1、提分专练(二)一次函数与反比例函数的结合问题1.2019铜仁如图T2-1,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的图象与反比例函数y=-12x的图象交于A,B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.(1)求一次函数的表达式;(2)求AOB的面积;(3)写出不等式kx+b-12x的解集.图T2-12.2019太原模拟如图T2-2,平面直角坐标系中,反比例函数y=kx的图象与一次函数y=-12x-2的图象交于A(-6,m),B(n,-3)两点,点C与点B关于原点对称,过点C作x轴的垂线交直线AB于点D.(1)求反比例函数y=kx的表达式及点C的坐标;(2)求A
2、CD的面积.图T2-23.2019内江期末如图T2-3,已知一次函数y1=ax+b的图象与x轴、y轴分别交于点D,C,与反比例函数y2=kx(x0)的图象交于A,B两点,且点A的坐标是(1,3),点B的坐标是(3,m).(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)求C,D两点的坐标,并求AOB的面积;(3)根据图象直接写出:当x在什么取值范围时,y1y2?图T2-34.2019内江如图T2-4,一次函数y=mx+n(m0)的图象与反比例函数y=kx(k0)的图象交于第二、四象限内的点A(a,4)和点B(8,b).过点A作x轴的垂线,垂足为点C,AOC的面积为4.(1)分别求出a和b的值;(2)
3、结合图象直接写出mx+nk2x的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上,且SAOPSBOP=12,求点P的坐标.图T2-67.2019泰安如图T2-7,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(x0)的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且SOAB=152.(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P为x轴上一点,ABP是等腰三角形,求点P的坐标.图T2-7【参考答案】1.解:(1)一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的图象与反比例函数y=-12x的图象交于A,B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标
4、都是3,3=-12x,解得x=-4,y=-123=-4,故B(-4,3),A(3,-4).把A,B点的坐标分别代入y=kx+b,得-4k+b=3,3k+b=-4,解得k=-1,b=-1,故一次函数的表达式为y=-x-1.(2)在y=-x-1中,当y=0时,x=-1,故点C的坐标为(-1,0),则AOB的面积为1213+1214=72.(3)不等式kx+b-12x的解集为x-4或0x3.2.解:(1)将B(n,-3)代入y=-12x-2,得-3=-12n-2,解得n=2.B的坐标为(2,-3).将B(2,-3)代入y=kx,得-3=k2,解得k=-6.反比例函数y=kx的表达式为y=-6x.点C
5、与点B关于原点对称,C(-2,3).(2)将A(-6,m)代入y=-12x-2,得m=-12(-6)-2=1.A(-6,1).CDx轴,C的坐标为(-2,3),将x=-2代入y=-12x-2,得y=-1.D(-2,-1).CD=3-(-1)=4.过点A作AECD于点E,则AE=-2-(-6)=4.SACD=12CDAE=1244=8.3.解:(1)把点A(1,3)代入y2=kx,得3=k1,解得k=3,故反比例函数的解析式为y2=3x.把点B(3,m)代入y2=3x,得m=33=1,点B的坐标是(3,1).把A(1,3),B(3,1)分别代入y1=ax+b,得a+b=3,3a+b=1,解得a=
6、-1,b=4,故一次函数的表达式为y1=-x+4.(2)令x=0,则y1=4;令y1=0,则x=4.C(0,4),D(4,0),SAOB=SAOD-SBOD=1243-1241=4.(3)当x满足1xy2.4.解:(1)点A(a,4),AC=4.SAOC=4,即12OCAC=4,OC=2.点A(a,4)在第二象限,a=-2,A(-2,4).将A(-2,4)代入y=kx得k=-8,反比例函数的关系式为y=-8x,把B(8,b)代入得:b=-1,B(8,-1),a=-2,b=-1.(2)由图象可以看出mx+nkx的解集为:-2x8.(3)如图,作点B关于x轴的对称点B,直线AB与x轴交于P,此时P
7、A-PB最大.B(8,-1),B(8,1).设直线AP的关系式为y=k1x+b1,将A(-2,4),B(8,1)分别代入得-2k1+b1=4,8k1+b1=1,解得k1=-310,b1=175,直线AP的解析式为y=-310x+175.当y=0时,-310x+175=0,解得x=343,P343,0.5.解:(1)反比例函数y=mx(m0)的图象经过点(1,4),4=m1.解得m=4.故反比例函数的表达式为y=4x.Q(-4,n)在反比例函数的图象上,n=4-4=-1.Q(-4,-1).一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4,-1),-1=4+b.解得b=-5.一次函数的表达式为y=-x-5.
8、(2)由题意,可得y=4x,y=-x-5.解得x=-4,y=-1或x=-1,y=-4.P(-1,-4).在一次函数y=-x-5中,令y=0,得-x-5=0,解得x=-5.故A(-5,0).SOPQ=SOPA-SOAQ=1254-1251=7.5.6.解:(1)x-1或0x4.(2)把A(-1,4)的坐标代入y=k2x,得k2=-4.y=-4x.点B(4,n)在反比例函数y=-4x的图象上,n=-1.B(4,-1).把A(-1,4),B(4,-1)分别代入y=k1x+b,得-k1+b=4,4k1+b=-1,解得k1=-1,b=3.y=-x+3.(3)如图,设直线AB与y轴交于点C.点C在直线y=
9、-x+3上,C(0,3).SAOB=12OC(|xA|+|xB|)=123(1+4)=7.5.又SAOPSBOP=12,SAOP=137.5=2.5,SBOP=5.又SAOC=1231=1.5,1.50)的图象上,3=m9,解得m=27,反比例函数的表达式为y=27x.点A(9,3),B(5,0)在一次函数y=kx+b的图象上,3=9k+b,0=5k+b,解得k=34,b=-154,一次函数的表达式为y=34x-154.(2)设点P(x,0),A(9,3),B(5,0),AB2=25,AP2=(9-x)2+32=x2-18x+90,BP2=(5-x)2=x2-10x+25.根据等腰三角形中有两边相等,分类讨论:令AB2=AP2,得25=x2-18x+90,解得x1=5,x2=13.当x=5时,点P与点B重合,故舍去,P1(13,0).令AB2=BP2,得25=x2-10x+25,解得x1=0,x2=10.故P2(0,0),P3(10,0).令AP2=BP2,得x2-18x+90=x2-10x+25,解得:x=658,P4658,0.综上所述,使ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4658,0.