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2020年浙江省宁波市中考数学专题复习:二次函数拔高训练(二)(答案及解析)

1、二次函数拔高专练(二)1、 如图,抛物线y=mx2-52mx-4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x2-x1=112(1)求抛物线的解析式;(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当ax1a+2,x292时,均有y1y2,求a的取值范围;(3)抛物线上一点D(1,-5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当BDC=MCE时,求点M的坐标2、若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,2),且过点C(2,2)(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且SPBA4,求点P的坐标;(3)

2、在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使ABOABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由3、如图,顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CDy轴交抛物线于另一点D,作DEx轴,垂足为点E,双曲线y(x0)经过点D,连接MD,BD(1)求抛物线的表达式;(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,BPD的度数最大?(请直接写出结果)4、综合与探究如图,抛物线经过点A(-2,0),

3、B(4,0)两点,与轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为.连接AC,BC,DB,DC.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) BCD的面积等于AOC的面积的时,求的值;(3) 在(2)的条件下,若点M是轴上的一个动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.5、直线y=32x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=34x2+2mx3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;(2)动点P在BD上

4、以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒PQ交线段AD于点E当DPE=CAD时,求t的值;过点E作EMBD,垂足为点M,过点P作PNBD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值6、如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A和点B的坐标分别为A(2,0),B(0,6),将RtAOB绕点O按顺时针方向分别旋转90,180得到RtA1OC,RtEOF抛物线C1经过点C,A,B;抛物线C2经过点C,E,F(1)点C的坐标为 ,点E的坐标为 ;抛物线C1的解析式为 抛

5、物线C2的解析式为 ;(2)如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线C1上的一个动点若PCA=ABO时,求P点的坐标;如图2,过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线C2于点N,记h=PM+NM+2BM,求h与x的函数关系式,当5x2时,求h的取值范围7、如图,在平面直角坐标系中,矩形OADB的顶点A,B的坐标分别为A(6,0),B(0,4)过点C(6,1)的双曲线y=kx(k0)与矩形OADB的边BD交于点E(1)填空:OA= ,k= ,点E的坐标为 ;(2)当1t6时,经过点M(t1,12t2+5t32)与点N(t3,12t2+3t72)的直线交y轴于点F,点P是过M,N两点的抛物线y=

6、12x2+bx+c的顶点当点P在双曲线y=kx上时,求证:直线MN与双曲线y=kx没有公共点;当抛物线y=12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点,求t的值;当点F和点P随着t的变化同时向上运动时,求t的取值范围,并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积8、如图,已知二次函数的图象过点O(0,0)A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MNAB交OA于N,当ANM面积最大时,求M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点

7、的三角形相似时,求P点的坐标9、如图1,抛物线C1:y=ax22ax+c(a0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C已知点A的坐标为(1,0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G(1)求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标;(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A、B,顶点为G,当ABG是等边三角形时,求k的值:(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的

8、坐标:若不存在,请说明理由10、抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B(1)直接写出抛物线L的解析式;(2)如图1,过定点的直线y=kxk+4(k0)与抛物线L交于点M、N若BMN的面积等于1,求k的值;(3)如图2,将抛物线L向上平移m(m0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点DF为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点若PCD与POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标11、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于原点及点A,且经过点B(4,8),对称

9、轴为直线x=2(1)求抛物线的解析式;(2)设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1,x2(x1x2),当1x2-1x1=12时,求k的值;(3)连接OB,点P为x轴下方抛物线上一动点,过点P作OB的平行线交直线AB于点Q,当SPOQ:SBOQ=1:2时,求出点P的坐标(坐标平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的距离MN=(x1-x2)2+(y1-y2)2)12、如图,直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得PCBBOA(O为坐标原点)若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点

10、C,F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式;(2)当m为何值时,MAB面积S取得最小值和最大值?请说明理由;(3)求满足MPO=POA的点M的坐标13、抛物线y=23x2+73x1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D将抛物线位于直线l:y=t(t2524)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象(1)点A,B,D的坐标分别为 , , ;(2)如图,抛物线翻折后,点D落在点E处当点E在ABC内(含边界)时,求t的取值范围;(3)如图,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否

11、存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由14、如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C直线y=x5经过点B,C(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标15、已知二次函数yax2+bx+c(a0)(1)若a1,b2,c1求该二次函数图象的顶点坐标;定义:对于二次函数ypx2+qx+r(p

12、0),满足方程yx的x的值叫做该二次函数的“不动点”求证:二次函数yax2+bx+c有两个不同的“不动点”(2)设bc3,如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),其中x10,x20,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正半轴上,且OCOD,又点E的坐标为(1,0),过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足AFCABCFA的延长线与BC的延长线相交于点P,若,求二次函数的表达式16、如图,抛物线yax2+x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C直线yx2经过点A,C(1)求抛物线的解析式;(2)点P

13、是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m当PCM是直角三角形时,求点P的坐标;作点B关于点C的对称点B,则平面内存在直线l,使点M,B,B到该直线的距离都相等当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:ykx+b的解析式(k,b可用含m的式子表示)17、如图1,AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1:yx2+x的图象上,点A的横坐标为4,点B的纵坐标为2(点A在点B的左侧)(1)求点A、B的坐标;(2)将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB,抛物线F2:yax2+bx+4经过A、B两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A恰好

14、在以OM为直径的圆上,连接OM、AM,求OAM的面积;(3)如图2,延长OB交抛物线F2于点C,连接AC,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由18、如图,已知抛物线yax2+bx1与x轴的交点为A(1,0),B(2,0),且与y轴交于C点(1)求该抛物线的表达式;(2)点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),MEx轴,MFy轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?说明理由(3)已知点P是直线yx+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q为顶点的

15、四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标二次函数拔高专练(二)答案1、如图,抛物线y=mx2-52mx-4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x2-x1=112(1)求抛物线的解析式;(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当ax1a+2,x292时,均有y1y2,求a的取值范围;(3)抛物线上一点D(1,-5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当BDC=MCE时,求点M的坐标解:(1)函数的对称轴为:x=-b2a=54=x1+x22,而且x2-x1=112,将上述两式联立并解得:x1=-32,x2=4,则函数的表达式为:y=

16、a(x+32)(x-4)=a(x2-4x+32x-6),即:-6a=-4,解得:a=23,故抛物线的表达式为:y=23x2-53x-4;(2)当x2=94时,y2=2,当aa+254时(即:a-34),y1y2,则23a2-53a-42,解得:-2a-92,而a-34,故:-2a-34;当54aa+2(即a54)时,则23(a+2)2-53(a+2)-42,同理可得:-34a54,故a的取值范围为:-2a54;(3)当BDC=MCE,MDC为等腰三角形,故取DC的中点H,过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M,则点M为符合条件的点,点H(12,-92),将点C、D坐标代入一次函数表达式:y=

17、mx+n并解得:直线CD的表达式为:y=-x-4,同理可得:直线BD的表达式为:y=53x-203,直线DCMH,则直线MH表达式中的k值为1,同理可得直线HM的表达式为:y=x-5,联立并解得:x=52,故点M(52,-52)2、若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,2),且过点C(2,2)(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且SPBA4,求点P的坐标;(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使ABOABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由解:(1)二次函数的图象经过点A(3,0)、B(0,2)、C(2,2

18、) 解得:二次函数表达式为yx2x2(2)如图1,设直线BP交x轴于点C,过点P作PDx轴于点D设P(t,t2t2)(t3)ODt,PDt2t2设直线BP解析式为ykx2把点P代入得:kt2t2t2kt直线BP:y(t)x2当y0时,(t)x20,解得:xC(,0)t3 , t21,即点C一定在点A左侧AC3SPBASABC+SACPACOB+ACPDAC(OB+PD)44,解得:t14,t21(舍去)t2t2点P的坐标为(4,)(3)在抛物线上(AB下方)存在点M,使ABOABM如图2,作点O关于直线AB的对称点E,连接OE交AB于点G,连接BE交抛物线于点M,过点E作EFy轴于点FAB垂直

19、平分OEBEOB,OGGEABOABMA(3,0)、B(0,2),AOB90OA3,OB2,ABsinOAB,cosOABSAOBOAOBABOG , OGOE2OGOAB+AOGAOG+BOG90OABBOGRtOEF中,sinBOG,cosBOGEFOE,OFOEE(,)设直线BE解析式为yex2把点E代入得:e2,解得:e直线BE:yx2当x2x2x2,解得:x10(舍去),x2点M横坐标为,即点M到y轴的距离为3、如图,顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CDy轴交抛物线于另一点D,作DEx轴,垂足为点E,双曲线y(x0)经过点D,

20、连接MD,BD(1)求抛物线的表达式;(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,BPD的度数最大?(请直接写出结果)解;(1)C(0,3)CDy, D点纵坐标是3,D在y上, D(2,3),将点A(1,0)和D(2,3)代入yax2+bx+3,a1,b2, yx2+2x+3;(2)M(1,4),B(3,0),作M关于y轴的对称点M,作D关于x轴的对称点D,连接MD与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为MD

21、+MD的长;M(1,4),D(2,3),MD直线的解析式为yx+, N(,0),F(0,);(3)设P(0,t),PBO和CDP都是直角三角形,tanCDP,tanPBO,令ytanBPD,yt2+t3yt+6y90,15y2+30y+10时,y(舍)或y,t, t92,P(0,92);4、综合与探究如图,抛物线经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为.连接AC,BC,DB,DC.(4) 求抛物线的函数表达式;(5) BCD的面积等于AOC的面积的时,求的值;(6) 在(2)的条件下,若点M是轴上的一个动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否

22、存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)抛物线经过点A(-2,0),B(4,0),解得,抛物线的函数表达式为(2)作直线DE轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为F.点A的坐标为(-2,0), OA=2由,得, 点C的坐标为(0,6), OC=6SOAC=,SBCD=SAOC=设直线BC的函数表达式为,由B,C两点的坐标得,解得直线BC的函数表达式为.点G的坐标为点B的坐标为(4,0),OB=4SBCD=SCDG+SBDG=,解得(舍), 的值为3(3)如下图所示,以BD为边或者以BD为对角线进行平行四

23、边形的构图以BD为边进行构图,有3种情况,采用构造全等发进行求解.D点坐标为,所以的纵坐标为,解得(舍)可得的纵坐标为时,以BD为对角线进行构图,有1种情况,采用中点坐标公式进行求解.5、直线y=32x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=34x2+2mx3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒PQ交线段AD于点E当DPE

24、=CAD时,求t的值;过点E作EMBD,垂足为点M,过点P作PNBD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值【解答】解:(1)在y=32x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=2,点A(2,0)、点B(0,3),将点A(2,0)代入抛物线解析式,得:344+4m3m=0,解得:m=3,所以抛物线解析式为y=34x2+6x9,y=34x2+6x9=34(x4)2+3, 点D(4,3),对称轴为x=4,点C坐标为(6,0);(2)如图1,由(1)知BD=AC=4,根据03t4,得:0t43,B(0,3)、D(4,3), BDOC,CAD=ADB,DPE=CAD, DPE=ADB,AB=2

25、2+32=13、AD=(4-2)2+32=13, AB=AD,ABD=ADB, DPE=ABD,PQAB, 四边形ABPQ是平行四边形,AQ=BP,即2t=43t,解得:t=45,即当DPE=CAD时,t=45秒;()当点N在AB上时,02t2,即0t1,连接NE,延长PN交x轴于点F,延长ME交x轴于点H,PNBD、EMBD,BDOC,PN=EM,OF=BP=2t,PF=OB=3,NE=FH、NF=EH,NEFQ, FQ=OCOFQC=65t,点N在直线y=32x+3上, 点N的坐标为(2t,3t+3),PN=PFNF=3(3t+3)=3t,NEFQ, PNEPFQ, NEFQ=PNPF,F

26、H=NE=PNPFFQ=3t3(65t)=6t5t2,A(2,0)、D(4,3), 直线AD解析式为y=32x3,点E在直线y=32x3上, 点E的坐标为(42t,3t+3),OH=OF+FH,42t=2t+6t5t2,解得:t=1+551(舍)或t=155;()当点N在AD上时,22t4,即1t43,PN=EM,点E、N重合,此时PQBD, BP=OQ,2t=63t,解得:t=65,综上所述,当PN=EM时,t=(155)秒或t=65秒6、如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A和点B的坐标分别为A(2,0),B(0,6),将RtAOB绕点O按顺时针方向分别旋转90,180得到RtA1OC

27、,RtEOF抛物线C1经过点C,A,B;抛物线C2经过点C,E,F(1)点C的坐标为 ,点E的坐标为 ;抛物线C1的解析式为 抛物线C2的解析式为 ;(2)如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线C1上的一个动点若PCA=ABO时,求P点的坐标;如图2,过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线C2于点N,记h=PM+NM+2BM,求h与x的函数关系式,当5x2时,求h的取值范围【解答】解:(1)由旋转可知,OC=6,OE=2,则点C坐标为(6,0),E点坐标为(2,0),分别利用待定系数法求C1解析式为:y=12x2-4x-6,C2解析式为:y=12x2-2x+6故答案为:(6,0),(2,

28、0),y=12x2-4x-6,y=12x2-2x+6(2)若点P在x轴上方,PCA=ABO时,则CA1与抛物线C1的交点即为点P设直线CA1的解析式为:y=k1x+b1&0=-6k1+b1&2=b1, 解得&k1=13&b1=2直线CA1的解析式为:y=13x+2联立:&y=-12x2-4x-6&y=13x+2, 解得&x1=-83&y1=109或&x2=-6&y2=0(不符合题意,舍)根据题意,P点坐标为(83,109);若点P在x轴下方,PCA=ABO时,则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P设直线CA2解析式为y=k2x+b2&0=-6k2+b2&-2=b2, 解得&

29、k2=-13&b2=-2直线CA2的解析式为:y=13x2联立&y=-12x2-4x-6&y=-13x-2 , 解得&x1=-43&y1=-149或&x2=-6&y2=0(不符合题意,舍)由题意,点P坐标为(43,-149)符合条件的点P为(83,109)或(43,-149);设直线BC的解析式为:y=kx+b&0=-6k+b&-6=b, 解得&k=-1&b=-6设直线BC的解析式为:y=x6过点B做BDMN于点D,如图,则BM=2BD2BM=2BD=2|x|=2xh=PM+NM+2BM=(yPyM)+(yNyM)+2|x|=yPyM+yNyM2x=12x24x6(x6)+12x2+6(x6)

30、+(2x)=x26x+12h=(x+3)2+21当x=3时,h的最大值为215x2当x=5时,h=(5+3)2+21=17当x=2时,h=(2+3)2+21=20h的取值范围是:17h217、如图,在平面直角坐标系中,矩形OADB的顶点A,B的坐标分别为A(6,0),B(0,4)过点C(6,1)的双曲线y=kx(k0)与矩形OADB的边BD交于点E(1)填空:OA= ,k= ,点E的坐标为 ;(2)当1t6时,经过点M(t1,12t2+5t32)与点N(t3,12t2+3t72)的直线交y轴于点F,点P是过M,N两点的抛物线y=12x2+bx+c的顶点当点P在双曲线y=kx上时,求证:直线MN

31、与双曲线y=kx没有公共点;当抛物线y=12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点,求t的值;当点F和点P随着t的变化同时向上运动时,求t的取值范围,并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积【解答】解:(1)A点坐标为(6,0)OA=6过点C(6,1)的双曲线y=kxk=6y=4时,x=64=-32点E的坐标为(32,4)故答案为:6,6,(32,4)(2)设直线MN解析式为:y1=k1x+b1由题意得:&-12t2+5t-32=k1(t-1)+b1&-12t2+3t-72=k1(-t-3)+b1, 解得&k1=1&b=-12t2+4t-12抛物线y=12x2+bx+c过点

32、M、N&-12t2+5t-32=-12(t-1)2+b(t-1)+c&-12t2+3t-72=-12(-t-3)2+b(-t-3)+c, 解得&b=-1&c=5t-2抛物线解析式为:y=12x2x+5t2顶点P坐标为(1,5t32)P在双曲线y=6x上(5t32)(1)=6t=32此时直线MN解析式为:联立&y=x+358&y=-6x8x2+35x+49=0=3524848=122515360直线MN与双曲线y=6x没有公共点当抛物线过点B,此时抛物线y=12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点4=5t2,得t=65当抛物线在线段DB上,此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点10

33、t-32=4,得t=1110t=65或t=1110点P的坐标为(1,5t32)yP=5t32当1t6时,yP随t的增大而增大此时,点P在直线x=1上向上运动点F的坐标为(0,12t2+4t-12), yF=12(t-4)2+152当1t4时,随者yF随t的增大而增大此时,随着t的增大,点F在y轴上向上运动1t4当t=1时,直线MN:y=x+3与x轴交于点G(3,0),与y轴交于点H(0,3)当t=43时,直线MN过点A当1t4时,直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=12(32+6)4-1233=2128、如图,已知二次函数的图象过点O(0,0)A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是

34、直线x=3(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MNAB交OA于N,当ANM面积最大时,求M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标【解答】解:(1)抛物线过原点,对称轴是直线x=3, B点坐标为(6,0),设抛物线解析式为y=ax(x6),把A(8,4)代入得a82=4,解得a=14,抛物线解析式为y=14x(x6),即y=14x232x;(2)设M(t,0),易得直线OA的解析式为y=12x,设直线AB的解析式为y=kx+b,把B(6,0),A(8,4)代入得

35、&6k+b=0&8k+b=4,解得&k=2&b=-12,直线AB的解析式为y=2x12,MNAB, 设直线MN的解析式为y=2x+n,把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=2t,直线MN的解析式为y=2x2t,解方程组&y=12x&y=2x-2t得&x=43t&y=23t,则N(43t,23t),SAMN=SAOMSNOM = 124t12t23t=13t2+2t =13(t3)2+3,当t=3时,SAMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0);(3)设Q(m,14m232m),OPQ=ACO, 当PQOC=POAC时,PQOCOA,即PQ8=PO4,PQ=2PO,即|14m232m|=2|

36、m|,解方程14m232m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,28);解方程14m232m=2m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,4);当PQAC=POOC时,PQOCAO,即PQ4=PO8,PQ=12PO,即|14m232m|=12|m|,解方程14m232m=12m得m1=0(舍去),m2=8(舍去),解方程14m232m=12m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,1);综上所述,P点坐标为(14,28)或(2,4)或(2,1)9、如图1,抛物线C1:y=ax22ax+c(a0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C已知点A的坐标为(1,

37、0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G(1)求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标;(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A、B,顶点为G,当ABG是等边三角形时,求k的值:(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标:若不存在,请说明理由【解答】解:(1)点A的坐标为(1,0),OA=1, OC=3OA,点C的坐标为(0,3),将A、C坐标代入y=

38、ax22ax+c,得:&a+2a+c=0&c=3,解得:&a=-1&c=3,抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3=(x1)2+4,所以点G的坐标为(1,4)(2)设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k,即y=(x1)2+4k,过点G作GDx轴于点D,设BD=m,ABG为等边三角形, GD=3BD=3m,则点B的坐标为(m+1,0),点G的坐标为(1,3m),将点B、G的坐标代入y=(x1)2+4k,得:&-m2+4-k=0&4-k=3m, 解得:&m1=0&k1=4(舍),&m2=3&k2=1, k=1;(3)设M(x,0),则P(x,x2+2x+3)、Q(x,x2+2x+2), PQ=

39、OA=1,AOQ、PQN均为钝角, AOQPQN,如图2,延长PQ交直线y=1于点H,则QHN=OMQ=90,又AOQPQN, OQ=QN,AOQ=PQN,MOQ=HQN, OQMQNH(AAS),OM=QH,即x=x2+2x+2+1,解得:x=1132(负值舍去),当x=1+132时,HN=QM=x2+2x+2=13-12,点M(1+132,0),点N坐标为(1+132+13-12,1),即(13,1);或(1+13213-12,1),即(1,1);如图3,同理可得OQMPNH,OM=PH,即x=(x2+2x+2)1,解得:x=1(舍)或x=4,当x=4时,点M的坐标为(4,0),HN=QM

40、=(x2+2x+2)=6,点N的坐标为(4+6,1)即(10,1),或(46,1)即(2,1);综上点M1(1+132,0)、N1(13,1);M2(1+132,0)、N2(1,1);M3(4,0)、N3(10,1);M4(4,0)、N4(2,1)10、抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B(1)直接写出抛物线L的解析式;(2)如图1,过定点的直线y=kxk+4(k0)与抛物线L交于点M、N若BMN的面积等于1,求k的值;(3)如图2,将抛物线L向上平移m(m0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D

41、F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点若PCD与POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标【解答】解:(1)由题意知&-b2(-1)=1&c=1,解得:b=2、c=1,抛物线L的解析式为y=x2+2x+1;(2)如图1,y=kxk+4=k(x1)+4,当x=1时,y=4,即该直线所过定点G坐标为(1,4),y=x2+2x+1=(x1)2+2,点B(1,2),则BG=2,SBMN=1,即SBNGSBMG=12BGxN12BGxM=1,xNxM=1,由&y=kx-k+4&y=-x2-2x+1得x2+(k2)xk+3=0,解得:x=2-k(k-2)2-4(3-k

42、)2=2-kk2-82,则xN=2-k+k2-82、xM=2-k-k2-82,由xNxM=1得k2-8=1, k=3,k0, k=3;(3)如图2,设抛物线L1的解析式为y=x2+2x+1+m,C(0,1+m)、D(2,1+m)、F(1,0),设P(0,t),当PCDFOP时,PCCD=FOOP,1+m-t2=1t, t2(1+m)t+2=0;当PCDPOF时,PCCD=POOF,1+m-t2=t1, t=13(m+1);()当方程有两个相等实数根时,=(1+m)28=0,解得:m=221(负值舍去),此时方程有两个相等实数根t1=t2=2,方程有一个实数根t=223, m=221,此时点P的坐标为(0,2)和(0,223);()当方程有两个不相等的实数根时,把代入,得:19(m+