1、二次函数拔高专练（二）1、 如图，抛物线y=mx2-52mx-4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2-x1=112（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当ax1a+2，x292时，均有y1y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当BDC=MCE时，求点M的坐标2、若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，2），且过点C（2，2）（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标；（3）
2、在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由3、如图，顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CDy轴交抛物线于另一点D，作DEx轴，垂足为点E，双曲线y（x0）经过点D，连接MD，BD（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，BPD的度数最大？（请直接写出结果）4、综合与探究如图，抛物线经过点A（-2,0），
3、B（4,0）两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC.（1） 求抛物线的函数表达式；（2） BCD的面积等于AOC的面积的时，求的值；（3） 在（2）的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.5、直线y=32x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=34x2+2mx3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上
4、以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒PQ交线段AD于点E当DPE=CAD时，求t的值；过点E作EMBD，垂足为点M，过点P作PNBD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值6、如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（2，0），B（0，6），将RtAOB绕点O按顺时针方向分别旋转90，180得到RtA1OC，RtEOF抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F（1）点C的坐标为 ，点E的坐标为 ；抛物线C1的解析式为 抛
5、物线C2的解析式为 ；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点若PCA=ABO时，求P点的坐标；如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+2BM，求h与x的函数关系式，当5x2时，求h的取值范围7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，4）过点C（6，1）的双曲线y=kx（k0）与矩形OADB的边BD交于点E（1）填空：OA= ，k= ，点E的坐标为 ；（2）当1t6时，经过点M（t1，12t2+5t32）与点N（t3，12t2+3t72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=
6、12x2+bx+c的顶点当点P在双曲线y=kx上时，求证：直线MN与双曲线y=kx没有公共点；当抛物线y=12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积8、如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点
7、的三角形相似时，求P点的坐标9、如图1，抛物线C1：y=ax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的
8、坐标：若不存在，请说明理由10、抛物线L：y=x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kxk+4（k0）与抛物线L交于点M、N若BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点DF为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点若PCD与POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标11、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称
9、轴为直线x=2（1）求抛物线的解析式；（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1x2），当1x2-1x1=12时，求k的值；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当SPOQ：SBOQ=1：2时，求出点P的坐标（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=(x1-x2)2+(y1-y2)2）12、如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得PCBBOA（O为坐标原点）若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点
10、C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足MPO=POA的点M的坐标13、抛物线y=23x2+73x1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D将抛物线位于直线l：y=t（t2524）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象（1）点A，B，D的坐标分别为 ， ， ；（2）如图，抛物线翻折后，点D落在点E处当点E在ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否
11、存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由14、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y=x5经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M当AMBC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标15、已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，b2，c1求该二次函数图象的顶点坐标；定义：对于二次函数ypx2+qx+r（p
12、0），满足方程yx的x的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数yax2+bx+c有两个不同的“不动点”（2）设bc3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x10，x20，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OCOD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足AFCABCFA的延长线与BC的延长线相交于点P，若，求二次函数的表达式16、如图，抛物线yax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线yx2经过点A，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P
13、是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m当PCM是直角三角形时，求点P的坐标；作点B关于点C的对称点B，则平面内存在直线l，使点M，B，B到该直线的距离都相等当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：ykx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）17、如图1，AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：yx2+x的图象上，点A的横坐标为4，点B的纵坐标为2（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB，抛物线F2：yax2+bx+4经过A、B两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A恰好
14、在以OM为直径的圆上，连接OM、AM，求OAM的面积；（3）如图2，延长OB交抛物线F2于点C，连接AC，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由18、如图，已知抛物线yax2+bx1与x轴的交点为A（1，0），B（2，0），且与y轴交于C点（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），MEx轴，MFy轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由（3）已知点P是直线yx+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的
15、四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标二次函数拔高专练（二）答案1、如图，抛物线y=mx2-52mx-4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2-x1=112（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当ax1a+2，x292时，均有y1y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当BDC=MCE时，求点M的坐标解：（1）函数的对称轴为：x=-b2a=54=x1+x22，而且x2-x1=112，将上述两式联立并解得：x1=-32，x2=4，则函数的表达式为：y=
16、a（x+32）（x-4）=a（x2-4x+32x-6），即：-6a=-4，解得：a=23，故抛物线的表达式为：y=23x2-53x-4；（2）当x2=94时，y2=2，当aa+254时（即：a-34），y1y2，则23a2-53a-42，解得：-2a-92，而a-34，故：-2a-34；当54aa+2（即a54）时，则23（a+2）2-53（a+2）-42，同理可得：-34a54，故a的取值范围为：-2a54；（3）当BDC=MCE，MDC为等腰三角形，故取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，点H（12，-92），将点C、D坐标代入一次函数表达式：y=
17、mx+n并解得：直线CD的表达式为：y=-x-4，同理可得：直线BD的表达式为：y=53x-203，直线DCMH，则直线MH表达式中的k值为1，同理可得直线HM的表达式为：y=x-5，联立并解得：x=52，故点M（52，-52）2、若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，2），且过点C（2，2）（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由解：（1）二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，2）、C（2，2
18、） 解得：二次函数表达式为yx2x2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PDx轴于点D设P（t，t2t2）（t3）ODt，PDt2t2设直线BP解析式为ykx2把点P代入得：kt2t2t2kt直线BP：y（t）x2当y0时，（t）x20，解得：xC（，0）t3 ， t21，即点C一定在点A左侧AC3SPBASABC+SACPACOB+ACPDAC（OB+PD）44，解得：t14，t21（舍去）t2t2点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使ABOABM如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EFy轴于点FAB垂直
19、平分OEBEOB，OGGEABOABMA（3，0）、B（0，2），AOB90OA3，OB2，ABsinOAB，cosOABSAOBOAOBABOG ， OGOE2OGOAB+AOGAOG+BOG90OABBOGRtOEF中，sinBOG，cosBOGEFOE，OFOEE（，）设直线BE解析式为yex2把点E代入得：e2，解得：e直线BE：yx2当x2x2x2，解得：x10（舍去），x2点M横坐标为，即点M到y轴的距离为3、如图，顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CDy轴交抛物线于另一点D，作DEx轴，垂足为点E，双曲线y（x0）经过点D，
20、连接MD，BD（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，BPD的度数最大？（请直接写出结果）解；（1）C（0，3）CDy， D点纵坐标是3，D在y上， D（2，3），将点A（1，0）和D（2，3）代入yax2+bx+3，a1，b2， yx2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M，作D关于x轴的对称点D，连接MD与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为MD
21、+MD的长；M（1，4），D（2，3），MD直线的解析式为yx+， N（，0），F（0，）；（3）设P（0，t），PBO和CDP都是直角三角形，tanCDP，tanPBO，令ytanBPD，yt2+t3yt+6y90，15y2+30y+10时，y（舍）或y，t， t92，P（0，92）；4、综合与探究如图，抛物线经过点A（-2,0），B（4,0）两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC.（4） 求抛物线的函数表达式；（5） BCD的面积等于AOC的面积的时，求的值；（6） 在（2）的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否
22、存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线经过点A（-2,0），B（4,0），解得，抛物线的函数表达式为（2）作直线DE轴于点E，交BC于点G，作CFDE，垂足为F.点A的坐标为（-2,0）， OA=2由，得， 点C的坐标为（0,6）， OC=6SOAC=，SBCD=SAOC=设直线BC的函数表达式为，由B，C两点的坐标得，解得直线BC的函数表达式为.点G的坐标为点B的坐标为（4,0），OB=4SBCD=SCDG+SBDG=，解得（舍）， 的值为3（3）如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四
23、边形的构图以BD为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解.D点坐标为，所以的纵坐标为，解得（舍）可得的纵坐标为时，以BD为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解.5、直线y=32x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=34x2+2mx3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒PQ交线段AD于点E当DPE
24、=CAD时，求t的值；过点E作EMBD，垂足为点M，过点P作PNBD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值【解答】解：（1）在y=32x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2，点A（2，0）、点B（0，3），将点A（2，0）代入抛物线解析式，得：344+4m3m=0，解得：m=3，所以抛物线解析式为y=34x2+6x9，y=34x2+6x9=34（x4）2+3， 点D（4，3），对称轴为x=4，点C坐标为（6，0）；（2）如图1，由（1）知BD=AC=4，根据03t4，得：0t43，B（0，3）、D（4，3）， BDOC，CAD=ADB，DPE=CAD， DPE=ADB，AB=2
25、2+32=13、AD=(4-2)2+32=13， AB=AD，ABD=ADB， DPE=ABD，PQAB， 四边形ABPQ是平行四边形，AQ=BP，即2t=43t，解得：t=45，即当DPE=CAD时，t=45秒；（）当点N在AB上时，02t2，即0t1，连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，PNBD、EMBD，BDOC，PN=EM，OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NEFQ， FQ=OCOFQC=65t，点N在直线y=32x+3上， 点N的坐标为（2t，3t+3），PN=PFNF=3（3t+3）=3t，NEFQ， PNEPFQ， NEFQ=PNPF，F
26、H=NE=PNPFFQ=3t3（65t）=6t5t2，A（2，0）、D（4，3）， 直线AD解析式为y=32x3，点E在直线y=32x3上， 点E的坐标为（42t，3t+3），OH=OF+FH，42t=2t+6t5t2，解得：t=1+551（舍）或t=155；（）当点N在AD上时，22t4，即1t43，PN=EM，点E、N重合，此时PQBD， BP=OQ，2t=63t，解得：t=65，综上所述，当PN=EM时，t=（155）秒或t=65秒6、如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（2，0），B（0，6），将RtAOB绕点O按顺时针方向分别旋转90，180得到RtA1OC
27、，RtEOF抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F（1）点C的坐标为 ，点E的坐标为 ；抛物线C1的解析式为 抛物线C2的解析式为 ；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点若PCA=ABO时，求P点的坐标；如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+2BM，求h与x的函数关系式，当5x2时，求h的取值范围【解答】解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，则点C坐标为（6，0），E点坐标为（2，0），分别利用待定系数法求C1解析式为：y=12x2-4x-6，C2解析式为：y=12x2-2x+6故答案为：（6，0），（2，
28、0），y=12x2-4x-6，y=12x2-2x+6（2）若点P在x轴上方，PCA=ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1&0=-6k1+b1&2=b1， 解得&k1=13&b1=2直线CA1的解析式为：y=13x+2联立：&y=-12x2-4x-6&y=13x+2， 解得&x1=-83&y1=109或&x2=-6&y2=0（不符合题意，舍）根据题意，P点坐标为（83，109）；若点P在x轴下方，PCA=ABO时，则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P设直线CA2解析式为y=k2x+b2&0=-6k2+b2&-2=b2， 解得&
29、k2=-13&b2=-2直线CA2的解析式为：y=13x2联立&y=-12x2-4x-6&y=-13x-2 ， 解得&x1=-43&y1=-149或&x2=-6&y2=0（不符合题意，舍）由题意，点P坐标为（43，-149）符合条件的点P为（83，109）或（43，-149）；设直线BC的解析式为：y=kx+b&0=-6k+b&-6=b， 解得&k=-1&b=-6设直线BC的解析式为：y=x6过点B做BDMN于点D，如图，则BM=2BD2BM=2BD=2|x|=2xh=PM+NM+2BM=（yPyM）+（yNyM）+2|x|=yPyM+yNyM2x=12x24x6（x6）+12x2+6（x6）
30、+（2x）=x26x+12h=（x+3）2+21当x=3时，h的最大值为215x2当x=5时，h=（5+3）2+21=17当x=2时，h=（2+3）2+21=20h的取值范围是：17h217、如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，4）过点C（6，1）的双曲线y=kx（k0）与矩形OADB的边BD交于点E（1）填空：OA= ，k= ，点E的坐标为 ；（2）当1t6时，经过点M（t1，12t2+5t32）与点N（t3，12t2+3t72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=12x2+bx+c的顶点当点P在双曲线y=kx上时，求证：直线MN
31、与双曲线y=kx没有公共点；当抛物线y=12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积【解答】解：（1）A点坐标为（6，0）OA=6过点C（6，1）的双曲线y=kxk=6y=4时，x=64=-32点E的坐标为（32，4）故答案为：6，6，（32，4）（2）设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：&-12t2+5t-32=k1(t-1)+b1&-12t2+3t-72=k1(-t-3)+b1， 解得&k1=1&b=-12t2+4t-12抛物线y=12x2+bx+c过点
32、M、N&-12t2+5t-32=-12(t-1)2+b(t-1)+c&-12t2+3t-72=-12(-t-3)2+b(-t-3)+c， 解得&b=-1&c=5t-2抛物线解析式为：y=12x2x+5t2顶点P坐标为（1，5t32）P在双曲线y=6x上（5t32）（1）=6t=32此时直线MN解析式为：联立&y=x+358&y=-6x8x2+35x+49=0=3524848=122515360直线MN与双曲线y=6x没有公共点当抛物线过点B，此时抛物线y=12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点4=5t2，得t=65当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点10
33、t-32=4，得t=1110t=65或t=1110点P的坐标为（1，5t32）yP=5t32当1t6时，yP随t的增大而增大此时，点P在直线x=1上向上运动点F的坐标为（0，12t2+4t-12）， yF=12(t-4)2+152当1t4时，随者yF随t的增大而增大此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动1t4当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（3，0），与y轴交于点H（0，3）当t=43时，直线MN过点A当1t4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=12(32+6)4-1233=2128、如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是
34、直线x=3（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标【解答】解：（1）抛物线过原点，对称轴是直线x=3， B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x6），把A（8，4）代入得a82=4，解得a=14，抛物线解析式为y=14x（x6），即y=14x232x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=12x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得
35、&6k+b=0&8k+b=4，解得&k=2&b=-12，直线AB的解析式为y=2x12，MNAB， 设直线MN的解析式为y=2x+n，把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=2t，直线MN的解析式为y=2x2t，解方程组&y=12x&y=2x-2t得&x=43t&y=23t，则N（43t，23t），SAMN=SAOMSNOM = 124t12t23t=13t2+2t =13（t3）2+3，当t=3时，SAMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，14m232m），OPQ=ACO， 当PQOC=POAC时，PQOCOA，即PQ8=PO4，PQ=2PO，即|14m232m|=2|
36、m|，解方程14m232m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；解方程14m232m=2m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，4）；当PQAC=POOC时，PQOCAO，即PQ4=PO8，PQ=12PO，即|14m232m|=12|m|，解方程14m232m=12m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），解方程14m232m=12m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，1）；综上所述，P点坐标为（14，28）或（2，4）或（2，1）9、如图1，抛物线C1：y=ax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，
37、0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由【解答】解：（1）点A的坐标为（1，0），OA=1， OC=3OA，点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=
38、ax22ax+c，得：&a+2a+c=0&c=3，解得：&a=-1&c=3，抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3=（x1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，过点G作GDx轴于点D，设BD=m，ABG为等边三角形， GD=3BD=3m，则点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，3m），将点B、G的坐标代入y=（x1）2+4k，得：&-m2+4-k=0&4-k=3m， 解得：&m1=0&k1=4（舍），&m2=3&k2=1， k=1；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2）， PQ=
39、OA=1，AOQ、PQN均为钝角， AOQPQN，如图2，延长PQ交直线y=1于点H，则QHN=OMQ=90，又AOQPQN， OQ=QN，AOQ=PQN，MOQ=HQN， OQMQNH（AAS），OM=QH，即x=x2+2x+2+1，解得：x=1132（负值舍去），当x=1+132时，HN=QM=x2+2x+2=13-12，点M（1+132，0），点N坐标为（1+132+13-12，1），即（13，1）；或（1+13213-12，1），即（1，1）；如图3，同理可得OQMPNH，OM=PH，即x=（x2+2x+2）1，解得：x=1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM
40、=（x2+2x+2）=6，点N的坐标为（4+6，1）即（10，1），或（46，1）即（2，1）；综上点M1（1+132，0）、N1（13，1）；M2（1+132，0）、N2（1，1）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）10、抛物线L：y=x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kxk+4（k0）与抛物线L交于点M、N若BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D
41、F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点若PCD与POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标【解答】解：（1）由题意知&-b2(-1)=1&c=1，解得：b=2、c=1，抛物线L的解析式为y=x2+2x+1；（2）如图1，y=kxk+4=k（x1）+4，当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），y=x2+2x+1=（x1）2+2，点B（1，2），则BG=2，SBMN=1，即SBNGSBMG=12BGxN12BGxM=1，xNxM=1，由&y=kx-k+4&y=-x2-2x+1得x2+（k2）xk+3=0，解得：x=2-k(k-2)2-4(3-k
42、)2=2-kk2-82，则xN=2-k+k2-82、xM=2-k-k2-82，由xNxM=1得k2-8=1， k=3，k0， k=3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y=x2+2x+1+m，C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），当PCDFOP时，PCCD=FOOP，1+m-t2=1t， t2（1+m）t+2=0；当PCDPOF时，PCCD=POOF，1+m-t2=t1， t=13（m+1）；（）当方程有两个相等实数根时，=（1+m）28=0，解得：m=221（负值舍去），此时方程有两个相等实数根t1=t2=2，方程有一个实数根t=223， m=221，此时点P的坐标为（0，2）和（0，223）；（）当方程有两个不相等的实数根时，把代入，得：19（m+