1、提分专练(五)几何中的计算问题|类型1|与面积相关的计算1.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为()A.5B.3C.1.2D.2.42.等腰三角形的腰长是13,底边长是10,则腰上的高等于.3.等边三角形的边长为6,内部任意一点O到三边的距离之和为.4.如图T5-1,ABC中,C=90,AC=8,BC=6,角平分线AD,BE相交于点O,点O到AB边的距离为.图T5-15.如图T5-2,在菱形ABCD中,AE是菱形的高,若对角线AC,BD的长分别是12,16,则AE的长是.图T5-26.如图T5-3,在ABC中,CEEB=12,DEAC,若ABC的面积为S,则ADE的面积为.图
2、T5-37.如图T5-4,等腰三角形ABC的底边BC上的高AD等于18 cm,腰AC上的中线BM等于15 cm,则这个等腰三角形的面积等于.图T5-48.2015盐城设ABC的面积为1,如图T5-5,将边BC,AC分别2等分,BE1,AD1相交于点O,AOB的面积记为S1;如图,将边BC,AC分别3等分,BE1,AD1相交于点O,AOB的面积记为S2;以此类推,则Sn可表示为.(用含n的代数式表示,其中n为正整数)图T5-5|类型2|借助全等求线段长9.如图T5-6,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PEAC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于D,则DE的
3、长为()图T5-6A.12B.13C.23D.2510.2018南京如图T5-7,ABCD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CEAD,BFAD,若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()图T5-7A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c11.2018临沂如图T5-8,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是()图T5-8A.32B.2C.22D.10|类型3|借助勾股定理求线段长12.2018贺州如图T5-9,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为()图T5-9A.3
4、2B.33C.6D.6213.2018绵阳如图T5-10,在ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于O点,则AB=.图T5-1014.2018襄阳已知CD是ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为.|类型4|借助相似求线段长15.2018永州如图T5-11,在ABC中,点D是边AB上的一点,ADC=ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为()图T5-11A.2B.4C.6D.816.2018恩施州如图T5-12所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线
5、段AE的长度为()图T5-12A.6B.8C.10D.1217.2018阜新如图T5-13,在矩形ABCD中,点E为AD中点,BD和CE相交于点F,如果DF=2,那么线段BF的长度为.图T5-1318.2018南充如图T5-14,在ABC中,DEBC,BF平分ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=.图T5-1419.2018上海如图T5-15,已知正方形DEFG的顶点D,E在ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上.如果BC=4,ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是.图T5-1520.2018泰州如图T5-16,ABC中,ACB=90,sinA=51
6、3,AC=12,将ABC绕点C顺时针旋转90得到ABC,P为线段AB上的动点,以点P为圆心,PA长为半径作P,当P与ABC的边相切时,P的半径为.图T5-16|类型5|借助三角函数求线段长21.2018贺州如图T5-17,AB是O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sinCDB=35,BD=5,则AH的长为()图T5-17A.253B.163C.256D.8322.2018包头如图T5-18,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的长为()图T5-18A.25 3B.23 3C.34 3D.45 323.2
7、018陕西如图T5-19,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()图T5-19A.43 2B.22C.83 2D.3224.2018沈阳如图T5-20,ABC是等边三角形,AB=7,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH,CH.当BHD=60,AHC=90时,DH=.图T5-2025.2016盐城如图T5-21,已知菱形ABCD的边长为2,A=60,点E,F分别在边AB,AD上,若将AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.图T5-21【参考答案】1.D2.120133.334.25.9.
8、66.29S解析设CE=k,CEEB=12,EB=2k,DEAC,BEBC=2k3k=23,SBDES=232,SBDE=49S.DEAC,ADBD=CEBE=12,SADESBDE=ADBD=12,则SADE=12SBDE=29S.7.144 cm2解析作MNBC于N,AM=MC,ADBC,MN=12AD=9,在RtBMN中,BM=15,MN=9,BN=12,而BD=DC=2DN,3DN=12,DN=4,BC=16,SABC=12ADBC=121816=144(cm2).8.12n+19.A解析过P作PFBC交AC于F,如图所示.PFBC,ABC是等边三角形,PFD=QCD,APF是等边三角
9、形,AP=PF=AF,PEAC,AE=EF.AP=PF,AP=CQ,PF=CQ.在PFD和QCD中,PFD=QCD,PDF=QDC,PF=CQ,PFDQCD(AAS),FD=CD,AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=12AC,AC=1,DE=12.故选A.10.D解析ABCD,CEAD,BFAD,AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90,A=C,AB=CD,ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b,EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c,故选D.11.B解析BECE,ADCE,E=ADC=90,EBC+BCE=90,BCE+ACD=90,EBC=D
10、CA,在CEB和ADC中,E=ADC,EBC=DCA,BC=AC,CEBADC(AAS),BE=DC=1,CE=AD=3.DE=EC-CD=3-1=2.故选B.12.D解析AD=ED=3,ADBC,ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得:AE=32+32=32,RtABC中,E为BC的中点,AE=12BC,则BC=2AE=62,故选D.13.5解析AD,BE分别为BC,AC边上的中线,BD=12BC=2,AE=12AC=32,点O为ABC的重心,AO=2OD,OB=2OE,BEAD,BO2+OD2=BD2=4,OE2+AO2=AE2=94,BO2+14AO2=4,14BO2+AO2=94,54
11、BO2+54AO2=254,BO2+AO2=5,AB=BO2+AO2=5.故答案为5.14.23或27解析分两种情况:当ABC是锐角三角形时,如图,CDAB,CDA=90,CD=3,AD=1,AC=2,AB=2AC,AB=4,BD=4-1=3,BC=CD2+BD2=32+(3)2=23;当ABC是钝角三角形时,如图,同理得:AC=2,AB=4,BD=4+1=5.BC=CD2+BD2=(3)2+52=27.综上所述,BC的长为23或27.故答案为:23或27.15.B解析A=A,ADC=ACB,ADCACB,ACAB=ADAC,AC2=ADAB=28=16,AC0,AC=4,故选B.16.D解析
12、四边形ABCD为正方形,AB=CD,ABCD,ABF=GDF,BAF=DGF,ABFGDF,AFGF=ABGD=2,AF=2GF=4,AG=6.CGAB,AB=2CG,AG=GE=6,AE=12.故选:D.17.4解析四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,DEFBCF,DFBF=DEBC,点E为AD中点,DE=12AD,DE=12BC,DFBF=12,BF=2DF=4.18.23解析DEBC,F=FBC,BF平分ABC,DBF=FBC,F=DBF,DB=DF,DEBC,ADEABC,ADAD+DB=DEBC,即11+2=DE4,解得:DE=43,DF=DB=2,EF=DF-DE=2-43
13、=23.19.127解析作AHBC于H,交GF于M,如图,ABC的面积是6,12BCAH=6,AH=264=3.设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3-x,GFBC,AGFABC,GFBC=AMAH,即x4=3-x3,解得x=127,即正方形DEFG的边长为127.故答案为127.20.15625或10213解析由sinA=513,AC=12可知BC=5,AB=13.如图中,当P与直线AC相切于点Q时,连接PQ.设PQ=PA=r,PQCA,PQCA=PBAB,r12=13-r13,r=15625.如图中,当P与AB相切于点T时,易证A,B,T共线,易得ABTABC,ATAC
14、=ABAB,AT12=1713,AT=20413,r=12AT=10213.综上所述,P的半径为15625或10213.21.B解析连接OD,如图所示.AB是O的直径,且经过弦CD的中点H,ABCD,OHD=BHD=90,sinCDB=35,BD=5,BH=3,DH=BD2-BH2=4,设OH=x,则OD=OB=x+3,在RtODH中,由勾股定理得:x2+42=(x+3)2,解得:x=76,OH=76,AH=OA+OH=76+76+3=163,故选B.22.D解析如图,在RtBDC中,BC=4,DBC=30,BD=23,连接DE,BDC=90,点E是BC中点,DE=BE=CE=12BC=2,D
15、BC=30,BDE=DBC=30,BD平分ABC,ABD=DBC,ABD=BDE,DEAB,DEFBAF,DFBF=DEAB,在RtABD中,ABD=30,BD=23,AB=3,DFBF=23,DFBD=25,DF=25BD=2523=435,故选D.23.C解析ADBC,ADC=ADB=90.在RtADC中,AC=8,C=45,AD=22AC=42.在RtADB中,AD=42,ABD=60,BD=33AD=463.BE平分ABC,EBD=30.在RtEBD中,BD=463,EBD=30,DE=33BD=423,AE=AD-DE=823.故选C.24.13解析作AEBH交BH的延长线于E,BF
16、AH交AH的延长线于F,如图,ABC是等边三角形,AB=AC,BAC=60,BHD=ABH+BAH=60,BAH+CAH=60,ABH=CAH.在ABE和CAH中,AEB=AHC,ABE=CAH,AB=CA,ABECAH,BE=AH,AE=CH.在RtAHE中,AHE=BHD=60,sinAHE=AEAH,HE=12AH,AE=AHsin60=32AH,CH=32AH,在RtAHC中,AH2+32AH2=AC2=(7)2,解得AH=2,BE=2,HE=1,AE=CH=3,BH=BE-HE=2-1=1,在RtBFH中,HF=12BH=12,BF=32,BFCH,CHDBFD,HDFD=CHBF=
17、332=2,DH=23HF=2312=13.故答案为13.25.72120解析延长CD,过点F作FMCD于点M,连接GB,BD,延长MF交AB于H点,易知MHAB,如图所示,A=60,四边形ABCD是菱形,MDF=60,MFD=30,设MD=x,则DF=2x,FM=3x,FG=FA=2-2x.DG=1,MG=x+1,在RtMFG中,MG2+MF2=FG2,即(x+1)2+(3x)2=(2-2x)2,解得:x=0.3,DF=0.6,AF=1.4,AH=12AF=710,FH=AFsinA=1.432=7310,CD=BC,BCD=60,DCB是等边三角形,G是CD的中点,BGCD,GBE=90.BC=2,GC=1,BG=3,设BE=y,则GE=AE=2-y,(3)2+y2=(2-y)2,解得:y=14,AE=74,EH=AE-AH=74-710=2120,EF=EH2+FH2=(2120)2+(7310)2=72120.故答案为:72120.