1、提分专练(四)方程、不等式与函数的综合|类型1|函数与方程1.2019云南已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.2.2018上海一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图T4-1所示.(1)求y关于x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围);(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米
2、的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?图T4-13.2019威海在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:x-10123y甲63236乙写错了常数项,列表如下:x-10123y乙-2-12714通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.4.2019泰州如图T4-2,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐
3、标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tanABC.图T4-2|类型2|函数与不等式5.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴.(1)求此函数的解析式,并作出它的示意图;(2)当0x0(a0)的解集.图T4-36.2018枣庄如图T4-4,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=nx(n为常数,且n0)的图象在第二象限交于点C,CDx轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.(1)求一次函数与
4、反比例函数的解析式;(2)记两函数图象的另一个交点为E,求CDE的面积;(3)直接写出不等式kx+bnx的解集.图T4-47.2019温州如图T4-5,在平面直角坐标系中,二次函数y=-12x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m0,n0,求m,n的值.图T4-58.如图T4-6,抛物线y1=ax2+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P
5、在抛物线上,过P(1,-3),B(4,0)两点作直线y2=kx+b.(1)求a,c的值.(2)根据图象直接写出y1y2时,x的取值范围.(3)在抛物线上是否存在点M,使得SABP=5SABM?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图T4-6【参考答案】1.解:(1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,x=-k2+k-62=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.当k=2时,抛物线解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意,舍去;当k=-3时,抛物线解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,k=-3.(2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2
6、.当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).2.解:(1)设一次函数的关系式是y=kx+b,由图象知,点(0,60)与点(150,45)在一次函数图象上,将其坐标代入函数关系式,得b=60,150k+b=45,解之,得b=60,k=-110,故y=-110x+60.(2)当y=8时,-110x+60=8,解之,得x=520.30-(520-500)=10(千米).汽车开始提示加油时,离加油站的路程是10千米.3.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax2+bx+
7、3,得a-b+3=6,a+b+3=2,解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,得1-b+c=-2,1+b+c=2,解得b=2是正确的,y=x2+2x+3.(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,二次项系数为1,故抛物线开口向上,当x-1时,y的值随x值的增大而增大.故答案为-1.(3)方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,=4-4(3-k)0,解得k2.4.解:(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),所以设该二次函数表达式为y=a(x-4)2-3,
8、因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入y=a(x-4)2-3,解得a=13,所以y=13(x-4)2-3.(2)在抛物线中,令x=0,得y=73,所以C0,73,OC=73,令y=0,得x1=1,x2=7,所以B(7,0),OB=7,所以在RtOBC中,tanABC=OCOB=13.5.解:(1)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴,-b2a=1,16a+4b+c=0,4a+2b+c=8,解得a=-1,b=2,c=8,二次函数的解析式为y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,抛物线与x轴的交点为(-2,0)
9、,(4,0),顶点坐标为(1,9),二次函数的图象如图所示.(2)由图可知,当0x4时,00(a0)的解集为-2x4.6.解:(1)OB=2OA=3OD=12,OA=6,OB=12,OD=4,A(6,0),B(0,12),D(-4,0),把点A,点B的坐标代入y=kx+b得0=6k+b,b=12,k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.点C与点D的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C的纵坐标为20,即C(-4,20),20=n-4,n=-80,反比例函数的解析式为y=-80x.(2)由y=-2x+12和y=-80x得-2x+12=-80x,解得x1=-4,x2=10,E(10,-8),CDE的面积为1220(10+4)=140.(3)由图象可得-4x4或x1.(3)在抛物线上存在点M,使得SABP=5SABM,理由是:抛物线的解析式是y=15x2-165.设M点的纵坐标为e,P(1,-3),由SABP=5SABM得:12AB|-3|=512AB|e|,解得|e|=35,所以e=35.当e=35时,15x2-165=35,解得x=19,当e=-35时,15x2-165=-35,解得x=13,即M点的坐标是19,35,-19,35,13,-35,-13,-35.