1、提分专练(五)与特殊四边形有关的计算与证明|类型1|平行四边形的判定及性质的应用1.2018恩施州如图T5-1,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,ABED,ACFD,AD交BE于点O.求证:AD与BE互相平分.图T5-12.2019安徽如图T5-2,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE.(1)求证:BCEADF;(2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求ST的值.图T5-2|类型2|矩形、菱形的判定及性质的应用3.2018张家界 如图T5-3,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DFAE,垂足为F.(1)求证:DF=AB;(2)若FDC=30,且AB=4,求AD
2、的长.图T5-34.2018南宁 如图T5-4,在ABCD中,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,且BE=DF.(1)求证:ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面积.图T5-45.2019新疆如图T5-5,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE.过点C作CFBD,交OE的延长线于点F,连接DF.求证:(1)ODEFCE;(2)四边形OCFD是矩形.图T5-56.2019海南如图T5-6,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:PDEQCE;(2)过点
3、E作EFBC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时:求证:四边形AFEP是平行四边形;请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.图T5-6|类型3|正方形的判定及性质的应用7.2018遵义 如图T5-7,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AEBE),且EOF=90,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T5-78.2018十堰 如图T5-8,已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM.(1)如图,点E在CD上,点G在BC的延长线
4、上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,并直接写出结论.(2)如图,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.(3)将图中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上,若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长.图T5-8【参考答案】1.证明:如图,连接BD,AE.ABED,ABC=DEF.ACFD,ACB=DFE.FB=CE,BF+FC=FC+CE,即BC=EF.在ACB和DFE中,ABC=DEF,BC=EF,ACB=DFE.ACBDFE(ASA).AB=DE.ABED,四边形ABDE是平行四边形.AD与BE互相平分.2.解:(1
5、)证明:如图,延长FA,与CB的延长线交于点M.ADBC,FAD=M.又AFBE,M=EBC.FAD=EBC.同理可得FDA=ECB.在BCE和ADF中,EBC=FAD,BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.(2)如图,连接EF,由(1)知BCEADF,BE=AF.又AFBE,四边形ABEF为平行四边形.SAEF=SAEB.同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC.T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDCE+SAED+SBCE=2T.ST=2.3.解:(1)证明:如图,在矩形ABCD中,ADBC,1=2.又DFAF,DFA=90.DFA=B.又AD=EA,AD
6、FEAB.DF=AB.(2)1+3=90,FDC+3=90,1=FDC=30.AD=2DF.又DF=AB,AD=2AB=24=8.4.解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABC=ADC.AEBC,AFDC,AEB=AFD=90.又BE=DF,AEBAFD(ASA).AB=AD.四边形ABCD是菱形.(2)如图,连接BD,交AC于点O.由(1)知,四边形ABCD是菱形,AC=6,ACBD,AO=OC=12AC=126=3.AB=5,在RtAOB中,BO=AB2-AO2=52-32=4.BD=2BO=8.SABCD=12ACBD=1268=24.5.证明:(1)CFBD,ODC=DCF.E
7、是CD的中点,ED=EC.DEO=CEF,ODEFCE.(2)ODEFCE,OE=EF.又DE=EC,四边形OCFD是平行四边形.四边形ABCD是菱形,BDAC.DOC=90.四边形OCFD是矩形.6.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,D=BCD=90.ECQ=90=D.E是CD的中点,DE=CE,又DEP=CEQ,PDEQCE.(2)证明:如图,由(1)得PDEQCE,PE=QE=12PQ.又EFBC,PF=FB=12PB.PB=PQ,PF=PE.1=2.四边形ABCD是正方形,BAD=90.在RtABP中,F是PB的中点,AF=12BP=FP,3=4.ADBC,EFBC,ADEF.1
8、=4.2=3.又PF=FP,APFEFP.AP=EF.又APEF,四边形AFEP是平行四边形.四边形AFEP不是菱形.理由如下:设PD=x,则AP=1-x.由(1)可知PDEQCE,CQ=PD=x.BQ=BC+CQ=1+x.点E,F分别是PQ,PB的中点,EF是PBQ的中位线.EF=12BQ=1+x2.由可知AP=EF,即1-x=1+x2,解得x=13,PD=13,AP=23.在RtPDE中,DE=12,PE=PD2+DE2=136.APPE,四边形AFEP不是菱形.7.解:(1)证明:在正方形ABCD中,AC=BD,OA=12AC,OB=OD=12BD,所以OA=OB=OD.因为ACBD,所
9、以AOB=AOD=90.所以OAD=OBA=45.所以OAM=OBN.因为EOF=AOB=90,所以AOM=BON.所以AOMBON.所以OM=ON.(2)如图,过点O作OPAB于点P,所以OPA=90,OPA=MAE.因为E为OM的中点,所以OE=ME.又因为AEM=PEO,所以AEMPEO.所以AE=EP.因为OA=OB,OPAB,所以AP=BP=12AB=2.所以EP=1.在RtOPB中,OBP=45,所以OP=PB=2.在RtOEP中,OE=OP2+PE2=5,所以OM=2OE=25.在RtOMN中,OM=ON,所以MN=2OM=210.8.解:(1)结论:DMEM,DM=EM.理由:
10、如图,延长EM,交AD于点H.四边形ABCD,四边形EFGC都是正方形,ADE=DEF=90,AD=CD.ADEF.MAH=MFE.又AM=MF,AMH=FME,AMHFME.MH=ME,AH=EF=EC.DH=DE.EDH=90,DMEM,DM=ME.(2)结论不变.DMEM,DM=EM.理由:如图,延长EM,交DA的延长线于点H.四边形ABCD,EFGC都是正方形,ADE=DEF=90,AD=CD.ADEF.MAH=MFE.又AM=MF,AMH=FME,AMHFME.MH=ME,AH=EF=EC.DH=DE.EDH=90,DMEM,DM=ME.(3)分两种情况,如图,过点M作MRDE于点R.在RtCDE中,DE=132-52=12.DM=ME,DMME,MRDE,MR=12DE=6,DR=RE=6.在RtFMR中,MF=MR2+FR2=62+112=157.如图,过点M作MRDE于点R.同理可得,MR=6,RF=RE-EF=1.在RtMRF中,FM=12+62=37.故满足条件的MF的长为37或157.