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2020年中考数学知识点过关培优训练:二次函数(附答案)

1、知识点过关培优训练:二次函数1在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c经过点A、B,C,已知A(1,0),C(0,3)(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,P为线段BC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点D,是否存在这样的P点,使线段PD的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,抛物线的顶点为E,EFx轴于点F,N是直线EF上一动点,M(m,0)是x轴一个动点,请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标,直接写出结果不必说明理由2在直角坐标系中,ABO,O为坐标原点,A(0,3),B(6,3),二次函数yx2+bx+c的图象经过点A,B,

2、点P为抛物线上AB上方的一个点,连结PA,作PQAB垂足为H,交OB于点Q(1)求b,c的值;(2)当APQB时,求点P的坐标;(3)当APH面积是四边形AOQH面积的2倍时,求点P的坐标3如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx3交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,顶点是D,对称轴交x轴于点E(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线在第四象限内的一点,过点P作PQy轴,交直线AC于点Q,设点P的横坐标是m求线段PQ的长度n关于m的函数关系式;连接AP,CP,求当ACP面积为时点P的坐标;(3)若点N是抛物线对称轴上一点,则抛物线上是否存在点M,使得以点B,C,M,

3、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出线段BN的长度;若不存在,请说明理由4如图,在平面直角坐标系中,点C是y轴正半轴上的一个动点,抛物线yax25ax+4a(a是常数,且a0)过点C,与x轴交于点A、B,点A在点B的左边连接AC,以AC为边作等边三角形ACD,点D与点O在直线AC两侧(1)求点A,B的坐标;(2)当CDx轴时,求抛物线的函数表达式;(3)连接BD,当BD最短时,请直接写出抛物线的函数表达式5如图,抛物线y(x+2)(x2k)交x轴于点A、B,(A左B右),与y轴交于点C,把射线BC沿x轴翻折交抛物线于点D,交y轴于点F,点D纵坐标为6(1)求抛物线的解析式;(2)点

4、P为第四象限抛物线上一点,连接PB、PC,设点P横坐标为m,PBC的面积为S,求S与m的函数解析式(不要求写出自变量取值范围);(3)在(2)的条件下,PD交y轴于点E,交BC于点M,过点P作y轴平行线交BD、BC于点G、H,若MEF与MGH面积的和为6,求PBC的面积6如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(1,0),且OAOC4OB,抛物线yax2+bx+c(a0)图象经过A,B,C三点(1)求A,C两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PDAC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值7在平面直角坐标系中,二次函数yax2

5、+bx+2的图象与x轴交于A(3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(1)求这个二次函数的关系解析式,x满足什么值时y0?(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使ACP面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由8如图,抛物线yx2+bx+c与轴交于点A和点B,与y轴交于点C,作直线BC,点B的坐标为(6,0),点C的坐标为(0,6)(1)求抛物线的解析式并写出其对称轴;(2)D为抛物线对称轴上一点,当BCD是以BC为直角

6、边的直角三角形时,求D点坐标;(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点,P为直线BC上的一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q使以C,E,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出Q点的横坐标;若不存在,请说明理由9如图,直线AB经过x轴上一点A(3,0),且与抛物线yax2+1相交于B、C两点,点B的坐标为(1,2)(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)若点D是抛物线上一点,且D在直线BC下方,若SBCD3,求点D的坐标;(3)设抛物线顶点为M,问在抛物线上是否存在点P使PMC是以MC为直角边的直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由10如图,已知抛物线yx2+4x+5与

7、x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(1)直接写出点A、B、C的坐标;(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标;(3)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)过点D作DFx轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,直线BC把BDF的面积分成两部分,使SBDE:SBEF2:3,请求出点D的坐标;(4)若M为抛物线对称轴上一动点,使得MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标11如图,抛物线yax2+bx4a(a0)经过A(1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B,连接AC,BC(1)求抛物线的解析式;(2)过点C作x轴的平行线交

8、抛物线于另一点D,连接BD,点P为抛物线上一点,且DBP45,求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得由点M,A,C构成的MAC是直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由12如图,已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(1)求二次函数的解析式;(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标13如图1,抛物线yax2+bx3与x

9、轴交于A(1,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴为直线x2,交抛物线于点D,交x轴于点E(1)请直接写出:抛物线的函数解析式及点B、点D的坐标;(2)抛物线对称轴上的一动点P从点D出发,以每秒1个单位的速度向上运动,连接OP,BP,设运动时间为t秒(t0)在点P的运动过程中,请求出:当t为何值时,OPB90?(3)如图2,点Q在抛物线上运动(点Q不与点A、B重合),当QBC的面积与ABC的面积相等时,请求出点Q的坐标14如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直线yx+与x轴交于点A,与y轴交于点B,点F是点B关于x轴的对称点,抛物线yx2+bx+c经过点A和点F,与直线AB交于点C(1

10、)求b和c的值;(2)点P是直线AC下方的抛物线上的一动点,连结PA,PB求PAB的最大面积及点P到直线AC的最大距离;(3)点Q是抛物线上一点,点D在坐标轴上,在(2)的条件下,是否存在以A,P,D,Q为顶点且AP为边的平行四边形,若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由15如图,抛物线yax2+bx+2经过A(1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)M在抛物线上,线段MA绕点M顺时针旋转90得MD,当点D在抛物线的对称轴上时,求点M的坐标;(3)P在对称轴上,Q在抛物线上,以P,Q,B,C为顶点的四边形为平行四边形,直接写出点P的坐标参考答案1解:(1

11、)yx2+bx+c经过点C,则c3,将点A的坐标代入抛物线表达式:yx2+bx+3并解得:b2,抛物线的表达式为:yx2+2x+3;(2)存在,理由:令y0,则x1或3,故点B(3,0),将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC的表达式为:yx+3,设点D(x,x2+2x+3),则点P(x,x+3),则PD(x2+2x+3)(x+3)x2+3x,当x时,PD最大值为:;(3)过点B作倾斜角为30的直线BH,过点C作CHBH交于点H,CH交对称轴于点N,交x轴于点M,则点M、N为所求,直线BH表达式中的k值为,则直线CH的表达式为:yx+3,当x1时,y3,当y0时,x,故点N、M的坐

12、标分别为:(1,3)、(,0),CN+MN+MB的最小值CHCM+FH2解:(1)把A(0,3),B(6,3)代入yx2+bx+c并解得:;(2)设P(m,m2+6m+3)PB,AHPOAB90,ABOHPA,解得m4P(4,11)(3)当APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时,则2(AO+HQ)PH,得:m14,m23,P(4,11)或P(3,12)3解:(1)抛物线的表达式为:ya(x+1)(x3)a(x22x3),故3a3,解得:a1,故抛物线的表达式为:yx22x3;(2)设点P(m,m22m3),将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AC的表达式为:y3x3,则点Q(m,

13、3m3),nPQm22m3+3m+3m2+m;连接AP交y轴于点H,同理可得:直线AP的表达式为:y(m3)x+m3,则OH3m,则CHm,ACP面积CH(xPxA)m(m+1),解得:m(不合题意的值已舍去),故点P(,);(3)点C(0,3),点B(3,0),设点P(m,n),nm22m3,点N(1,s),当BC是边时,点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B,同样点M(N)向右平移3个单位向上平移3个单位得到N(M),即13m,s3n,解得:m4或2,s2或0,故点N(1,2)或(1,0),则BN2或2;当BC是对角线时,由中点公式得:3m+1,3s+n,解得:s6,故点N(1,6),

14、则BN2,综上,BN2或2或24解:(1)yax25ax+4a,令y0,则x1或4,故点A、B的坐标分别为:(1,0)、(4,0);(2)当CDx轴时,则CAO60,则OCOAtan60,故点C(0,),即4a,解得:a,故抛物线的表达式为:yx2x+;(3)如图,过点D作DEAC于点E,过点D作x轴的垂线于点H,过点E作EFx轴交y轴于点F交DH于点G,ACD为等边三角形,则点E为AC的中点,则点E(,2a),AECEED,CEF+FCE90,CEF+DEG90,DEGECF,CFEEGD,其中EF,CF2a,解得:GE2a,DG,故点D(a,2a+),BD2(+2a4)2+(2a+)216

15、(a)2+,故当a时,BD最小,故抛物线的表达式为:yx2x+5解:(1)过点D作DSx轴于S令y0,即(x+2)(x2k)0解得x2或x2kOA2,OB2k令x0,则yk,OCktanOBCtanOBD,点D纵坐标为6,DS6,BS12,OS122k点D坐标为(2k12,6),代入解析式得:6(2k12+2)(2k122k)解得k4抛物线解析式为y(x+2)(x8)或yx2x4;(2)过点P作PNBC于N,PRx轴于R,PR交BC于K令x0,y4,OC4C(0,4),由(1)得B(8,0)先求出直线BC解析式yx4,PKPRRK点P(m, m2m4)PRm2m4),K(m, m4)RKm+4

16、PK(m2m4)(m+4),NPKOBCcosOBCcosNPKPNPK cosNPKm2+mBC4SBCPN(m2+m)Sm2+8m;(3)在(1)图基础上,过点P作PQDS,设PQ交y轴于点L,tanDPQ,即EL可知点F(0,4)EFFLEL4()EF8m,求出直线BF解析式为yx+4,点G纵坐标为m+4,点H纵坐标为m4,GH(m+4,)(m4,)8m,MEF面积与MGH面积和为6(8m)m6解得m2或m6Sm2+8mS126解:(1)OAOC4OB4,故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0,4);(2)抛物线的表达式为:ya(x+1)(x4)a(x23x4),即4a4,解得:a1,故

17、抛物线的表达式为:yx23x4;(3)直线CA过点C,设其函数表达式为:ykx4,将点A坐标代入上式并解得:k1,故直线CA的表达式为:yx4,过点P作y轴的平行线交AC于点H,OAOC4,OACOCA45,PHy轴,PHDOCA45,设点P(x,x23x4),则点H(x,x4),PDHPsinPFD(x4x2+3x+4)x2+2x,0,PD有最大值,当x2时,其最大值为2,此时点P(2,6)7解:(1)函数表达式为:ya(x+3)(x1)a(x2+2x3),3a2,解得:a,抛物线的表达式为:yx2x+2,当x3或x1时,y0;(2)存在,理由:过点P作平行于y轴的直线交AC于点H,将点A(

18、3,0)、C(0,2)的坐标代入一次函数表达式:ykx+b得:,解得:,故直线AC的表达式为:yx+2,设点P(x,x2x+2),则点H(x, x+2),ACP面积SPHOA3(x2x+2x2)x23x,0,故当x时,S有最大值,此时点P(,);(3)设点M的坐标为:(m,n),则nm2m+2,点Q(s,0),点A、C的坐标分别为:(3,0)、(0,2),当AC是平行四边形的一条边时,点A向右平移3个单位、向上平移2个单位得到C,同样点M(Q)向右平移3个单位、向上平移2个单位得到Q(M),即:m+3s,n+20或m3s,n20,且nm2m+2,解得:s2或5;当AC是平行四边形的对角线时,则

19、m+s3,n+02,且nm2m+2,解得:s1,故点Q的坐标为:(1,0)或(5,0)或(2,0)或(2,0)8解:(1)将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:yx22x6,令y0,则x2或6,则点A(2,0),则函数的对称性x2;(2)当BCD90时,将点B、C的坐标代入一次函数表达式得:直线BC的表达式为:yx6,则直线CD的表达式为:yx6,当x2时,y8,故点D(2,8);当DBC90时,同理可得点D(2,4),故点D(2,8)或(2,4);(3)当CE为菱形的一条边时,则PQCE,设点P(m,m6),则点Q(m,n),则nm22m6,由题意得:CPPQ,

20、即mm6n,联立并解得:m62,n48,则点Q(62,48);当CE为菱形的对角线时,则PQCE,即PQx轴,设点P(m,m6),则点Q(s,m6),其中m6s22s6,则PCm,CQ2s2+m2,由题意得:CQCP,即:(m)2s2+m2,联立并解得:m6或2(舍去6),故点(2,8);综上,点Q(62,48)或(2,8)9解:(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式:ykx+b得:,解得:,故直线AB的表达式为:yx+3,同理将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:抛物线的表达式为:yx2+1;(2)联立并解得:x1或2,故点C(2,5),如图1,过点D作y轴的平行线交BC于点H,设点D(x,

21、x2+1),则点H(x,x+3),则SBCD3DH(xBxC)(x2+1x+3)(1+2),解得:x0或1,故点D(1,2)或(0,1);(3)如图2,点M的坐标为:(0,1),点C(2,5),则直线CM函数表达式中的k值为:2,当PCM90时,则直线CP的函数表达式为:yx+m,将点C的坐标代入上式并解得:m6,故直线PC的表达式为:yx+6,联立并解得:x2或(舍去2),故点P的坐标为:(,);当CMP(P)90时,同理可得:点P(P)(,),综上,点P的坐标为:(,)或(,)10解:(1)令y0,则x1或5,令x0,则y5,故点A、B、C的坐标分别为:(1,0)、(5,0)、(0,5);

22、(2)抛物线的对称轴为:x2,点B是点A关于函数对称轴的对称点,连接BC交抛物线对称轴于点P,则点P为所求,直线BC的表达式为:yx+5,当x2时,y3,故点P(2,3);(3)设点D(x,x2+4x+5),则点E(x,x+5),SBDE:SBEF2:3,则,即:,解得:m或5(舍去5),故点D(,);(4)设点M(2,m),而点B、C的坐标分别为:(5,0)、(0,5),则MB29+m2,MC24+(m5)2,BC250,当MB为斜边时,则9+m24+(m5)2+50,解得:m7;当MC为斜边时,同理可得:m3;当BC为斜边时,同理可得:m6或1;综上点M的坐标为:(2,7)或(2,3)或(

23、2,6)或(2,1)11解:(1)4a4,解得:a1,则抛物线的表达式为:yx2+bx+4,将点A的坐标代入上式并解得:b3,故抛物线的表达式为:yx2+3x+4;(2)抛物线的对称轴为:x,点D(3,4),过点D作x轴的垂线交BP于点H,交x轴于点G,过点H作HRBD与点R,则BG1,GD4,tanBDG,DBP45,设:HRBRx,则DR4x,BD5x,x,BHx, BG1,则GH,故点H(3,),而点B(4,0),同理可得直线HB的表达式为:yx+,联立并解得:x4或(舍去4),故点P(,);(3)设点M(,m),而点A(1,0)、点C(0,4),则AM2+m2,CM2+(m4)2,AC

24、217,当AM是斜边时, +m2+(m4)2+17,解得:m;当CM是斜边时,同理可得:m;当AC是斜边时,同理可得:m或;综上,点M的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,)12解:(1)用交点式函数表达式得:y(x1)(x3)x24x+3;故二次函数表达式为:yx24x+3;(2)当AB为平行四边形一条边时,如图1,则ABPF2,则点P坐标为(4,3),当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,故:点P(4,3)或(0,3);当AB是四边形的对角线时,如图2,AB中点坐标为(2,0)设点P的横坐标为m,点F的横坐标为2,其中点坐标为:,即:2,解得:m2

25、,故点P(2,1);故:点P(4,3)或(0,3)或(2,1);(3)直线BC的表达式为:yx+3,设点E坐标为(x,x24x+3),则点D(x,x+3),S四边形AEBDAB(yDyE)x+3x2+4x3x2+3x,10,故四边形AEBD面积有最大值,当x,其最大值为,此时点E(,)13解:(1)抛物线yax2+bx3与x轴交于A(1,0),抛物线的对称轴为直线x2,则点B(3,0),抛物线的表达式为:ya(x1)(x3)a(x24x+3),即3a3,解得:a1,故抛物线的表达式为:yx2+4x3,函数的对称轴为:x2,则点D(2,1);(2)t秒时,点P(2,1t),则OP24+(1+t)

26、2,BP21+(1+t)2,AB29,OPB90,则4+(1+t)2+1+(1+t)29,解得:t1+(负值已舍去);(3)如下图,过点A作BC的平行线交抛物线于点Q、交y轴于点K,则QBC的面积与ABC的面积相等,过点A作AGBC于点G,过点K作KHBC于点H,则AGKH,直线BC的倾斜角为45,则AGABKH,则KC2,故点K(1,0),则直线AQ的函数表达式为:yx1,联立并解得:x1或2(舍去1),故点Q(2,1);在BC的下方与AQ等距离位置作BC的抛物线交抛物线于点Q、Q,同理可得直线QQ的表达式为:yx5,联立并解得:x,故点Q(Q、Q)的坐标为:(,)、(、);综上,点Q的坐标

27、为:(2,1)或(,)或(、)14解:(1)直线yx+与x轴交于点A,与y轴交于点B,则点A、B的坐标分别为:(3,0)、(0,),则点F(0,),抛物线yx2+bx+c经过点A和点F,则c,将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:b,故抛物线的表达式为:yx2+x,b,c;(2)过点P作y轴的平行线交AB于点H,设点P(x, x2+x),则点H(x, x+),则PAB的面积SPHOA(x+x2x+)(x2x+2),当x时,S的最大值为,此时点P(,),设:P到直线AC的最大距离为d,AB2SABd,解得:d;(3)存在,理由:点A(3,0),点P(,),设点Q(m,n),nm2+m,当点D在x轴

28、上时,若存在以A,P,D,Q为顶点且AP为边的平行四边形时,则n,即m2+m,解得:m(舍去)或或1;当点D在y轴上时,同理可得:0m,故点P(,)或(,);故点Q的坐标为:(1,)或(,)或(1+,)或(,)或(,)15解:(1)抛物线的表达式为:ya(x+1)(x2)a(x2x2),2a2,解得:a1,故抛物线的表达式为:yx2+x+2;(2)设点M(m,m2+m+2),过点M作y轴的平行线HN,交过点A与x轴的平行线于点H,交x轴于点N,DMH+HDM90,DMH+MON90,MONDMH,又MDHANM90,AMMD,MDHANM(AAS),DHMN,即:m2+m+2|m|,解得:m或1,故点M(,)或(,)或(1+,)或(1,);(3)设点Q(m,n),nm2+m+2,点P(,s),点B、C的坐标分别为:(2,0)、(0,2),当BC是平行四边形的边时,点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B,同样点Q(P)向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P(Q),则m+2,n2s或m2,n+2s,解得:s或,故点P(,)或(,);当BC是平行四边形的对角线时,m+2,n+s2,解得:s,故点P(,),综上,故点P的坐标为:(,)或(,)或(,)