1、2019-2020学年浙江省杭州四中高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）Ax2+（y2）21Bx2+（y+2）21C（x1）2+（y3）21Dx2+（y3）212（4分）已知正ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为（）ABCD3（4分）设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，b，则b；若a，a，则；若a，则a或a；若ab，a，b，则其中正确命题的个数为（）A1B2C3D44（4分）若直线ykx与圆（x2）2+y21的两个交点关于直线2x+y+b0对称，则k，b的
2、值分别为（）ABCD5（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D816（4分）如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（）AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面7（4分）一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）21相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或8（4分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A
3、1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是（）ABCD29（4分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+150，若直线ykx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）ABCD10（4分）已知三棱锥PABC的底面积ABC是边长为的正三角形，A点在侧面PBC内的射影H为PBC的垂心，二面角PABC的平面角的大小为60，则AP的长为（）A3BCD4二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）圆C1：（xm）2+（y+2）29与圆C2：（x+1）2+（ym）24内切，则m的值为 12（4分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1
4、，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是 13（4分）ABC中，AB2，ABC120，若使绕直线BC旋转一周，则所形成的的几何体的体积 14（4分）已知直线ax+y20与圆心为C的圆（x1）2+（ya）24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a 15（4分）如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD四面体ABCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为 16（4分）已知直线yax+3与圆x2+y2+2x80相交于A，B两点，点P（x0，y0）在直线y2x上，且PAPB，则x0的取值范围为 17（4分
5、）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E、F分别在A1B1、D1C1上，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH，则A1E与D1F的大小关系是 三、解答题：5小题，共74分18（14分）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，点D为AC的中点，点E在线段AA1上（I）当AE：EA11：2时，求证DEBC1；（）是否存在点E，使三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，若存在，求AE的长，若不存在，请说明理由19（14分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线
6、l的方程；（2）求与圆C和直线xy50都相切的最小圆的方程20（14分）如图，在四棱锥EABCD中，平面CDE平面ABCD，DABABC90，ABBC1，ADED3，EC2（1）证明：AB平面BCE；（2）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值21（16分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，E为AB的中点，PA平面ABCD，PC与平面PAD所成的角的正弦值为（1）在棱PD上求一点F，使AF平面PEC；（2）求二面角DPEA的余弦值22（16分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y24交于点A，B，与圆M：（x2）2+（y1
7、）21交于点C，D（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求ABE面积的取值范围2019-2020学年浙江省杭州四中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）Ax2+（y2）21Bx2+（y+2）21C（x1）2+（y3）21Dx2+（y3）21【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可【解答】解法1（直接法）：设圆心坐
8、标为（0，b），则由题意知，解得b2，故圆的方程为x2+（y2）21故选A解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y2）21故选A解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C故选：A【点评】本题提供三种解法，三种解题思路，考查圆的标准方程，是基础题2（4分）已知正ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为（）ABCD【分析】由正ABC的边长为a，知正ABC的高为，画到平面直观图ABC后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，故ABC的高为，由此能求出ABC的面积【解答】解：正
9、ABC的边长为a，正ABC的高为，画到平面直观图ABC后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，ABC的高为，ABC的面积S故选：D【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化3（4分）设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，b，则b；若a，a，则；若a，则a或a；若ab，a，b，则其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4【分析】若ab，a，b，则b，可由线面平行的条件进行证明； 若a，a，则可由面面垂直的判定定理进行判断；若a，则a或a，本题可由面面垂直的性质进行判断；若ab，a，b，则，可由面面垂直的
10、判定定理进行判断【解答】解：若ab，a，b，则b，ab，a，可得出此b或b，再b，可得b由是真命题； 若a，a，由线面平行的性质定理可以得出在内存在一条线c，故可得出，是真命题；若a，由图形即可得出a或a，是正确命题； 由ab，a可推出b或b，再有b，可得出，故是真命题故选：D【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定及性质，重点考查了空间立体感知能力及运用相关知识组织判断的能力4（4分）若直线ykx与圆（x2）2+y21的两个交点关于直线2x+y+b0对称，则k，b的值分别为（）ABCD【分析】利用对称知识，求出直线的斜率，对称轴经过圆的圆心即可求出b【解答】解：因为直线ykx与圆（x2）2
11、+y21的两个交点关于直线2x+y+b0对称，直线2x+y+b0的斜率为2，所以k并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b0上，所以4+0+b0，b4故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力5（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个斜四棱柱，如图所示：其上底面和下底面面积为：33218，侧面的面积为：（36+3）218
12、+18，故棱柱的表面积为：182+18+1854+18故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键6（4分）如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（）AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面【分析】本题利用直接法进行判断先观察图形判断A，M，O三点共线，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上
13、，从而证明三点共线【解答】解：连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1、C1、C、A四点共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，A、M、O三点共线故选：A【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论、三点共线及空间想象能力，属于基础题7（4分）一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）21相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或【分析】点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3k（x2）
14、，利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3k（x2），化为kxy2k30反射光线与圆（x+3）2+（y2）21相切，圆心（3，2）到直线的距离d1，化为24k2+50k+240，k或故选：D【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题8（4分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是（）ABCD2【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F
15、，取AC的中点G，连接FG，EG，EFG为EF与侧棱C1C所成的角，在直角三角形EFG中求出此角即可【解答】解：取AC的中点G，连接FG，EG根据题意可知FGC1C，FGC1C；而EGBC，EGBC；EFG为EF与侧棱C1C所成的角，在RtEFG，cosEFG故选：B【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题9（4分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+150，若直线ykx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）ABCD【分析】化圆C的方程为（x4）2+y21，求出圆心与半径，由
16、题意，只需（x4）2+y24与直线ykx+2有公共点即可【解答】解：圆C的方程为x2+y28x+150，整理得：（x4）2+y21，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线ykx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y24与直线ykx+2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线ykx+2的距离为d，则d2，即3k24k，k0k的最小值是故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x4）2+y24与直线ykx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题10（4分）已知三棱锥PABC的底面积ABC是边长为的正三角形
17、，A点在侧面PBC内的射影H为PBC的垂心，二面角PABC的平面角的大小为60，则AP的长为（）A3BCD4【分析】设PO平面ABC，可证O为ABC的中心，从而利用勾股定理求出PA【解答】解：延长PH交BC于D，连接AD，H是PBC的垂心，BCPD，AH平面PBC，BC平面PBC，AHBC，又AH平面APD，PD平面PAD，AHPDH，BC平面APD，又AD平面APD，BCAD，连接BH并延长交PC于E，连接AE，由AH平面PBC可得AHPC，又BEPC，AHBEH，PC平面ABE，ABPC设P在平面ABC上的射影为O，延长CO交AB于F，连接PFPOAB，PCPOP，AB平面PCFPFAB，
18、CFABO是ABC的中心，F是AB的中点，PAPB，PFC为二面角PABC的平面角，即PFC60ABABBC2，CFAD3，OFCF1，PO，又AOAD2，AP故选：C【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）圆C1：（xm）2+（y+2）29与圆C2：（x+1）2+（ym）24内切，则m的值为2或1【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差解出m【解答】解：圆C1的圆心为（m，2），半径为r13，圆C2的圆心为（1，m），半径为r22，两圆的圆心距d，两圆内切，1，解得m2或m1故答案为：2或1【点评】本题考查了圆
19、的方程，圆与圆的位置关系，属于基础题12（4分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（0，）【分析】先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案【解答】解：设四面体的底面是BCD，BCa，BDCD1，顶点为A，AD在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0a2，取BC中点E，E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AEED，两边之和大于第三边2，得0a，（负值0值舍）由得0a故答案为：（0，）【点评】本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置解决本题的关键在于利用
20、三角形两边之和大于第三边这一结论13（4分）ABC中，AB2，ABC120，若使绕直线BC旋转一周，则所形成的的几何体的体积【分析】根据题意知旋转体是大圆锥去掉一个小圆锥，用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即可【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OAABsin60，OB1，所以旋转体的体积： （）2（OCOB）3BC故答案为：【点评】本题考查了圆锥体积的计算问题，也考查了空间想象能力，是基础题14（4分）已知直线ax+y20与圆心为C的圆（x1）2+（ya）24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a4【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公
21、式即可得到结论【解答】解：圆心C（1，a），半径r2，ABC为等边三角形，圆心C到直线AB的距离d，即d，平方得a28a+10，解得a4，故答案为：4【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键15（4分）如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD四面体ABCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为【分析】由题意可知，四面体ABCD顶点在同一个球面上，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积【解答】解：平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其
22、沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD四面体ABCD顶点在同一个球面上，BCD和ABC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC，球的半径为：；所以球的体积为：；故答案为：【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力16（4分）已知直线yax+3与圆x2+y2+2x80相交于A，B两点，点P（x0，y0）在直线y2x上，且PAPB，则x0的取值范围为（1，0）（0，2）【分析】由题意可得CP垂直平分AB，且 y02x0由1，解得 x0把直线yax+3代入圆x2+y2+2x80化为关于x的一元二次方程，由0，求
23、得a的范围，从而可得x0的取值范围【解答】解：圆x2+y2+2x80 即 （x+1）2+y29，表示以C（1，0）为圆心，半径等于3的圆PAPB，CP垂直平分AB，P（x0，y0）在直线y2x上，y02x0 又CP的斜率等于 ，1，解得 x0把直线yax+3代入圆x2+y2+2x80可得，（a2+1）x2+（6a+2）x+10由（6a+2）24（a2+1）0，求得 a0，或a10，或 02故x0的取值范围为 （1，0）（0，2），故答案为 （1，0）（0，2）【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题17（4分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC1
24、0，AA18，点E、F分别在A1B1、D1C1上，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH，则A1E与D1F的大小关系是相等【分析】根据条件及线面关系证明EFA1D1，再结合正方体性质可证得四边形A1EFD1是平行四边形【解答】解：因为四边形EFGH是正方形，所以EFEH，因为EH平面ABB1A1，所以EF平面ABB1A1，又因为A1D1平面ABB1A1，所以EFA1D1，因为D1FA1D，所以四边形A1EFD1是平行四边形，所以A1ED1F故答案为：相等【点评】本题考查线面关系，属于中档题三、解答题：5小题，共74分18（14分）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2
25、，点D为AC的中点，点E在线段AA1上（I）当AE：EA11：2时，求证DEBC1；（）是否存在点E，使三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，若存在，求AE的长，若不存在，请说明理由【分析】（I）证明BDDE，说明ADE是直角三角形，求出ADE30，说明DCC1是直角三角形，求出C1DC60，然后证明DEBC1（）设AEh，利用，通过求出棱锥的体积，利用三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，求出h，然后说明存在E即可【解答】解：（）证明：因为正三棱柱ABCA1B1C1，所以三角形ABC是正三角形，又因为D是AC的中点，所以BDAC，又平面ABC平面CAA
26、1C1，所以BDDE，因为AE：EA11：2，AB2，所以AE，AD1，所以在RtADE中，ADE30，在RtDCC1中C1DC60，所以EDC190即：DEBC1（）设AEh，则A1E，BD平面ACC1A1，又，解得：h，故存在点E，E为A1时，三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，【点评】本题考查直线与直线的垂直的证明，棱锥的体积的求法，存在性问题的解题的策略，考查空间想象能力以及逻辑推理与计算能力19（14分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求与圆C和直线xy50都相切的最小圆的方程【
27、分析】（1）设直线的方程为x+yk，直线l与圆C相切，|1k|2，得k1或者3；（2）根据与圆C和直线xy50都相切的最小圆在圆C到直线xy50的直线上，求出半径和圆心，即可求出答案【解答】解：（1）设直线的方程为x+yk，圆C：x2+y2+2x4y+30的标准方程为（x+1）2+（y2）22，若直线l与圆C相切，|1k|2，得k1或者3，所以直线l的方程为x+y+10，或者x+y30；（2）根据题意，由于，所以直线xy50与圆C相离，所求最小的圆心一定在过圆C的圆心（1，2）的直线yx+1上，且到直线xy50的距离为，设最小的圆心为（a，1a），所以，|2a6|3，得，或者，根据题意，所以最
28、小的圆的方程为【点评】（1）基础题，设出直线，利用相切求出即可；（2）本题的关键是利用几何法确定出所求圆的圆心和半径，代入即可，中档题20（14分）如图，在四棱锥EABCD中，平面CDE平面ABCD，DABABC90，ABBC1，ADED3，EC2（1）证明：AB平面BCE；（2）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值【分析】（1）推导出ECCD，从而CE面ABCD，再由CEAB，ABBC，由此能证明AB面BCE（2）过A作AHDC，交DC于H，则AH平面DCE，连结EH，则AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，由此能证明直线AE与平面CDE所成角的正弦值【解答】证明：（1）DABABC90
29、，四边形ABCD是直角梯形，ABBC1，ADED3，EC2CD，CE2+DC2DE2，ECCD，面EDC面ABCD，面EDC面ABCDDC，CE面ABCD，CEAB，又ABBC，BCCEC，AB面BCE解：（2）过A作AHDC，交DC于H，则AH平面DCE，连结EH，则AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，AH，AE，sinAEH，直线AE与平面CDE所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题21（16分）四棱锥PABCD中，底面A
30、BCD是边长为2的菱形，ABC60，E为AB的中点，PA平面ABCD，PC与平面PAD所成的角的正弦值为（1）在棱PD上求一点F，使AF平面PEC；（2）求二面角DPEA的余弦值【分析】（1）分别取PD，PC的中点F，G，由三角形中位线定理及平行公理可得四边形AEGF为平行四边形，得AFEG，由线面平行的判定可得AF平面PEC，则PD的中点F即为所求；（2）由已知可得CPE即为PC与平面PAB所成的角，求解直角三角形得到PA2，过D作BA的延长线的垂线，垂足为H，过H作PE的垂线，垂足为K，连接KD，可得DKH即为所求的二面角的平面角，然后求解直角三角形得答案【解答】解：（1）分别取PD，PC
31、的中点F，G，则FGCDAB，四边形AEGF为平行四边形，则AFEG，又FG平面PEC，AF平面PEC，PD的中点F即为所求；（2）由PA平面ABCD，可得平面PAB平面ABCD，E为AB中点，且BC2BE2，CBE60，CEABCPE即为PC与平面PAB所成的角，在RtPEC中，即，解得：PA2，过D作BA的垂线，垂足为H，过H作PE的垂线，垂足为K，连接KD，PA平面ABCD，PADH，又DHBA，DH平面PBA，DHPE，则PE平面DHK，得PEDH，DKH即为所求的二面角的平面角，在RtDHK中，由于PEHKEHPA，从而，即二面角DPEA的余弦值为【点评】本题考查线面平行的判定，考查
32、了二面角平面角的求法，正确找出二面角的平面角是解答该题的关键，是中档题22（16分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y24交于点A，B，与圆M：（x2）2+（y1）21交于点C，D（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求ABE面积的取值范围【分析】（1）设直线AB的方程为：ykx+1（k0），根据，利用弦长公式可得：+22，解得k，可得直线CD的方程，再利用弦长公式即可得出（2）直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x0，直线CD的方程为：y1可得SABE4直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：ykx+1，若k0，则方程为y1，经过圆心（
33、2，1），此时ABE不存在，舍去k0时，可得直线CD的方程为：yx+1利用弦长公式可得：|AB|2联立，化为：（k2+1）x24k2x+3k20，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得E利用点到直线的距离公式可得点E到直线AB的距离d可得SABE|AB|d2，通过换元利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）设直线AB的方程为：ykx+1（k0），+22，化为：k215，解得k直线CD的方程为：yx+1|CD|2（2）直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x0，直线CD的方程为：y1SABE4直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：ykx+1，若k0，则方程为y1，经过圆心（2，1），此时ABE不存在，舍去k0时，可得直线CD的方程为：yx+1|AB|22联立，化为：（k2+1）x24k2x+3k20，16k412（k2+1）k20，化为：k23x1+x2，可得E点E到直线AB的距离dSABE|AB|d222，令k2+1t4，可得f（t）（，2）SABE（，4）综上可得：SABE（，4【点评】本题考查了直线与圆相交弦长问题、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性、分类讨论方法、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题