1、提分专练(四)二次函数小综合|类型1|二次函数与方程(不等式)的综合1.2019湖州已知抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点.(1)求c的取值范围;(2)若抛物线y=2x2-4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m与n的大小,并说明理由.|类型2|二次函数与直线的综合2.2018苏州如图T4-1,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD,求新
2、抛物线对应的函数表达式.图T4-1|类型3|二次函数与几何图形的综合3.2019长沙中考适应性考试一如图T4-2,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tanBAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90,得到DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴l与x轴交于点E,连接PE,交CD于点F,求以C,E,F为顶点的三角形与COD相似时点P的坐标.图T4-24.2019连云港节选如图T4-3,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:y=x2+bx+c过点C(0,-3),与抛
3、物线L2:y=-12x2-32x+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P,Q分别是抛物线L1,L2上的动点.(1)求抛物线L1对应的函数解析式;(2)若以点A,C,P,Q为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P的坐标.图T4-3 5.2019长沙一模如图T4-4,在平面直角坐标系中,直线y=12x-1与抛物线y=-512x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-6,点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点(不与点A,B重合).(1)求该抛物线的解析式;(2)连接PA,PB,在点P运动的过程中,是否存在某一位置,使得PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求
4、出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)过点P作PDy轴交直线AB于点D,以PD为直径的圆与直线AB相交于点G,求DG的最大值.图T4-4【参考答案】1.解:(1)抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点,方程2x2-4x+c=0有两个不相等的实数根,=(-4)2-42c0,解得c2.(2)m0,抛物线开口向上,在抛物线对称轴的右侧,y随x的增大而增大.23,mn.2.解:(1)令y=x2-4=0,解得x1=2,x2=-2.点A位于点B的左侧,A(-2,0).直线y=x+m经过点A,-2+m=0,m=2,D(0,2),AD=OA2+OD2=22.(2)新抛物线经过点D(0,2),设新
5、抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,y=x2+bx+2=x+b22+2-b24.直线CC平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),直线CC的函数表达式为y=x-4.2-b24=-b2-4,整理得b2-2b-24=0,解得b1=-4,b2=6.新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.3.解:(1)在RtAOB中,OA=1,tanBAO=OBOA=3,OB=3OA=3.DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90得到的,DOCAOB,OC=OB=3,OD=OA=1.点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,3),(-3,0),代入抛物线解析式,得a+b+c=0,9a-3b
6、+c=0,c=3,解得a=-1,b=-2,c=3,抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,对称轴l为直线x=-b2a=-1,点E的坐标为(-1,0).当CEF=90时,CEFCOD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(-1,4).当CFE=90时,CFECOD,过点P作PMx轴于点M,如图,易得EFCEMP,EMMP=EFCF=ODCO=13,MP=3ME.点P的横坐标为t,P(t,-t2-2t+3).点P在第二象限,PM=-t2-2t+3,ME=-1-t,-t2-2t+3=3(-1-t),解得t1=-2,t2=3(与点P在第二象限
7、,横坐标小于0矛盾,舍去),t=-2.当t=-2时,y=-(-2)2-2(-2)+3=3,P(-2,3),当以C,E,F为顶点的三角形与COD相似时,点P的坐标为(-1,4)或(-2,3).4.解析(1)先求出点A的坐标,再用待定系数法求出抛物线L1的函数解析式即可;(2)设点P的坐标为(t,t2-2t-3),分两种情况讨论:AC为平行四边形的一条边,AC为平行四边形的一条对角线.用t表示出Q点坐标,再把Q点坐标代入抛物线L2:y=-12x2-32x+2中,列出方程求解即可.解:(1)将x=2代入y=-12x2-32x+2,得y=-3,故点A的坐标为(2,-3).将A(2,-3),C(0,-3
8、)代入y=x2+bx+c,得-3=22+2b+c,-3=c,解得b=-2,c=-3,抛物线L1对应的函数解析式为y=x2-2x-3.(2)设点P的坐标为(t,t2-2t-3).第一种情况:AC为平行四边形的一条边.当点Q在点P右侧时,点Q的坐标为(t+2,t2-2t-3),将Q(t+2,t2-2t-3)代入y=-12x2-32x+2,得t2-2t-3=-12(t+2)2-32(t+2)+2,解得t=0或t=-1.因为当t=0时,点P与点C重合,不符合题意,所以舍去t=0,所以点P的坐标为(-1,0).当点Q在点P左侧时,点Q的坐标为(t-2,t2-2t-3),将Q(t-2,t2-2t-3)代入
9、y=-12x2-32x+2,得t2-2t-3=-12(t-2)2-32(t-2)+2,解得t=3或t=-43,所以点P的坐标为(3,0)或-43,139.第二种情况:当AC为平行四边形的一条对角线时,由AC的中点坐标为(1,-3),得PQ的中点坐标为(1,-3),故点Q的坐标为(2-t,-t2+2t-3),将Q(2-t,-t2+2t-3)代入y=-12x2-32x+2,得-t2+2t-3=-12(2-t)2-32(2-t)+2,解得t=0或t=-3,因为当t=0时,点P与点C重合,不符合题意,所以舍去t=0,所以点P的坐标为(-3,12).综上所述,点P的坐标为(-1,0)或(3,0)或-43
10、,139或(-3,12).5.解:(1)在y=12x-1中,当y=0时,x=2,A(2,0),当x=-6时,y=-4,B(-6,-4).将A(2,0),B(-6,-4)代入y=-512x2+bx+c,得-51222+2b+c=0,-512(-6)2-6b+c=-4,解得b=-76,c=4,该抛物线的解析式为y=-512x2-76x+4.(2)存在.设直线AB交y轴于点C,则C(0,-1),AC=5.如图所示,作线段AB的垂直平分线交x轴于点F、交AB于点E.由点A,B的坐标得,点E(-2,-2),则AE=(-2-2)2+(-2)2=25.由OACEAF,得AOAE=ACAF,即225=5AF,
11、则AF=5,故点F(-3,0).由点E(-2,-2),F(-3,0)得直线EF的解析式为y=-2x-6.联立并解得:x=-4或6(舍去x=6),故点P的坐标为(-4,2).PE=(-4+2)2+(2+2)2=25,AE=PE=BE,PAB=PBA=45,BPA为等腰直角三角形,存在满足条件的点P,坐标为(-4,2).(3)连接PG,如图所示,PD为直径,PGD=90,即PGAC.OAC=90-PDC=DPG,在RtAOC中,sinOAC=15=sinDPG,则GD=PDsinDPG,设点P的坐标为x,-512x2-76x+4,则点Dx,12x-1,GD=PDsinDPG=15-512x2-76x+4-12x+1,当x=-2时,GD最大,最大值为453.