1、提分专练(六)圆与几何图形的综合|类型1|圆与三角形的综合(18年21题,16年21题,15年22题,14年20题,13年24题)1.如图T6-1,AB是O的直径,点E是AD上的一点,DBC=BED.(1)求证:BC是O的切线;(2)已知AD=3,CD=2,求BC的长.图T6-12.如图T6-2,已知O为ABC的外接圆,BC为直径,点E在AB上,过点E作EFBC于点F,点G在FE的延长线上,且GA=GE.(1)求证:AG与O相切;(2)若AC=6,AB=8,BE=3,求线段OE的长.图T6-23.2019淮安 如图T6-3,AB是O的直径,AC与O交于点F,弦AD平分BAC,DEAC,垂足为E
2、.(1)试判断直线DE与O的位置关系,并说明理由;(2)若O的半径为2,BAC=60,求线段EF的长.图T6-34.2019盐城 如图T6-4,在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的O分别交AC,BC于点M,N,过点N作NEAB,垂足为E.(1)若O的半径为52,AC=6,求BN的长;(2)求证:NE与O相切.图T6-4|类型2|圆与四边形的综合(17年22题)5.如图T6-5,AB是O的切线,B为切点,圆心在AC上,A=30,D为BC的中点.(1)求证:AB=BC;(2)求证:四边形BOCD是菱形.图T6-56.如图T6-6,已知O的半径为1,DE是O的直径,过
3、D作O的切线DA,C是AD的中点,AE交O于点B,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长;(2)BC是O的切线吗?若是,给出证明;若不是,请说明理由.图T6-67.如图T6-7,在菱形ABCD中,AB=4,B=60,以点D为圆心作D与直线AB相切于点G,连接DG.(1)求证:D与BC所在的直线也相切;(2)若D与CD相交于点E,过E作EFAD于H,交D于F,求EF的长.图T6-78.2019福建 如图T6-8,四边形ABCD内接于O,AB=AC,ACBD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF,CF.(1)求证:BAC=2CAD;(2)若AF=10,BC=45,求tanB
4、AD的值.图T6-8【参考答案】1.解:(1)证明:AB是O的直径,ADB=90.又BAD=BED,BED=DBC,BAD=DBC.BAD+ABD=DBC+ABD=90.ABC=90.BC是O的切线.(2)BAD=DBC,C=C,ABCBDC.ACBC=BCCD,即BC2=ACCD=(AD+CD)CD=10.BC=10.2.解:(1)证明:连接OA,如图.OA=OB,B=BAO.又EFBC,BFE=90.B+BEF=90.AG=GE,GAE=GEA.GEA=BEF,BAO+GAE=90.GAAO,又OA为O的半径,AG与O相切.(2)如图,连接OA,过点O作OHAB,垂足为H.由垂径定理,得B
5、H=AH=12AB=128=4.BC是直径,BAC=90.又AB=8,AC=6,BC=82+62=10,OA=5,OH=3.又BH=4,BE=3,EH=1.OE=32+12=10.3.解:(1)直线DE与O相切.理由如下:如图所示,连接OD,则OA=OD,ODA=BAD.弦AD平分BAC,FAD=BAD,FAD=ODA,ODAF.又DEAC,DEOD,OD是O的半径,直线DE与O相切.(2)连接BD,AB是O的直径,ADB=90.AD平分BAC,BAC=60,FAD=BAD=30,B=60,DFE=B=60.O的半径为2,AB=4,AD=ABcosBAD=432=23,DE=ADsinFAD=
6、2312=3,EF=DEtanDFE=DEtan60=33=1.4.解:(1)OD=OC=52,CD=5.ACB=90,CD是斜边上的中线,AB=2CD=10,BD=CD=5,AC=6,在RtABC中,BC=AB2-AC2=8.连接DN,如图,CD为直径,DNC=90,N为BC中点(等腰三角形三线合一),BN=12BC=4.(2)证明:连接NO,BD=CD,B=1.OC=ON,1=2,B=2,NOAB.NEAB,NONE.ON是半径,NE与O相切.5.证明:(1)AB是O的切线,A=30,OBA=90,AOB=90-30=60.OB=OC,OBC=OCB.AOB=OBC+OCB,OCB=30=
7、A.AB=BC.(2)连接OD,交BC于点M.D是BC的中点,OD垂直平分BC.在RtOMC中,OCM=30,OC=2OM=OD.OM=DM.四边形BOCD是菱形.6.解:(1)如图,连接BD,则DBE=90.四边形BCOE是平行四边形,BCOE,BC=OE=1.在RtABD中,C为AD的中点,BC=12AD=1.AD=2.(2)BC是O的切线.证明如下:如图,连接OB.由四边形BCOE是平行四边形,OE=OD,得BCOD,且BC=OD.四边形BCDO是平行四边形.又AD是O的切线,ODAD.四边形BCDO是矩形.OBBC.BC是O的切线.7.解:(1)方法1:证明:如图,连接BD,过点D作D
8、KBC于点K.在菱形ABCD中,BD平分ABC.D与直线AB相切于点G,DGAB.DKBC,DK=DG.又DG为D的半径.DK为D的半径,D与BC所在的直线相切.方法2:证明:如图,过点D作DKBC于点K.在菱形ABCD中,AD=CD,ADBC,DCAB.GAD=ABC=DCK.D切AB于点G,DGAB.DKBC,AGD=CKD.在AGD和CKD中,AGD=CKD,GAD=DCK,AD=CD,AGDCKD.DG=DK.DG为D的半径,DK为D的半径.D与BC所在的直线相切.(2)在菱形ABCD中,CD=AB=4,CDAB.DCK=ABC=60.又DKC=90,DK=32CD=23.DE=DK=
9、23.又ADC=ABC=60,EFAD于点H,EH=32DE=3.EF=2EH=6.8.解析(1)由ACBD,得RtADE,在RtAED中,根据两个锐角互余,得CAD与ADE的关系;AB=AC,在等腰三角形ABC中,得BAC与底角ACB的关系;再结合同弧所对圆周角相等,得ADE=ACB,整理即可得出结论;(2)由DF=DC,得外角BDC与CFD的关系,再结合BAC=2DAC与同弧所对圆周角相等得CFD=CAD=CBD,得CF=BC,知CA垂直平分BF,求出AB与AC的长度,根据勾股定理列方程分别求出AE,CE,BE,再利用ADEBCE,求出AD,DE,作ABD中AB边上的高DH,利用面积法求出
10、DH,利用勾股定理求出AH的值,即可利用正切定义求值.解:(1)证明:ACBD,AED=90,在RtAED中,ADE=90-CAD,AB=AC,AB=AC,ACB=ABC.BAC=180-2ACB=180-2ADB=180-2(90-CAD),即BAC=2CAD.(2)DF=DC,FCD=CFD,BDC=FCD+CFD=2CFD.BDC=BAC,BAC=2CAD,CFD=CAD.CAD=CBD,CFD=CBD,CF=CB.ACBD,BE=EF,故CA垂直平分BF,AC=AB=AF=10,设AE=x,则CE=10-x,在RtABE和RtBCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2,又BC=45,102-x2=(45)2-(10-x)2,解得x=6,AE=6,CE=4,BE=AB2-AE2=8.DAE=CBE,ADE=BCE,ADEBCE,AEBE=DECE=ADBC,DE=3,AD=35,过点D作DHAB于H.SABD=12ABDH=12BDAE,BD=BE+DE=11,10DH=116,DH=335,在RtADH中,AH=AD2-DH2=65,tanBAD=DHAH=33565=112.