1、提分专练(三)反比例函数综合问题|类型1|反比例函数与几何图形的面积问题1.2019龙东地区改编如图T3-1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=1x(x0)的图象上,顶点B在反比例函数y=5x(x0)的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是.图T3-12.2019衢州如图T3-2,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC交于点F.若y=kx(k0)的图象经过点C.且SBEF=1,则k的值为.图T
2、3-23.2019兰州 如图T3-3,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=kx(k0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.(1)求反比例函数y=kx(k0)的表达式;(2)若四边形ACBO的面积是33,求点A的坐标.图T3-3|类型2|反比例函数与一次函数的综合问题4.2018贵港 如图T3-4,已知反比例函数y=kx(x0)的图象与一次函数y=-12x+4的图象交于A和B(6,n)两点.(1)求k和n的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=kx(x0)的图象上,求当2x6时,函数值y的取值范围.图T3-45.2019岳阳 如图T3-5
3、,双曲线y=mx经过点P(2,1),且与直线y=kx-4(kk2x的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上,且SAOPSBOP=12,求点P的坐标.图T3-78.2019广州 如图T3-8,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),ABx轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n-3x的图象相交于A,P两点.(1)求m,n的值与点A的坐标;(2)求证:CPDAEO; (3)求sinCDB的值. 图T3-89.2019自贡 如图T3-9,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k0)的图象与反比例函数y2=mx(m0)的
4、图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点,与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大,求PB-PC的最大值及点P的坐标;(3)直接写出当y1y2时,x的取值范围.图T3-9【参考答案】1.4解析设A(a,b),B(a+m,b),依题意得b=1a,b=5a+m,1a=5a+m,化简得m=4a.b=1a,ab=1,S平行四边形OABC=mb=4ab=41=4.2.24解析连接OC,过F作FMAB于M,延长MF交CD于N.设BE=a,FM=b,由题意知OB=BE=a,OA=2a,DC=3a.因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC
5、AB,所以BEFCDF,所以BECD=EFDF=13,所以NF=3b,OD=MN=FM+FN=4b.因为SBEF=1,即12ab=1,SCDO=12CDOD=123a4b=6ab=12,所以k=xy=2SCDO=24.3.解:(1)作BDOC于D,BOC是等边三角形,OB=OC=2,OD=12OC=1,BD=OB2-OD2=3,SOBD=12ODBD=32,又SOBD=12|k|,|k|=3,反比例函数y=kx(k0)的图象在第一、三象限,k=3,反比例函数的表达式为y=3x.(2)SOBC=12OCBD=1223=3,SAOC=33-3=23.SAOC=12OCyA=23,yA=23.把y=
6、23代入y=3x,得x=12, 点A的坐标为12,23.4.解:(1)把B(6,n)代入一次函数y=-12x+4中,可得n=-126+4=1,所以B点的坐标为(6,1).又B在反比例函数y=kx(x0)的图象上,所以k=xy=16=6,所以k的值为6,n的值为1.(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=6x.当x=2时,y=62=3;当x=6时,y=66=1,由函数图象可知,当2x6时函数值y的取值范围是1y3.5.解:(1)把P(2,1)的坐标代入y=mx,得:1=m2,m=2.(2)由(1)可知反比例函数解析式为y=2x,2x=kx-4,整理得:kx2-4x-2=0,双曲线与直线有两个不同
7、的交点,0,即(-4)2-4k(-2)0,解得:k-2.又k0,k的取值范围为-2k0.6.解:(1)反比例函数y=mx(m0)的图象经过点(1,4),4=m1,解得m=4,故反比例函数的表达式为y=4x.Q(-4,n)在反比例函数的图象上,n=4-4=-1,Q(-4,-1).一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4,-1),-1=4+b,解得b=-5,一次函数的表达式为y=-x-5.(2)由题意可得:y=4x,y=-x-5,解得x=-4,y=-1或x=-1,y=-4,P(-1,-4).在一次函数y=-x-5中,令y=0,得-x-5=0,解得x=-5,故A(-5,0).SOPQ=SOPA-SOA
8、Q=1254-1251=7.5.7.解:(1)x-1或0x4.(2)把A(-1,4)的坐标代入y=k2x,得k2=-4.y=-4x.点B(4,n)在反比例函数y=-4x的图象上,n=-1.B(4,-1).把A(-1,4),B(4,-1)的坐标代入y=k1x+b,得-k1+b=4,4k1+b=-1,解得k1=-1,b=3.y=-x+3.(3)设直线AB与y轴交于点C,点C在直线y=-x+3上,C(0,3).SAOB=12OC(|xA|+|xB|)=123(1+4)=7.5,又SAOPSBOP=12,SAOP=137.5=2.5,SBOP=5.又SAOC=1231=1.5,1.52.5,点P在第一
9、象限.SCOP=2.5-1.5=1.又OC=3,123xP=1,解得xP=23.把xP=23代入y=-x+3,得yP=73.P23,73.8.解:(1)将点P(-1,2)的坐标代入y=mx,得:2=-m,解得m=-2,正比例函数解析式为y=-2x;将点P(-1,2)的坐标代入y=n-3x,得:2=-(n-3),解得:n=1,反比例函数解析式为y=-2x.解方程组y=-2x,y=-2x,得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2,点A的坐标为(1,-2).(2)证明:四边形ABCD是菱形,ACBD,ABCD,CPD=90,DCP=BAP,即DCP=OAE.ABx轴,AEO=CPD=90,CPD
10、AEO.(3)点A的坐标为(1,-2),AE=2,OE=1,AO=AE2+OE2=5.CPDAEO,CDP=AOE,sinCDB=sinAOE=AEAO=25=255.9.解:(1)将A(3,5)的坐标代入y2=mx得,5=m3,m=15.反比例函数的解析式为y2=15x.当y2=-3时,-3=15x,x=-5,点B的坐标为(-5,-3).将A(3,5),B(-5,-3)的坐标代入y1=kx+b得,3k+b=5,-5k+b=-3,解得k=1,b=2.一次函数的解析式为y1=x+2.(2)令y1=0,则x+2=0,解得x=-2.点C的坐标为(-2,0).设一次函数图象与y轴交于点D.令x=0,则y1=2.点D的坐标为(0,2).连接PB,PC,当B,C和P不共线时,由三角形三边关系知,PB-PCy2时,x的取值范围为x3或-5x0.