1、提分专练(四)二次函数简单综合问题|类型1|二次函数与方程(不等式)的综合1.2018南京 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?|类型2|二次函数与直线的综合2.2019北京 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-1a与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P12,-1a,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值
2、范围.|类型3|二次函数的最值问题3.2019台州 已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).(1)求b,c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5x1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.|类型4|二次函数与平行四边形的综合4.2019孝感节选 如图T4-1,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).(1)点A的坐标为,点B的坐标为,线段AC的长为,抛物线的解析式为.(2)
3、点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q,使得以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.图T4-1|类型5|二次函数与相似三角形的综合5.2019镇江 如图T4-2,二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D,对称轴是直线l,一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C,N是线段DC上一点(不与点D,C重合),点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA,DB分别交于点P,Q,使得DPQ与DAB相似.当n=275时,求DP的长;若对于每一个确定的n的值,有且只有一个DPQ与
4、DAB相似,请直接写出n的取值范围.图T4-2【参考答案】1.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+31,即m-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+60,即m-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.2.解:(1)抛物线与y轴交于点A,令x=0,得y=-1a,点A的坐标为0,-1a.点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B的坐标为2,-1a.(2)抛物线过
5、点A0,-1a和点B2,-1a,由对称性可得,抛物线对称轴为直线x=0+22=1.(3)根据题意可知,抛物线y=ax2+bx-1a经过点A0,-1a,B2,-1a.当a0时,则-1a0,分析图象可得:点P12,-1a在对称轴左侧,抛物线上方,点Q(2,2)在对称轴右侧,抛物线上方,此时线段PQ与抛物线没有交点.当a0.分析图象可得:当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,此时-1a2,即a-12.综上所述,当a-12时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.3.解:(1)将(-2,4)代入y=x2+bx+c,得4=(-2)2-2b+c,c=2b,b,c满足的关系式是c=2b.
6、(2)把c=2b代入y=x2+bx+c,得y=x2+bx+2b,顶点坐标是(m,n),n=m2+bm+2b,且m=-b2,即b=-2m,n=-m2-4m. n关于m的函数解析式为n=-m2-4m.(3)由(2)的结论,画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象.函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限,-4-b20.当-4-b2-2,即4b8时,如图所示,当x=1时,函数取到最大值y=1+3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,(1+3b)-8b-b24=16,即b2+4b-60=0,b1=6,b2=-10(舍去);当-2-b20,即0b4时,如图所示,当x=-5时
7、,函数取到最大值y=25-3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,(25-3b)-8b-b24=16,即b2-20b+36=0,b1=2,b2=18(舍去).综上所述,b的值为2或6.4.解析(1)令y=0求得点A,B坐标,再由点C坐标求得抛物线的解析式及线段AC的长;(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P,通过分类讨论确定点Q坐标.解:(1)点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0);线段AC的长为25, 抛物线的解析式为:y=12x2-x-4.(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.点C(0,-4),-4=12x2-x-4,解得x1=2,x2=0,P(2,-4).P
8、C=2,若四边形BCPQ为平行四边形,则BQ=CP=2,OQ=OB+BQ=6,Q(6,0).若四边形BPCQ为平行四边形,则BQ=CP=2,OQ=OB-BQ=2,Q(2,0).故以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,Q点的坐标为(6,0),(2,0).5.解析(1)直接用顶点坐标公式求即可;(2)由题意可知点C2,95,A-52,0,点A关于对称轴对称的点为132,0,借助直线AD的解析式求得B(5,3);当n=275时,N2,275,可求DA=952,DB=35,DN=185,CD=365.当PQAB时,DPQDAB,DP=954;当PQ与AB不平行时,DP=352;当PQAB,D
9、B=DP时,DB=35,DN=245,所以N2,215,则有且只有一个DPQ与DAB相似时,95n215.解:(1)(2,9)(2)对称轴为直线x=2,y=252+1=95,C2,95.由已知可求得A-52,0,点A关于直线x=2对称的点的坐标为132,0,则直线AD关于直线x=2对称的直线的解析式为y=-2x+13,令-2x+13=25x+1,得x=5,255+1=3,B(5,3).当n=275时,N2,275,由D(2,9),A-52,0,B(5,3),C2,95,可得DA=952,DB=35,DN=185,CD=365.当PQAB时,DPQDAB,PQAB,DACDPN,DPDA=DNDC,DP=954;当PQ与AB不平行时,DPQDBA,易得DNPDCB,DPDB=DNDC,DP=352.综上所述,DP=954或352.95n215解析当PQAB,DB=DP时,DPNDAC,DPDA=DNDC,即35952=DN365,DN=245,N2,215,易知在N2,215与C2,95之间时,有且只有一个DPQ与DAB相似.有且只有一个DPQ与DAB相似时,95n215.故答案为95n215.