1、提分专练(五)轨迹与最值问题|类型1|直线形轨迹问题1.2019泰安如图T5-1,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是()图T5-1A.2B.4C.2D.222.如图T5-2,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8.点E在AD边上,且AE=2.动点P从点A出发,沿AB运动到点B停止.过点E作EFPE交射线BC于点F.设M是线段EF的中点.则在点P运动的整个过程中,点M运动路线的长为.图T5-23.如图T5-3,在等边三角形ABC中,BC=6,D,E是BC边上的两点,且BD=CE=1,P是线段DE上一动点,过点P分别作AC,
2、AB的平行线交AB,AC于点M,N,连接MN,AP交于点G,则点P由点D移动到点E的过程中,线段BG扫过的区域面积为.图T5-34.如图T5-4,在平面内,线段AB=6,P为线段AB上的动点,三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点B,则点E运动的路径长为.图T5-45.2019宿迁 如图T5-5,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为.图T5-56.2019徐州树人中学一模改编如图T5-6,ABC是边长为4的等边三
3、角形,D是BC上一动点(与点B,C不重合),以AD为一边向右侧作等边三角形ADE,H是AC的中点,求线段HE长度的最小值.图T5-67.如图T5-7,边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60得PC.(1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为;(2)在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标;(3)在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的
4、路径长.图T5-7|类型2|圆弧形轨迹问题8.如图T5-8,在RtABC纸片中,C=90,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点D(P在C点时,点C的对应点是本身),则折叠过程对应点D的路径长是.图T5-89.如图T5-9,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A处并且AC=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为米.图T5-910.如图T5-10,平行四边形ABCD中,BCD=30,BC=4,CD=33,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,连接AC,则AC长度的最小值为.图T5-1011.如图T5-
5、11,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(7,3),点E在边AB上,且AE=1,已知点P为y轴上一动点,连接EP,过点O作直线EP的垂线段,垂足为点H,在点P从点F0,254运动到原点O的过程中,点H的运动路径长为.图T5-11【参考答案】1.D解析 如图,F为EC上一动点,P为DF中点,点P的运动轨迹为DEC的中位线MN,MNEC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BMCE,易证BMMN,故当点P与点M重合,点F与点C重合时,BP取到最小值,如图,在RtBCP中,BP=BC2+CP2=22.2.9解析 如图,过点M作GHAD,交AD于G点,交BC于H点.
6、ADCB,GHAD,GHBC.在EGM和FHM中, MGE=MHF=90,GME=HMF,EM=FM,EGMFHM.MG=MH.点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段.当点P与A重合时,BF1=AE=2,当点P与点B重合时,F2+EBF1=90,BEF1+EBF1=90,F2=BEF1,EF1B=EF1F2,EF1BF2F1E.BF1EF1=EF1F1F2,即26=6F1F2,F1F2=18.M1M2是EF1F2的中位线,M1M2=12F1F2=9.故答案为9.3.332解析 PMAC,PNAB,四边形AMPN是平行四边形,MN与AP相交于点G,G是AP的中点,如图,点G的运动路线是AP1P2的
7、中位线,BC=6,BD=CE=1,G1G2=6-1-12=2,BC=6,BG1G2的底边G1G2上的高=12632=332,线段BG扫过的区域面积=122332=332.故答案为332.4.62解析 如图,由题意可知点C运动的路径为线段AC,点E运动的路径为EE,由平移的性质可知AC=EE,在RtABC中,易知AB=BC=6,ABC=90,EE=AC=62+62=62,故答案为62.5.52解析 由题意可知,点F是主动点,点G是从动点,点F在线段上运动,点G也一定在直线轨迹上运动.将EFB绕点E顺时针旋转60,使EF与EG重合,得到EFBEGH,连接BH.从而可知EBH为等边三角形,延长HG交
8、CD于N.作CMHN,则CM即为CG的最小值,作EPCM,可知四边形HEPM为矩形,则CM=MP+CP=HE+12EC=1+32=52.故答案为52.6.解:连接CE,如图,ABC是边长为4的等边三角形,ADE是等边三角形,AB=AC,AD=AE,BAC=ABC=DAE=60,BAC-DAC=DAE-DAC,BAD=CAE.在BAD和CAE中, AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,BADCAE(SAS),ACE=ABD=60,点E在与CA夹角为60的射线上运动,根据垂线段最短,得当HECE时,线段HE的长度最小,此时sinACE=HECH,H是AC的中点,AC=4,CH=12AC=2,HE
9、=CHsin60=232=3.线段HE长度的最小值是3.7.解:(1)72,32解析 如图,过点C作CDx轴于点D,AOB是等边三角形,P是OA的中点,P(2,0),BP=OBsin60=432=23,E是BP的中点,PE=3,PE=PC=3,BPC=60,CPA=30,PD=PCcos30=332=32,CD=PCsin30=312=32,OD=OP+PD=2+32=72,C72,32.(2)如图,过点P作PFOB于点F,过C作CDPA于点D.在RtOPF中,PF=OPsin60=32t,OBP+OPB=CPD+OPB=120,FBP=CPD,PFB=CDP=90,BPFPCD,CD=12F
10、P=34t,PD=12BF=2-14t,点C的坐标是2+34t,34t.(3)如图,取OA的中点M,连接MC,由(2)得CD=34t,MD=34t.tanCMD=34t34t=33,CMD=30.点C在直线MC上运动.当点P在点O时,点C与点M重合.当点P运动到点A时,点C的坐标为(5,3),点C所经过的路径长为23.8.2解析 C=90,AC=BC,ABC是等腰直角三角形,如图,点D的路径为以点B为圆心,以BC的长为半径的弧,路径长=904180=2.故答案为2.9.6解析 连接CP,CP.ACB=90,BC=1米,AB=2米,BAC=30,P是木棒AB的中点,PC=PA=1米,PCA=30
11、,同理求出BCP=30,则PCP=30,木棒AB的中点P运动的路径长为301180=6(米).故答案为6.10.5解析 如图,连接MC,过点M作MECD,交CD的延长线于点E.四边形ABCD为平行四边形,ADBC,AD=BC=4,点M为AD的中点,BCD=30,DM=MA=2,MDE=BCD=30,ME=12DM=1,DE=3,CE=CD+DE=43,由勾股定理得:CM2=ME2+CE2,CM=7.由翻折变换的性质得:MA=MA=2,显然,当M,A,C三点共线时,线段AC的长度最短,此时AC=7-2=5,故答案为5.11.524解析 连接OE,当点P与点F重合时,SOPE=122547=1758,在RtOEA中,OE=OA2+AE2=72+12=50=52,PE=(254-1)2+72=354,SOPE=12PEOH,即12354OH=1758,OH=5,在RtOEH中,sinOEH=OHOE=552=22,OEH=45,点H的运动路径长是90522180=524.故答案是524.