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2019-2020学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(b卷)含详细解答

1、2019-2020学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(B卷)一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(4分)双曲线的实轴长为()A3B4C6D82(4分)与直线l:2x3y+10关于y轴对称的直线的方程为()A2x+3y+10B2x+3y10C3x2y+10D3x+2y+103(4分)若直线xy0与圆(x1)2+(y+1)2m相离,则实数m的取值范围是()A(0,2B(1,2C(0,2)D(1,2)4(4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A6B2C12D35(4分)一个三棱锥

2、是正三棱锥的充要条件是()A底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形B各个面都是正三角形C三个侧面是全等的等腰三角形D顶点在底面上的射影为重心6(4分)如图,已知三棱锥VABC,点P是VA的中点,且AC2,VB4,过点P作一个截面,使截面平行于VB和AC,则截面的周长为()A12B10C8D67(4分)已知直线l1:ykx和l2:x+ky20相交于点P,则点P的轨迹方程为()Ax2+y21B(x1)2+y21Cx2+y21(x0)D(x1)2+y21(x0)8(4分)已知双曲线x2y24,若过点P作直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则点P的坐标可能是()A(1,1)B(1

3、,2)C(2,1)D(2,2)9(4分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,且|PF1|4|PF2|,则此椭圆的离心率e的最小值为()ABCD10(4分)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(xa)2+y21,若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|212,则实数a的取值范围为()ABCD二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11(6分)已知直线l:(m2+1)x2y+10(m为常数),若直线l的斜率为,则m   ,若m1,直线l的倾斜角为   12(6分)在平面直角坐标系中,点A(1,2)关于x轴的

4、对称点为A'(1,2),那么,在空间直角坐标系中,B(1,2,3)关于x轴的对称轴点B'坐标为   ,若点C(1,1,2)关于xOy平面的对称点为点C',则|B'C'|   13(6分)已知圆C1:x2+y21和圆C2:(x4)2+(y3)2r2(r0)外切,则r的值为   ,若点A(x0,y0)在圆C1上,则x02+y024x0的最大值为   14(6分)已知直线yx1与抛物线y22px(p0)交于A,B两点;若直线过抛物线的焦点,则抛物线的准线方程为   ,若OAOB,则p的值为   15(

5、4分)某学习合作小组学习了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等利用祖暅原理研究椭圆绕y轴旋转一周所得到的椭球体的体积,方法如下:取一个底面圆半径为a高为b的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体和半椭球体放在同一平面上,那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了,现在用一平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体,则截面分别是圆面和圆环面,经研究,圆面面积和圆环面面积相等,由此得到椭球体的体积是   16(4分)如

6、图,等腰梯形ABCD中,ADBC,ABADDC2,BC4,E为BC上一点,且BE1,P为DC的中点沿AE将梯形折成大小为的二面角BAEC,若ABE内(含边界)存在一点Q,使得PQ平面ABE,则cos的取值范围是   17(4分)设抛物线x24y,点F是抛物线的焦点,点M(0,m)在y轴正半轴上(异于F点),动点N在抛物线上,若FNM是锐角,则m的范围为   三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18(14分)已知圆心C在直线:2xy20上的圆经过点A(1,2)和B(3,2),且过点P(3,1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N()求

7、圆C的标准方程;()若MCN90,求直线l的方程19(14分)如图,CD,EF,AB,ABCD()求证:CDEF;()若几何体ACEBDF是三棱柱,ACE是边长为2的正三角形,AB与面ACE所成角的余弦值为,AB2,求三棱柱ACEBDF的体积20(14分)已知点A,B的坐标分别是(1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线BM的斜率与直线AM的斜率的差是2()求点M的轨迹方程C;()若直线l:xy0与曲线C交于P,Q两点,求APQ的面积21(16分)如图,在三棱锥ABCD中,且ADDC,ACCB,面ABD面BCD,ADCDBC,E为AC中点,H为BD中点()求证:ADBC;()在直

8、线CH上确定一点F,使得AF面BDE,求AF与面BCD所成角22(16分)设椭圆的离心率为,直线l过椭圆的右焦点F,与椭圆交于点M、N;若l垂直于x轴,则|MN|3()求椭圆的方程;()椭圆的左右顶点分别为A1、A2,直线A1M与直线A2N交于点P求证:点P在定直线上2019-2020学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(B卷)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(4分)双曲线的实轴长为()A3B4C6D8【分析】利用双曲线方程,求出a,即可得到结果【解答】解:双曲线的实轴长为:2a236故选:C【点评

9、】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题2(4分)与直线l:2x3y+10关于y轴对称的直线的方程为()A2x+3y+10B2x+3y10C3x2y+10D3x+2y+10【分析】设P(x,y)为要求直线上的任意一点,则点P关于y轴对称的点为(x,y),代入直线l的方程即可得出【解答】解:设P(x,y)为要求直线上的任意一点,则点P关于y轴对称的点为(x,y),代入直线l的方程可得:2x3y+10,化为:2x+3y10,故选:B【点评】本题考查了直线方程对称性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3(4分)若直线xy0与圆(x1)2+(y+1)2m相离,则实数m的取值范围是(

10、)A(0,2B(1,2C(0,2)D(1,2)【分析】根据题意可知,圆心到直线的距离dr,所以,即可解出答案【解答】解:若直线xy0与圆(x1)2+(y+1)2m相离,则圆心到直线的距离dr,所以且m0,解得0m2,故选:C【点评】本题考查直线与圆的位置关系,属于中档题4(4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A6B2C12D3【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:如图所示:所以,V,故选:A【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运

11、算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型5(4分)一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是()A底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形B各个面都是正三角形C三个侧面是全等的等腰三角形D顶点在底面上的射影为重心【分析】由正三棱锥的性质结合充分必要条件的判定逐一分析得答案【解答】解:对于A,若一个三棱锥是正三棱锥,则底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形,反之,若一个三棱锥底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形,则三棱锥为正三棱锥,故A正确;对于B,正三棱锥的侧面不一定是正三角形,故B错误;对于C,如图,三棱锥ABCD满足ABACBDCD2,ADBC3,满足三个侧面是全等的等腰三角形,但三棱锥

12、不是正三棱锥,故C错误;对于D,一个三棱锥顶点在底面上的射影为重心,三棱锥不一定是正三棱锥,故D错误故选:A【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查正三棱锥的性质及充分必要条件的判定,是中档题6(4分)如图,已知三棱锥VABC,点P是VA的中点,且AC2,VB4,过点P作一个截面,使截面平行于VB和AC,则截面的周长为()A12B10C8D6【分析】根据题意画出图形,结合图形得出四边形EFPQ是平行四边形,计算平行四边形EFPQ的周长即可【解答】解:如图所示,过点P作PFAC,交VC于点F,过点F作FEVB交BC于点E,过点E作EQAC,交AB于点Q;由作图可知:EQPF,所以四边形EFPQ

13、是平行四边形;可得EFPQVB2,EQPFAC1;所以截面四边形EFPQ的周长为2(2+1)6故选:D【点评】本题考查了空间中的直线平行问题,是基础题7(4分)已知直线l1:ykx和l2:x+ky20相交于点P,则点P的轨迹方程为()Ax2+y21B(x1)2+y21Cx2+y21(x0)D(x1)2+y21(x0)【分析】直线l1:ykx和l2:x+ky20相交于点P,设出P的坐标,消去k即可端点点P的轨迹方程【解答】解:设P(x,y),直线l1:ykx和l2:x+ky20相交于点P,可得x+20,x0,即x22x+y20,x0,可得(x1)2+y21(x0)故选:D【点评】本题考查了轨迹方

14、程的求法,消参数k是解题的关键,注意x的范围,属于中档题8(4分)已知双曲线x2y24,若过点P作直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则点P的坐标可能是()A(1,1)B(1,2)C(2,1)D(2,2)【分析】利用双曲线方程判断点的位置与双曲线的关系,判断选项的正误即可【解答】解:双曲线x2y24,双曲线的渐近线方程为:yx,若过点P作直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,(1,1),(2,2)在双曲线的渐近线上,所以A、D,不成立因为(2,1)是第一象限,在双曲线外与x轴与yx所围成的区域内,不可能满足:过点P作直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段A

15、B的中点,所以只有选项B满足条件,故选:B【点评】本题考查双曲线的简单性质以及点与双曲线的位置关系的应用,是基本知识的考查9(4分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,且|PF1|4|PF2|,则此椭圆的离心率e的最小值为()ABCD【分析】利用已知条件结合椭圆的定义,通过余弦定理,转化求解椭圆的离心率即可【解答】解:椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,且|PF1|4|PF2|,可得|PF1|+|PF2|2a,所以|PF2|,|PF1|,4c2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF24a2()当且仅当cosF1PF21时,4c2,所以e故选:A

16、【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题10(4分)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(xa)2+y21,若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|212,则实数a的取值范围为()ABCD【分析】求出M的轨迹方程,利用圆C上存在点M,满足|MA|2+|MB|212,两圆相交或相切,得到13,求出a的范围【解答】解:设M(x,y),|MA|2+|MB|212(x2)2+y2+x2+(y2)212,(x1)2+(y1)24,圆C上存在点M,满足|MA|2+|MB|212两圆相交或相切,13,即|a1|,1a1+2,故选:B【点评】考查动点的

17、轨迹方程,圆与圆的位置关系,中档题二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11(6分)已知直线l:(m2+1)x2y+10(m为常数),若直线l的斜率为,则m0,若m1,直线l的倾斜角为45【分析】利用直线ax+by+c0的斜率k及直线的斜率和倾斜角的关系直接求解【解答】解:直线l:(m2+1)x2y+10(m为常数),直线l的斜率为,解得m0,直线l:(m2+1)x2y+10(m为常数),m1,直线l的斜率k1,直线l的倾斜角为45故答案为:0,45【点评】本题考查实数值、直线的倾斜角的求法,考查直线的斜率公式、斜率和倾斜角的关系等基础知识,考查运算求解能力和应

18、用意识,是基础题12(6分)在平面直角坐标系中,点A(1,2)关于x轴的对称点为A'(1,2),那么,在空间直角坐标系中,B(1,2,3)关于x轴的对称轴点B'坐标为(1,2,3),若点C(1,1,2)关于xOy平面的对称点为点C',则|B'C'|【分析】在空间直角坐标系中,B(1,2,3)关于x轴的对称轴点B'坐标为横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原不的相反数,若点C(1,1,2)关于xOy平面的对称点为点C',横、纵坐标均不变,竖坐标变为原不的相反数,再由两点间距离公式能求出|B'C'|【解答】解:在空间直角坐标系中,B

19、(1,2,3)关于x轴的对称轴点B'坐标为(1,2,3),若点C(1,1,2)关于xOy平面的对称点为点C',则C(1,1,2),|B'C'|故答案为:(1,2,3),【点评】本题考查对称点的坐标的求法,考查两点间距离公式,考查对称点的性质、两点间距离公式的求法等基础知识,考查运算求解能力和应用意识,是基础题13(6分)已知圆C1:x2+y21和圆C2:(x4)2+(y3)2r2(r0)外切,则r的值为4,若点A(x0,y0)在圆C1上,则x02+y024x0的最大值为5【分析】两个圆外切,圆心距等于两个半径之和,求出r的值;点在圆上,点的坐标满足圆的方程,由圆

20、的方程可得横坐标的取值范围,进而求出x02+y024x0的最大值【解答】解:两个圆外切可得圆心距等于两个半径之和,所以1+r,解得r4;由点A(x0,y0)在圆C1上,所以x02+y021,且x01,1,所以x02+y024x014x03,5所以x02+y024x0的最大值为5,故答案分别为:4,5【点评】考查圆与圆的位置关系,属于基础题14(6分)已知直线yx1与抛物线y22px(p0)交于A,B两点;若直线过抛物线的焦点,则抛物线的准线方程为x1,若OAOB,则p的值为【分析】由直线过抛物线的焦点,求出焦点坐标及p的值,进而求出准线方程;由若OAOB,可得数量积为令求出p的值【解答】解:由

21、题意知抛物线的焦点在x轴,yx1,令y0,x1,求出直线与x轴的交点,即为抛物线的焦点(1,0),所以抛物线的方程为y24x,所以准线方程为:x1;若OAOB,设A(x,y),B(x',y'),直线与抛物线联立:x2(2+2p)x+10,x+x'2+2p,xx'1,yy'xx'(x+x')+12p若OAOB,则0,xx'+yy'0,即12p0,解得p;故答案分别为:x1,【点评】考查直线与抛物线的综合应用,属于中档题15(4分)某学习合作小组学习了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面间的两个几何体,被

22、平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等利用祖暅原理研究椭圆绕y轴旋转一周所得到的椭球体的体积,方法如下:取一个底面圆半径为a高为b的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体和半椭球体放在同一平面上,那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了,现在用一平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体,则截面分别是圆面和圆环面,经研究,圆面面积和圆环面面积相等,由此得到椭球体的体积是b【分析】根据S圆S环总成立,可得椭球的体积为:2(a2ba2b)【解答】解:S圆S环总成立,椭球的体积为:2(a2ba2b)a2b

23、故答案为:a2b【点评】本题考查了祖暅原理的应用、类比同理、椭球的体积,考查了推理能力与计算能力,属于基础题16(4分)如图,等腰梯形ABCD中,ADBC,ABADDC2,BC4,E为BC上一点,且BE1,P为DC的中点沿AE将梯形折成大小为的二面角BAEC,若ABE内(含边界)存在一点Q,使得PQ平面ABE,则cos的取值范围是【分析】作出图形,分析两个极端位置即可得出答案【解答】解:如图,过点P作AE的垂线,垂足为O,并延长交AB于点M,由翻折性质可知,AE平面OMP,故平面OMP平面ABE,因此点P在平面ABE内的射影点Q必在OM上:由于点Q在ABE内(含边界),则点Q在线段OM上;当取

24、最小值时,有PMOM,此时cos有最大值,又,故,显然的最大值为,故(cos)min0,综上,cos的取值范围是故答案为:【点评】本题考查立体几何中的动态问题,考查二面角的定义及其求解,考查运算求解能力及数形结合思想,是中档题17(4分)设抛物线x24y,点F是抛物线的焦点,点M(0,m)在y轴正半轴上(异于F点),动点N在抛物线上,若FNM是锐角,则m的范围为(0,1)(1,9)【分析】设N(4t,4t2),可知F(0,1),m0且m1,若FNM是锐角,可得,运用向量数量积的坐标表示和二次函数的性质和二次不等式恒成立,解不等式可得所求范围【解答】解:设N(4t,4t2),可知F(0,1),m

25、0且m1,所以,因为FNM是锐角,所以,即16t2+(14t2)(m4t2)0,整理得16t4+(124m)t2+m0,等价于对任意tR恒成立;令xt20,则对任意x0,+)恒成立;因为f(x)的对称轴为,故分类讨论如下:(1),即0m3时,f(x)minf(0)0,所以0m3;(2),即m3时,应有,得3m9;综上所述:m(0,1)(1,9)故答案为:(0,1)(1,9)【点评】本题考查抛物线方程的运用,考查向量数量积的坐标表示和换元法、二次函数和二次不等式的转化思想,考查分类讨论思想,属于中档题三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18(14分)已知

26、圆心C在直线:2xy20上的圆经过点A(1,2)和B(3,2),且过点P(3,1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N()求圆C的标准方程;()若MCN90,求直线l的方程【分析】(1)法一求出AB的中垂线方程为xy10,通过,得到圆心C的坐标为(1,0),求出半径然后求解圆C的标准方程法二、设圆心C(a,2a2),由|CA|CB|解得:a1,求出半径然后求解圆的方程(2)法一、当MCN90时,则圆心C到直线l的距离为2,若直线l的斜率存在,设直线l:y+1k(x3),利用圆心C(1,0)到直线l的距离求出k,然后求解直线l的方程法二、设M(x1,y1)、N(x2,y2),求出|MN|4若直线

27、l的斜率不存在,验证即可,若直线l的斜率存在,设l:yk(x3)1与圆方程(x1)2+y28,利用弦长公式转化求解即可【解答】解:(1)法一、易求得AB的中点为(1,0),且kAB1,AB的中垂线方程为xy10由,得圆心C的坐标为(1,0),半径,故圆C的标准方程为:(x1)2+y28,法二、设圆心C(a,2a2),则由|CA|CB|得:,解得:a1圆心C(1,0),半径,故圆C的标准方程为:(x1)2+y28(2)法一、当MCN90时,则圆心C到直线l的距离为2,若直线l的斜率存在,设直线l:y+1k(x3),即kxy3k10圆心C(1,0)到直线l的距离,解得,直线l的方程为3x4y130

28、,若直线l的斜率不存在,则直线l:x3,符合题意,综上所述:所求直线l的方程为:x3或3x4y130法二、设M(x1,y1)、N(x2,y2),MCN90,|MN|4若直线l的斜率不存在,则直线l:x3,符合题意,若直线l的斜率存在,设l:yk(x3)1与圆方程(x1)2+y28,联立得:(k2+1)x22(3k2+k+1)x+3(3k2+2k2)0,由弦长公式得:,由韦达定理代入,解得,直线l的方程为3x4y130,综上所述:所求直线l的方程为:x3或3x4y130【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题19(14分)如图,CD,EF,AB,ABCD

29、()求证:CDEF;()若几何体ACEBDF是三棱柱,ACE是边长为2的正三角形,AB与面ACE所成角的余弦值为,AB2,求三棱柱ACEBDF的体积【分析】()由已知利用线面平行的判定可得AB,再由线面平行的性质得到ABEF,进一步得到CDEF;()求出三角形ACE的面积,再求出三棱柱ACEBDF的高,代入棱柱体积公式求解【解答】()证明:ABCD,AB,CD,AB,又AB,EF,ABEF,又ABCD,CDEF;()解:,又三棱柱ACEBDF的高,【点评】本题考查线面平行的判定与性质,考查空间想象能力与思维能力,训练了棱柱体积的求法,是中档题20(14分)已知点A,B的坐标分别是(1,0),(

30、1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线BM的斜率与直线AM的斜率的差是2()求点M的轨迹方程C;()若直线l:xy0与曲线C交于P,Q两点,求APQ的面积【分析】()设M(x,y),求出直线的斜率,然后求解轨迹方程即可()方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2)联立方程,得x2x10,利用韦达定理以及弦长公式结合三角形的面积求解即可方法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2)联立方程,得x2x10,利用韦达定理,结合转化求解即可【解答】解:()设M(x,y),则,所以,所以轨迹方程为yx21(y0或x1);()方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2)联立方程,得x2x10,所以,所

31、以,A到直线的距离为,所以方法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2)联立方程,得x2x10,所以,所以【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,轨迹方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题21(16分)如图,在三棱锥ABCD中,且ADDC,ACCB,面ABD面BCD,ADCDBC,E为AC中点,H为BD中点()求证:ADBC;()在直线CH上确定一点F,使得AF面BDE,求AF与面BCD所成角【分析】()证明CHBD,CHAD,结合ADCD,ADCH,推出AD面BCD,即可证明ADBC()说明AFD即为AF与面BCD所成线面角,然后求解AF与面BCD所成线面角【解答】()证明:

32、ADCDBC,E为AC中点,H为BD中点所以CHBD,又面ABD面BCD,CH面ABD,CHAD,又ADCD,ADCH,CDCHC,AD面BCD,ADBC()解:在CH延长线上取点F,使FHHC,则四边形BCDF为平行四边形,又EHAF,EH面BDE,AF面BDE,AF面BDE,又AD面BCD,AFD即为AF与面BCD所成线面角,又DFBCAD,AFD45,即AF与面BCD所成线面角为45【点评】本题考查直线与平面所成角的求法,直线与平面垂直的判断定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力,是中档题22(16分)设椭圆的离心率为,直线l过椭圆的右焦点F,与椭圆交于点M、N;若l垂直于

33、x轴,则|MN|3()求椭圆的方程;()椭圆的左右顶点分别为A1、A2,直线A1M与直线A2N交于点P求证:点P在定直线上【分析】()由已知得,求出a,b,即可得到椭圆方程()设M(x1,y1),N(x2,y2)(y1y2),lMN:xmy+1,联立,利用韦达定理,转化求解P的横坐标即可【解答】解:()由已知得,所以,所以椭圆的方程为;()设M(x1,y1),N(x2,y2)(y1y2),lMN:xmy+1,联立,得(3m2+4)y2+6my90,所以,可得,所以,又因为2my1y23(y1+y2),所以;所以点P在直线x4上【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,是难题