1、提分专练(四)切线的证明|类型1|见切点,连半径,证垂直(1)利用等角代换判定1.2019镇江 如图T4-1,在ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作ODAO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.(1)求证:直线AB与O相切;(2)若AB=5,O的半径为12,则tanBDO=.图T4-12.2019黄石 如图T4-2,AB是O的直径,点D在AB的延长线上,C,E是O上的两点,CE=CB,BCD=CAE,延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证:CD是O的切线;(2)求证:CE=CF;(3)若BD=1,CD=2,求弦AC的长.图T4-2 (2)利用平行线判定3.201
2、9赤峰 如图T4-3,AB为O的直径,C,D是半圆AB的三等分点,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E.(1)求证:CE是O的切线;(2)若O的半径为2,求图中阴影部分的面积.图T4-3(3)利用三角形全等或相似判定4.2019郴州 如图T4-4,已知AB是O的直径,CD与O相切于点D,且ADOC.(1)求证:BC是O的切线;(2)延长CO交O于点E.若CEB=30,O的半径为2,求BD的长.(结果保留)图T4-4|类型2|无切点,作垂直,证半径利用角平分线性质5.如图T4-5,在ABC中,AB=AC,AOBC于点O,OEAB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:
3、AC是O的切线;(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.图T4-5【参考答案】1.解:(1)证明:连接OB,如图所示.AB=AC,ABC=ACB.ACB=OCD,ABC=OCD.ODAO,COD=90,D+OCD=90.OB=OD,OBD=D,OBD+ABC=90,即ABO=90,ABOB,点B在O上,直线AB与O相切.(2)ABO=90,OA=AB2+OB2=52+122=13,AC=AB=5,OC=OA-AC=8,tanBDO=OCOD=812=23.故答案为:23.2.解:(1)证明
4、:连接OC,AB是O的直径,ACB=90,CAD+ABC=90,CE=CB,CAE=CAB,BCD=CAE,CAB=BCD,OB=OC,OBC=OCB,OCB+BCD=90,OCD=90,OC是O的半径,CD是O的切线.(2)证明:BAC=CAE,AC=AC,ACB=ACF=90,ABCAFC(ASA),CB=CF,又CB=CE,CE=CF.(3)BCD=CAD,ADC=CDB,ACDCBD,CDBD=ADCD=ACBC,21=AD2,AD=2,AB=AD-BD=2-1=1,设BC=a,则AC=2a,在RtABC中,由勾股定理可得:a2+(2a)2=12,解得:a=33(负值已舍),AC=63
5、.3.解:(1)证明:连接OC,点C,D为半圆O的三等分点,AD=CD=BC,BOC=EAB,OCAD.CEAD,CEOC,CE为O的切线.(2)连接OD,AD=CD=BC,COD=13180=60.CDAB,SACD=SCOD,图中阴影部分的面积=S扇形COD=6022360=23.4.解:(1)证明:连接OD,如图所示.ADOC,COD=ADO,COB=DAO,OA=OD,ADO=DAO,COD=COB.在COD和COB中,OD=OB,COD=COB,OC=OC,CODCOB,CDO=CBO,又CD与O相切于点D,CDO=90,CBO=90,BC是O的切线.(2)CEB=30,COB=60
6、,由(1)知,COD=COB,COD=60,DOB=COD+COB=120.O的半径为2,BD的长=1202180=43.5.解:(1)证明:作OHAC于H,如图,AB=AC,AOBC于点O,AO平分BAC,OEAB,OHAC,OH=OE,AC是O的切线.(2)点F是AO的中点,AO=2OF=6,OE=3,OAE=30,AOE=60,AE=3OE=33,图中阴影部分的面积=SAOE-S扇形EOF=12333-6032360=93-32.(3)3解析 作F点关于BC的对称点F,连接EF交BC于P,如图,PF=PF,PE+PF=PE+PF=EF,此时EP+FP最小.OF=OF=OE,F=OEF,AOE=F+OEF=60,F=30,F=EAF,EF=EA=33,即PE+PF最小值为33.在RtOPF中,OP=33OF=3,在RtABO中,OB=33OA=336=23,BP=23-3=3,即当PE+PF取最小值时,BP的长为3.