1、提分专练(四)二次函数小综合|类型1|二次函数与其他函数的综合1.2019烟台如图T4-1,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CDy轴交抛物线于另一点D,作DEx轴,垂足为点E.双曲线y=6x(x0)经过点D,连接MD,BD.(1)求抛物线的表达式.(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,BPD的度数最大?(请直接写出结果)图T4-1|类型2|二次函数与几何图形综合2.2017攀
2、枝花改编如图T4-2,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式,并求A点的坐标.(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:CFE是等腰直角三角形.图T4-23.2019遵义如图T4-3,抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同,方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.(1)求抛物线C2的解析式.(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理
3、由.(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,MOC的面积最大?并求出最大面积.图T4-34.2019长沙如图T4-4,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(-3t0)经过点D,S矩形OEDC=6,CD=S矩形OEDCOC=2,D(2,3).将点A(-1,0),D(2,3)的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3得a-b+3=0,4a+2b+3=3,解得a=-1,b=2,抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)作点D关于x轴的对称点H,作点M关于y轴的对称点I,如图,由轴对称的性质可知
4、FM=FI,ND=NH,四边形MDNF的周长=MD+DN+FN+FM=MD+NH+FN+FI,MD是定值,当NH+FN+FI最小时,四边形MDNF的周长最小.两点之间线段最短,当I,F,N,H在同一条直线上时,NH+FN+FI最小.当I,F,N,H在同一条直线上时,四边形MDNF的周长最小.连接HI,交x轴于点N,交y轴于点F,抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,点M的坐标为(1,4),由轴对称的性质可得,I(-1,4),H(2,-3),设直线HI的表达式为y=mx+n,代入点I,H的坐标,得-m+n=4,2m+n=-3,解得m=-73,n=53,直线HI的表达式为y=-73x+53,当x=
5、0时,y=53,当y=0时,0=-73x+53,x=57,F0,53,N57,0,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,F0,53,N57,0.(3)9-215.分析拓展:如图,A,B之间的距离是定值,直线CD是一条固定的直线,点P在直线CD上运动,由下图可以看出,只有当过A,B的圆与直线CD相切,P为切点时,APB最大.回归本题:过点B,D作T,且使T与直线OC相切,切点为P,此时BPD的度数最大,由已知,可得OP=t,P(0,t),直线OC与T相切,TPOC,直线PT的解析式为y=t.抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,点B的坐标为(3,0).点B(3,0),点D(2,3),可以求
6、得直线BD的垂直平分线的解析式为y=13x+23,联立y=t与y=13x+23,得x=3t-2,y=t,T(3t-2,t),PT=TB,3t-2=(3t-2-3)2+(t-0)2,解得t=9-215或t=9+215(舍去),当t=9-215时,BPD的度数最大.2.解:(1)由题意得:32+3b+c=0,c=3,解得b=-4,c=3.抛物线的解析式为y=x2-4x+3.令y=0,得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0).(2)证明:由题意知OB=OC,OCB=45,F,E在直线y=x+m上,CFE=45,CEF=90, 在CFE中,BCO=CFE=45,CFE为等腰直角三角形
7、.3.解:(1)抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同,方向相反,a=-1,抛物线C1与x轴交于点B,B(2,0),OA=2OB,A(4,0),抛物线C2:y=ax2+bx过点A,0=-16+4b,b=4,抛物线C2的解析式为y=-x2+4x.(2)存在.解方程组y=x2-2x,y=-x2+4x,得x1=0,y1=0,x2=3,y2=3,C(3,3),A(4,0),A关于对称轴直线x=2的对称点为O(0,0),直线OC与对称轴交于点P,此时PA+PC最小.设直线OC:y=kx,3=3k,k=1,直线OC:y=x,当x=2时,y=2,P(2,2).(3)如图,设M(
8、m,-m2+4m),作MNy轴交线段OC于点N,则N(m,m),MN=-m2+3m,SMOC=12(3-0)MN=123(-m2+3m)=-32m2+92m=-32m-322+278,当m=32时,此时M(32,154),SMOC最大=278,M运动到M(32,154)位置时,MOC的面积最大,最大面积为278.4.解:(1)令ax2+6ax=0,ax(x+6)=0,x1=0,x2=-6.A(-6,0).(2)连接PC,连接PB延长交x轴于点M,P过O,A,B三点,B为抛物线顶点,PMOA,PBC+BDM=90,又PC=PB,PCB=PBC,CE为切线,PCB+ECD=90,BDM=ECD,又BDM=CDE,ECD=CDE,CE=DE.设OE=m,即E(m,0),CAE=CBO,CAE=OBE,CBO=EBO,由角平分线定理得BDBE=DOOE.a=33,y=33x2+23x.可得B(-3,-33).BD=(t+3)2+27,BE=(m+3)2+27,DO=-t,(3+t)2+27(3+m)2+27=-tm,m=6t-t-6.1OD-1OE=-1t-1m=-1t+6+t6t=16.