（）当x0时，f（x）ex，求实数m的取值范围（）求证：（nN*）【分析】（）推导出函数f（x）恒过点（0，1）f（x）mln（x+1）+1，f（0）1利用导数性质能求出函数f（x）在x0处的切线方程（）令g（x）ex（x+1），x0g（0）0则g（x）ex10，推导出exx+1m0时，x0时，f（x）ex恒成立m0时，x0时，f（x）ex令F（x）f（x）ex，（x0），F（0）f（0）10由F（x）0，可得
26、mxln（x+1）exx1，证明：由此能求出实数m的取值范围（）当时，从而，令，推导出，利用累加法能证明（nN*）【解答】解：（）f（x）mxln（x+1）+x+1，令x0时，f（0）1，函数f（x）恒过点（0，1）f（x）mln（x+1）+1，f（0）1函数f（x）在x0处的切线方程为：y1x，即xy+10（）令g（x）ex（x+1），x0g（0）0则g（x）ex10，x0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）g（0）0，因此exx+1若f（x）mxln（x+1）+x+1x+1，则f（x）ex，则mxln（x+1）0，可得：m0m0时，x0时，f（x）ex恒成立m0时，x0时，f（x）ex令F（x）f（x）ex，（x0），F（0）f（0）10由F（x）0，可得mxln（x+1）exx1，x0时，化为00，恒成立，mRx0时，化为：m下面证明：令h（x）2ex2x2xln（x+1），h（0）0h（x）2ex2ln（x+1）h（0）0h（x）2exh（0）0，h（x）0函数h（x）在0，+）上单调递增，h（x）h（0）0成立，并且是其最小值m综上可得：实数m的取值范围是（，）（）由（2）知：当时，令，累加得：，（nN*）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题