1、提分专练(三)一次函数、反比例函数的综合|类型1|一次函数、反比例函数的性质综合1.如图T3-1,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标为(m,-4),O为坐标原点,连接OB,AO,AO=5,sinAOC=35.图T3-1(1)求反比例函数的解析式;(2)求AOB的面积.2.如图T3-2,已知反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(n,1).图T3-2(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)点E为y轴上一个动点,若SAEB=5,求点E的
2、坐标.3.2018绵阳 如图T3-3,一次函数y=-12x+52的图象与反比例函数y=kx(k0)的图象交于A,B两点,过点A作x轴的垂线,垂足为M,AOM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小,并求出其最小值和点P的坐标.图T3-3|类型2|反比例函数与几何综合4.2018镇江 如图T3-4,一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k0)的图象交于A,B两点,点P在以C(-2,0)为圆心,1为半径的C上,Q是AP的中点.已知OQ长的最大值为32,则k的值为()图T3-4A.4932B.2518C.3225D.985.如图T3-5,已知点P(6,3)
3、,过点P作PMx轴于点M,PNy轴于点N,反比例函数y=kx的图象交PM于点A,交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12,则k=.图T3-56.如图T3-6,在平行四边形ABCD中,点A,B,C的坐标分别是(1,0),(3,1),(3,3),双曲线y=kx(k0,x0)过点D.图T3-6(1)求双曲线的解析式;(2)作直线AC交y轴于点E,连接DE,求CDE的面积.7.如图T3-7,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y=kx(x0)的图象与BC边交于点E.图T3-7(1)当F为AB的中点时,求该反比例函数的解析式;(2)当k为何
4、值时,EFA的面积最大,最大面积是多少?|类型3|一次函数、反比例函数应用综合8.某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物浓度y(g/mL)与服药时间x(h)之间的函数关系如图T3-8所示(当4x10时,y与x成反比).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数解析式;(2)问血液中药物浓度不低于4 g/mL的持续时间为多少小时?图T3-89.环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0毫克/升.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改
5、过程中,所排污水中硫化物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)的变化规律如图T3-9所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.(1)求整改过程中硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式;(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内(含15天)达到不超过最高允许的1.0毫克/升?为什么?图T3-9【参考答案】1.解:(1)如图,过点A作AEx轴,交x轴于点E.AO=5,sinAOC=35,AE=AOsinAOC=3,则OE=4.点A的坐标为(-4,3).点A在反比例函数的图象上,反比例函数的解析式为y=-12x.(2)点B(m,-4)在反比例
6、函数y=-12x的图象上,m=3,即点B的坐标为(3,-4).设直线AB的解析式为y=kx+b.把A(-4,3),B(3,-4)代入y=kx+b,得-4k+b=3,3k+b=-4.解得k=-1,b=-1.直线AB的解析式为y=-x-1.OD=1.SAOB=SAOD+SBOD=1214+1213=72.2.解:(1)把点A(2,6)的坐标代入y=mx,得m=12.所以y=12x.把点B(n,1)的坐标代入y=12x,得n=12.所以点B的坐标为(12,1).由直线y=kx+b过点A(2,6),点B(12,1),得2k+b=6,12k+b=1,解得k=-12,b=7.故所求一次函数的表达式为y=-
7、12x+7.(2)设直线AB与y轴的交点为P,点E的坐标为(0,t),连接AE,BE,如图,则点P的坐标为(0,7).PE=|t-7|.SAEB=SBEP-SAEP=5,12|t-7|(12-2)=5.|t-7|=1.解得t1=6,t2=8.点E的坐标为(0,6)或(0,8).3.解:(1)反比例函数y=kx(k0)的图象过点A,AMx轴,且AOM的面积为1,12|k|=1.k0,k=2.故反比例函数的解析式为y=2x.(2)如图,作点A关于y轴的对称点A,连接AB,交y轴于点P,则AB就是PA+PB的最小值.由y=-12x+52,y=2x,解得x=1,y=2或x=4,y=12.A(1,2),
8、B4,12.A(-1,2),PA+PB的最小值=AB=(4+1)2+(12-2)2=1092.设直线AB的解析式为y=mx+n,则-m+n=2,4m+n=12,解得m=-310,n=1710.直线AB的解析式为y=-310x+1710.当x=0时,y=1710.点P的坐标为0,1710.4.C解析连接BP.由对称性知OA=OB,又因为Q为AP的中点,所以OQ=12BP.因为OQ的最大值为32,所以BP的最大值为232=3.如图所示,连接BC并延长,交C于点P1,则BP1=3.因为C的半径为1,所以CP1=1,所以BC=2.因为点B在直线y=2x上,所以可设B(t,2t).过点B作BDx轴于点D
9、,则CD=t-(-2)=t+2,BD=0-2t=-2t.在RtBCD中,由勾股定理,得CD2+BD2=BC2,即(t+2)2+(-2t)2=22.解得t1=0(不符合题意,舍去),t2=-45.所以B-45,-85.因为点B-45,-85在反比例函数y=kx的图象上,所以k=-45-85=3225.5.6解析点P(6,3),点A的横坐标为6,点B的纵坐标为3.代入反比例函数y=kx得,点A的纵坐标为k6,点B的横坐标为k3.即AM=k6,NB=k3,S四边形OAPB=12,即S矩形OMPN-SOAM-SNBO=12,63-126k6-123k3=12.解得k=6.6.解:(1)在平行四边形AB
10、CD中,点A,B,C的坐标分别是(1,0),(3,1),(3,3),点D的坐标是(1,2).双曲线y=kx(k0,x0)过点D,2=k1,解得k=2.故双曲线的解析式是y=2x.(2)直线AC交y轴于点E,SCDE=SEDA+SADC=(2-0)12+(2-0)(3-1)2=1+2=3,即CDE的面积是3.7.解:(1)在矩形OABC中,OA=3,OC=2,B(3,2).F为AB的中点,F(3,1).点F在反比例函数y=kx(x0)的图象上,k=3.该反比例函数的解析式为y=3x(x0).(2)由题意知,E,F两点的坐标分别为Ek2,2,F3,k3,SEFA=12AFBE=1213k3-12k
11、=12k-112k2=-112(k2-6k+9-9)=-112(k-3)2+34,当k=3时,SEFA有最大值,且最大值为34.8.解:(1)由图象可知,当0x4时,y与x成正比,设y=kx.当x=4时,y=8,4k=8,解得k=2.y=2x(0x4).当4x10时,y与x成反比例函数关系,设y=mx.由图象可知,当x=4时,y=8,m=48=32.y=32x(4x10).故血液中药物浓度上升阶段y与x的函数解析式为y=2x(0x3时,设y=mx.把(3,4)代入,得m=34=12.y=12x.综上所述,当0x3时,y=-2x+10;当x3时,y=12x.(2)能.理由如下:令y=12x=1,得x=1215.故能在15天以内(含15天)达到不超过最高允许的1.0毫克/升.