1、2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）命题“若x0，则x20”的否命题是（）A若x0，则x20B若x20，则x0C若x0，则x20D若x20，则x02（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A一个圆台、两个圆锥B一个圆柱、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱D两个圆台、一个圆锥3（4分）已知l1：2x+m2y+2m0与l2：y3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）ABC或D或4（4分）设，为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m有如下的两个命题：若l，m，则；若l，m，则那么（）A是真
2、命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题5（4分）已知双曲线过点P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）ABCD6（4分）已知函数f（x）x3+3ax2+bx+a2（a，bR）在x1时处取得极值0，则a+b（）A4B11C4或11D3或107（4分）已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD8（4分）如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角BEFD的平面角为，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A增大B减小C先增大后减小D先
3、减小后增大9（4分）已知函数f（x）是定义在（0，+）的可导函数，f（x）为其导函数，当x0且x1时，若曲线yf（x）在x1处的切线的斜率为1，则f（1）（）AB0CD110（4分）已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，Pa，Qb，若直线PQ与AB所成锐角为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A椭圆B抛物线C圆D线段二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积
4、与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 12（4分）已知函数f（x）xex，则f（1） ；函数f（x）的值域为 13（4分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3；表面积是 cm214（4分）已知集合A（x，y）|x|+|y|1，集合B（x，y）|x2+y2a2，a0，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ；若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 15（4分）如图，已知点F是抛物线y24x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|1：3，且AFB90，则直线AB的斜率为 16（4分）如图，四边形
5、ABCD中，ABBCCD2，对角线BD3，E是线段CD上除端点外的任一点，将ABD沿BD翻折成ABD，使二面角ABDC为120，设异面直线AD和BE所成的角为，则sin的最小值是 17（4分）已知斜率为k（k0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k28k，则OAB面积的取值范围是 三、解答题：5小题，共74分18如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y21相交于P，Q两点，求线段PQ的长度19已知函数f（x）x+alnx，（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a1时，如果函数
6、在定义域内单调递增，求实数t的取值范围20如图，三棱柱ABCABC中，BCBBBC4，ACAA，二面角BABC是直二面角，E，F分别是AB，CC的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求EF与平面ABBA所成角的正弦值21如图，F是抛物线x24y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点M（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求FPQ面积的最小值22已知函数f（x）lnxax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y2x1（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大
7、值2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）命题“若x0，则x20”的否命题是（）A若x0，则x20B若x20，则x0C若x0，则x20D若x20，则x0【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案【解答】解：命题“若x0，则x20”的否命题是：若x0，则x20，故选：C【点评】本题考查了命题的否命题，要和命题的否定区别开，本题属于基础题2（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A一个圆台、两个圆锥B一个圆柱、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱D两个圆台、一个圆锥【分析】
8、画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状【解答】解：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B【点评】本题考查旋转体的形状判断，考查空间位置关系和想象能力，属于基础题3（4分）已知l1：2x+m2y+2m0与l2：y3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）ABC或D或【分析】直线l2的方程化为3x+y0，根据两直线平行列方程求出m的值，再排除两直线重合情况【解答】解：直线l2：y3x+可化为3x+y0，由直线l1：2x+m2y+2m0与l2平行，则3m2210，解得m；当m时，l1的方程为3x+y+0，两直线平行；当m时，l1
9、的方程为3x+y0，两直线重合；综上知，m的值为故选：B【点评】本题考查了两条直线平行与重合的判断问题，是基础题4（4分）设，为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m有如下的两个命题：若l，m，则；若l，m，则那么（）A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题【分析】直接利用线面和面面之间的平行和垂直的判定的应用求出结果【解答】解：对于两个命题：若l，m，则；错误，由于直线和平面之间没有传递性若l，m，则错误，可能和相交故选：D【点评】本题考查的知识要点：线面和面面之间的平行和垂直的判定的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型5（4分）已知双曲线过点P（
10、2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）ABCD【分析】设以为渐近线的双曲线方程为（0），把P的坐标代入求得，则答案可求【解答】解：设以为渐近线的双曲线方程为（0），双曲线过点P（2，2），即3双曲线的标准方程为故选：D【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，设出以为渐近线的双曲线方程为（0）是关键，是基础题6（4分）已知函数f（x）x3+3ax2+bx+a2（a，bR）在x1时处取得极值0，则a+b（）A4B11C4或11D3或10【分析】由题意可得，f（1）0，f（1）0，代入即可求解【解答】解：f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1时处取得极值0，f（x）3x2+6ax+b，
11、解可得，或当时，f（x）3x2+6x+33（x+1）20恒成立，函数单调递增，没有极值，不合题意，则a+b11故选：B【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题7（4分）已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD【分析】利用已知条件转化列出a、c关系式，然后求解离心率的范围【解答】解：F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，可得|PF2|2c，即以F2为圆心，2c为半径的圆与椭圆有交点，所以2cac可得e，P是
12、椭圆上在第一象限内的点，a2c，可得e椭圆C的离心率的取值范围是：（，）故选：C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，列出了推理能力与计算能力，属于中档题8（4分）如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角BEFD的平面角为，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【分析】作图，先求得二面角BEFD的平面角，再在直角三角形中求得tan的值，通过OG的变化，得到tan的变化情况，进而得解【解答】解：由题意得，BO平面ACD，其中O为ADC的中心，过O作OGEF交于点G，连接BG，由三垂线定理可
13、得，BGEF，BGO为二面角BEFD的平面角，易知，在RtBOG中，由图可得，F从C运动到D的过程中OG减小，而BO为定值，故tan增大，则增大，故选：A【点评】本题考查立体几何中的动态问题，考查空间角问题，考查逻辑推理能力，属于中档题9（4分）已知函数f（x）是定义在（0，+）的可导函数，f（x）为其导函数，当x0且x1时，若曲线yf（x）在x1处的切线的斜率为1，则f（1）（）AB0CD1【分析】令g（x）x2f（x），讨论x1，0x1时，g（x）的单调区间和极值点，可得g（1）0，即有2f（1）+f（1）0，由f（1）1，即可得出【解答】解：当x0且x1时，可得x1时，2f（x）+xf（
14、x）0；0x1时，2f（x）+xf（x）0令g（x）x2f（x），x（0，+），g（x）2xf（x）+x2f（x）x2f（x）+xf（x）可得：x1时，g（x）0；0x1时，g（x）0可得函数g（x）在x1处取得极值，g（1）2f（1）+f（1）0，由f（1）1，可得f（1），故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值及其切线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（4分）已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，Pa，Qb，若直线PQ与AB所成锐角为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A椭圆B抛物线C圆D线段【分析】画出图象，根据动点轨迹
15、锐角为定值，故以AB为轴，夹角为，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，建立坐标系，求出M的轨迹为椭圆【解答】解：如图，直线AB与两条异面直线a，b垂直，将b从BB移动到AA，与a相交于A点，故直线AB与底面APA垂直，且AB与PQ所成的锐角为定值，故以AB为轴，夹角为，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，如下图，以直线a，b交点为原点，角平分线为x轴建立如图直角坐标系，为了方便计算不妨设a，b的夹角6
16、0，直线x轴与a，b夹角为30，令定值|PQ|AB|tan6，则设动点Q（a，a），设M（x，y），M为PQ中点，故P（2xa，2ya）可得tan（30），得3ax+3y，由|PQ|（2x2+（2y2a）236，联立解得，故选：A【点评】考查点的轨迹方程，利用圆锥和投影平面，结合求解方程组得出结论，难度较大，考查空间想象能力和抽象能力二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆
17、柱的表面积与球的表面积之比为【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果【解答】解：由题意，圆柱底面半径r球的半径R，圆柱的高h2R，则V球R3，V柱r2hR22R2R3S球4R2，S柱2r2+2rh2R2+2R2R6R2故答案为：；【点评】本题主要考查圆柱与内切球的关系及推理运算能力本题属基础题12（4分）已知函数f（x）xex，则f（1）1e；函数f（x）的值域为（，1【分析】对函数求导，判断单调性和最值，代入即可【解答】解：f（x）xex，所以f（x）1ex，f（1）1e，当x（，0）时，f（x）递增；当x（0，+）时，f（x）递减，故f（
18、x）有最大值f（0）1，故f（x）的值域为（，1，故答案为：1e；（，1【点评】考查函数的单调性和最值的判断和应用，中档题13（4分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是8+cm3；表面积是20+4cm2【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故8+S20+4故答案为：；20+4【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14（4分）已知集合A（x，y）|x
19、|+|y|1，集合B（x，y）|x2+y2a2，a0，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是1，+）；若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（0，【分析】根据题意，分析集合A、B的几何意义，进而结合集合与充分必要条件的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，集合A（x，y）|x|+|y|1，其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，集合B（x，y）|x2+y2a2，a0，其几何意义为圆x2+y2a2的圆周及其内部区域，而圆x2+y2a2的圆心为（0，0），半径ra，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则正方形ABCD在圆x2+y2a2的内部，必有a1，
20、此时a的取值范围为1，+）；若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则圆x2+y2a2在正方形ABCD的内部，必有a，此时a的取值范围为（0，；故答案为：1，+）；（0，【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合的表示以及几何意义，属于基础题15（4分）如图，已知点F是抛物线y24x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|1：3，且AFB90，则直线AB的斜率为【分析】由题意得A，B横坐标的关系，再由AFB90知，AAFFBB，所以得坐标的关系，代入抛物线中得A，B的坐标，进而求出斜率【解答】解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程：x1，A（x，y），B（x，y）过A，B
21、分别做AA，BB垂直于x轴，则由AFB90，AAFFBB，|FA|：|FB|1：3，所以3AABF，3yx1，由3（x+1）x+1，x3x+2由y2+，x7+2，y2+2，x，所以kAB；故答案为：【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题16（4分）如图，四边形ABCD中，ABBCCD2，对角线BD3，E是线段CD上除端点外的任一点，将ABD沿BD翻折成ABD，使二面角ABDC为120，设异面直线AD和BE所成的角为，则sin的最小值是【分析】抓住点E的任意性，“最小角定理”得到的线面角不超过线线角，由此能求出sin的最小值【解答】解：设AO平面BCD，过O作OHBD于H，连结AH，由题
22、意得AHO60，由等面积法得AH，由最小角定理得直线AD与平面BCD所成角是异面直线AD和BE所成的角的最小角，（sin）min故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（4分）已知斜率为k（k0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k28k，则OAB面积的取值范围是【分析】设直线l的方程，与椭圆联立，求出两根之和两根之积，进而求直线OA，OB的斜率，再由斜率之和为8k，求出参数的关系，代入面积公式均值不等式求出面积的取值范围【解答】解：设直线AB的方程：yk
23、x+t，设A（x，y），B（x，y），联立与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，64k2t24（3+4k2）（4t212）0，即t23+4k2，x+x，xx，k1kOA，k2kOB，由题意得：8k，8k，8k2k+t，4t29，t2；，原点O到直线的距离d，AB42，SOABABd，OAB面积的取值范围是：（0，）故答案为：（0，）【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题三、解答题：5小题，共74分18如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y21相交于P，Q两点，求线段PQ的长度【分析】（1）设圆心
24、M（，b），b0，则圆M的方程为+（yb）2b2，再根据圆和直线相切的性质可得b，由此求得b1，可得圆的标准方程（2）由题意利用两个圆相交的性质，利用弦长公式求出线段PQ的长度【解答】解：（1）已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，设圆心M（，b），b0，则圆M的方程为+（yb）2b2，由于该圆M与直线相切于点B，故有b，求得b1，故圆M的方程为+（x1）21（2）圆M和圆x2+y21相交于P，Q两点，把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为2x+2y30由于点O到直线PQ的距离为d，故弦长PQ221【点评】本题主要考查圆和直线相切的性质，点到直线的距离公式的应用，弦长公式，属于中档题19已知
25、函数f（x）x+alnx，（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a1时，如果函数在定义域内单调递增，求实数t的取值范围【分析】（1）对函数f（x）求导，对a进行讨论，判断单调性；（2）函数在定义域内单调递增，g（x）0，分离参数求出t的范围【解答】解：（1）已知函数f（x）x+alnx，（aR），x0，f（x）1+，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增；当a0时，x（0，a），f（x）0，f（x）递减；x（a，+），f（x）0，f（x）递增；（2）当a1时，g（x）x+lnx+，x0，g（x）0，即x2+（t+1）x+10在x0恒成立，分离参数t+1，由x+，x0，故t+1
26、2，即t3【点评】考查用导数法判断函数的单调性和最值，中档题20如图，三棱柱ABCABC中，BCBBBC4，ACAA，二面角BABC是直二面角，E，F分别是AB，CC的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求EF与平面ABBA所成角的正弦值【分析】（1）取AB的中点G，连结GE，GC，推导出四边形GCFE为平行四边形，EFCG，由此能证明EF平面ABC（2）由CGEF，得EF与平面ABBA所成的角等于CG于平面ABBA所成角，作BHBA，H是垂足，推导出CGA是CG与平面ABBA所成角，由此能求出EF与平面ABBA所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：取AB的中点G，连结GE，GC，E，F分别
27、是AB，CC的中点，GEAA，且GE，CFAA，且CF，GECF，且GECF，四边形GCFE为平行四边形，EFCG，又CG平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC（2）解：CGEF，EF与平面ABBA所成的角等于CG于平面ABBA所成角，作BHBA，H是垂足，由面BAB面ABC，得BH面ABC，BHAC，又ACAA，BH和AA是相交直线，AC平面ABBA，CGA是CG与平面ABBA所成角，AC3，AG，CG，EF与平面ABBA所成角的正弦值为sinCGA【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21如
28、图，F是抛物线x24y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点M（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求FPQ面积的最小值【分析】（1）求得抛物线的焦点F的坐标，设出A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为ykx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，求得yx2的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点M的坐标，即可得证；（2）设C（x3，y3），求得切线的方程，运用点到直线的距离公式，求得P，Q的坐标，和距离|PQ|，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可点到所求最小值【解答】解：（1）
29、证明：抛物线x24y的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x124y1，x224y2，直线AB的方程为ykx+1，联立抛物线方程可得x24kx40，可得x1+x24k，x1x24，由yx2的导数为yx，可得A处的切线的方程为yy1x1（xx1），即为yx1xx12，同理可得B处切线的方程为yx2xx22，解方程可得M（，），即M（2k，1），即点M在抛物线的准线y1上；（2）设C（x3，y3），可得C处的切线PQ的方程为yx3xx32，则点F到直线PQ的距离为d，由（1）可得P（，），Q（，），可得|PQ|，则SFPQd|PQ|（1+x32）1，当且仅当x12，x22，x
30、30时取得等号则FPQ面积的最小值为1【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用导数的几何意义和联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题22已知函数f（x）lnxax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y2x1（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可得，代入即可求解a，b，（2）由已知可得，k，转化为求g（x）的最小值，结合导数即可求解【解答】解：（1）f（x）lnxax2+bx，f（x）2x+b，由题意可得，解可得，a0，b1，（2）由（I）可得f（x）lnx+x，f（x）+1，由恒成立可得，k，令g（x），则g（x），令h（x）xln（x+1），则h（x）0，h（x）单调递增，而h（2）0，h（3）0，所以h（x）有唯一的实数根x0（2，3），且0x0ln（x0+1），g（x）ming（x0）1+ln（1+x0）1+x0（3，4），k3，kz，故k的最大值3【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及恒成立与最值求解的相互转化，属于中档试题