1、提分专练(二)反比例函数与一次函数、几何综合|类型1|反比例函数与一次函数结合1.2019西藏 已知点A是直线y=2x与双曲线y=m+1x(m为常数)一支的交点,过点A作x轴的垂线,垂足为B,且OB=2,则m的值为()A.-7B.-8C.8D.72.2019沈阳 如图T2-1,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x(x0)的图象相交于点A(3,23),点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,连接OB,AB,则AOB的面积是.图T2-13.2019内江 如图T2-2,一次函数y=mx+n(m0)的图象与反比例函数y=kx(k0)的图象交于第二、四象限内的点A(a,4)和点B(8
2、,b).过点A作x轴的垂线,垂足为点C,AOC的面积为4.(1)分别求出a和b的值;(2)结合图象直接写出mx+n0)的图象分别与AD,CD交于点M,N,点N的坐标是(3,n),连接OM,MC.(1)求反比例函数的解析式;(2)求证:OMC是等腰三角形.图T2-6|类型3|反比例函数与一次函数的应用和创新8.2018徐州一模某化工车间发生有害气体泄漏,自泄漏开始到完全控制用了40 min,之后将对泄漏的有害气体进行清理,线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0x40),反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间内危险检测表显示数据y与时间
3、x(min)之间的函数关系(40x?).根据图象解答下列问题:(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是;(2)求反比例函数y=kx的表达式,并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值.图T2-79.2019绵阳如图T2-8,一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=m2-3mx(m0且m3)的图象在第一象限交于点A,B,且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为E,D.已知A(4,1), CE=4CD.(1)求m的值和反比例函数的解析式;(2)若点M为一次函数图象上的动点,求OM长度的最小值.图T2-8【参考答案】1.D解析根据题意,可
4、知点A的横坐标是2或-2,由点A在正比例函数y=2x的图象上,点A的坐标为(2,4)或(-2,-4),又点A在反比例函数y=m+1x(m为常数)的图象上,m+1=8,即m=7.故选D.2.23解析正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x(x0)的图象相交于点A(3,23),23=3k1,23=k23,k1=2,k2=6,正比例函数为y=2x,反比例函数为:y=6x.点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,y=63=2,B(3,2),作BDx轴交OA于D,D(1,2),BD=3-1=2.SAOB=SABD+SOBD=122(23-2)+1222=23,故答案为23.3.解:(1)
5、点A(a,4),AC=4.SAOC=4,12OCAC=4,OC=2.点A(a,4)在第二象限,a=-2,A(-2,4),将A(-2,4)代入y=kx得:k=-8,反比例函数的关系式为:y=-8x.把B(8,b)代入y=-8x得:b=-1,B(8,-1),因此a=-2,b=-1.(2)由图象可得mx+nkx的解集为:-2x8.(3)如图,作点B关于x轴的对称点B,直线AB与x轴交于P,此时PA-PB最大,B(8,-1),B(8,1).设直线AP的关系式为y=kx+b,将A(-2,4),B(8,1)代入得:-2k+b=4,8k+b=1,解得:k=-310,b=175,直线AP的关系式为y=-310
6、x+175,当y=0,即-310x+175=0时,解得x=343,P343,0.4.D解析过点C作CEx轴于点E,顶点C的坐标为(m,33),OE=-m,CE=33,菱形ABOC中,BOC=60,OB=OC=CEsin60=6,BOD=12BOC=30,DBx轴,DB=OBtan30=633=23,点D的坐标为(-6,23),反比例函数y=kx的图象与菱形对角线AO交于D点,k=xy=-123.故选D.5.D解析如图,过点A作ADy轴于D,过点C作CEy轴于E,AMx轴,CNx轴,OBMN,AMO=DOM=ADO=CNO=EON=CEO=90,四边形ONCE和四边形OMAD是矩形,ON=CE,
7、OM=AD.OB是OABC的对角线,BOCOBA,SBOC=SOBA.SBOC=12OBCE,SBOA=12OBAD,CE=AD,ON=OM,故正确.在RtCON和RtAOM中,ON=OM,四边形OABC是平行四边形,OA与OC不一定相等,CON与AOM不一定全等,故错误.第二象限的点C在双曲线y=k2x上,SCON=12|k2|=-12k2.第一象限的点A在双曲线y=k1x上,SAOM=12|k1|=12k1,S阴影=SCON+SAOM=-12k2+12k1=12(k1-k2),故错误.连接AC,四边形OABC是菱形,AC与OB互相垂直平分,易得点A和点C的纵坐标相等,点A与点C的横坐标互为
8、相反数,点A与点C关于y轴对称,则过点A,C的曲线关于y轴对称.故正确,正确的有,故选D.6.24解析连接OC,过F作FMAB于M,延长MF交CD于N.设BE=a,FM=b,由题意知OB=BE=a,OA=2a,DC=3a.因为四边形ABCD为平行四边形,所以DCAB,所以BEFCDF,所以BECD=EFDF=13,所以NF=3b,OD=MN=FM+FN=4b.因为SBEF=1,即12ab=1,SCDO=12CDOD=123a4b=6ab=12,所以k=xy=2SCDO=24.7.解:(1)四边形ABCD是菱形,ADBC,AB=AD=BC=5.在RtAOB中,sinABC=OAAB=OA5=45
9、,OA=4,根据勾股定理,得OB=3,OC=BC-OB=2,C(2,0).AD=5,OA=4,ADx轴,D(5,4),直线CD的解析式为y=43x-83.点N的坐标是(3,n),n=433-83=43,N3,43.点N在反比例函数y=kx(x0)的图象上,k=343=4,反比例函数的解析式为y=4x.(2)证明:由(1)知,反比例函数的解析式为y=4x,点M在AD上,点M的纵坐标为4,点M的横坐标为1,M(1,4).OM=12+42=17,CM=(1-2)2+42=17,OM=CM,OMC是等腰三角形.8.解:(1)20解析设当0x40时,y与x之间的函数关系式为y=ax+b,由题意得10a+
10、b=35,30a+b=65,解得a=1.5,b=20.y=1.5x+20,当x=0时,y=1.50+20=20,故答案为:20.(2)将x=40代入y=1.5x+20,得y=80,点E(40,80),点E在反比例函数y=kx的图象上,80=k40,得k=3200,即反比例函数解析式为y=3200x,当y=20时,20=3200x,得x=160,即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160.9.解:(1)将点A(4,1)的坐标代入y=m2-3mx,得m2-3m=4,解得m1=4,m2=-1,m的值为4或-1时,m2-3m=4,反比例函数的解析式为y=4x.(2)BDy轴,AEy轴,CDB=CEA=90.BCD=ACE,CDBCEA,CDCE=BDAE.CE=4CD,AE=4BD,A(4,1),AE=4,BD=1,xB=1,yB=41=4,B(1,4).将A(4,1),B(1,4)的坐标代入y=kx+b,得4k+b=1,k+b=4,解得k=-1,b=5,y=-x+5.设直线AB与x轴交点为F,当x=0时,y=5;当y=0时,x=5,C(0,5),F(5,0),则OC=OF=5,OCF为等腰直角三角形,CF=52,由垂线段最短可知,当OM垂直CF于M时,OM有最小值,OM长度的最小值=12CF=522.