1、提分专练(九)与圆有关的证明及计算|类型1|平面直角坐标系中的圆1.2019无锡 如图T9-1,一次函数y=kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B,且sinABO=32,OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.(1)求这个一次函数的表达式;(2)求图中阴影部分的面积.图T9-12.2017酒泉 如图T9-2,AN是M的直径,NBx轴,AB交M于点C.(1)若点A0,6,N0,2,ABN=30,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是M的切线.图T9-2|类型2|垂径定理与勾股定理联手3.2019苏州 如图T9-3,扇形OAB中AOB=90,P为AB上的
2、一点,过点P作PCOA,垂足为C.PC与AB交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为.图T9-3|类型3|与圆有关的图形的面积4.2018达州 已知,如图T9-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DFAC于点F.(1)求证:DF是O的切线;(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由DE,DF,EF围成的阴影部分的面积.图T9-4 |类型4|与圆的切线有关的问题5.2019巴中 如图T9-5,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OHBC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.(1)求证:DC是O的切线;(2)若AC=4M
3、C且AC=8,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.图T9-5 |类型5|圆与四边形结合的问题6.2019温州 如图T9-6,在ABC中,BAC=90,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的O交AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF.(1)求证:四边形DCFG是平行四边形;(2)当BE=4,CD=38AB时,求O的直径长.图T9-6|类型6|圆与三角函数结合的问题7.如图T9-7,AB是O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CDOA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.
4、(1)判断BD与O的位置关系,并说明理由;(2)若CD=15,BE=10,tanA=512,求O的直径.图T9-7|类型7|圆与相似三角形结合的问题8.2019滨州 如图T9-8,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DFAC,垂足为点F.(1)求证:直线DF是O的切线;(2)求证:BC2=4CFAC;(3)若O的半径为4,CDF=15,求阴影部分的面积.图T9-8【参考答案】1.解:(1)作MNBO于N,由垂径定理得N为OB中点,MN=12OA,MN=3,OA=6,即A(-6,0).sinABO=32,OA=6,AB=43,OB=23,B(0,23),
5、将A,B点坐标代入y=kx+b,得b=23,-6k+b=0,解得b=23,k=33,y=33x+23.(2)由(1)得ABO=60,连接OM,则AMO=120,AM=MB=12AB=23.阴影部分面积为S=120360(23)2-1263=4-33.2.解:(1)A的坐标为(0,6),N的坐标为(0,2),AN=4,ABN=30,ANB=90,AB=2AN=8,由勾股定理可知:NB=43,B(43,2).(2)证明:连接MC,NC.AN是M的直径,ACN=90,NCB=90,在RtNCB中,D为NB的中点,CD=12NB=ND,CND=NCD.MC=MN,MCN=MNC.MNC+CND=90,
6、MCN+NCD=90,即MCCD,直线CD是M的切线.3.5解析 连接OP,AOB=90,PCOA,DCA=AOB=90,又DAC=BAO,ACDAOB,ACAO=CDOB,OA=OB,AC=CD=1,又PD=2,CP=3,设CO=x,则OP=OA=x+1,PCO=90,OP2=OC2+CP2,x2+32=(x+1)2,解得x=4,OA=x+1=5.4.解:(1)证明:连接OD,CD.BC是直径,BDC=90.ABC是等边三角形,点D是AB的中点.点O是BC的中点,ODAC.DFAC,ODDF.OD是半径,DF是O的切线.(2)连接OD,OE,DE.同(1)可知点E是AC的中点,DE是ABC的
7、中位线,ADE是等边三角形.等边三角形ABC的边长为8,等边三角形ADE的边长为4.DFAC,EF=2,DF=23.DEF的面积=12EFDF=12223=23.ADE的面积=ODE的面积=43.扇形ODE的面积=6042360=83.阴影部分的面积=DEF的面积+ODE的面积-扇形ODE的面积=23+43-83=63-83.5.解析(1)过点O作CD的垂线,通过证明其与半径相等,得到CD是切线;(2)通过三角函数计算边长和圆心角度数,得到三角形和扇形的面积,继而可得阴影部分面积;(3)根据轴对称的性质找到点P的位置,进而计算最小值,利用三角函数求PD的长度.解:(1)证明:过点O作OGCD于
8、点G,菱形ABCD中,AC是对角线,CA平分BCD,OHBC,OH=OG,OH是O的半径,OG长等于O的半径长,CD是O的切线.(2)AC=4MC且AC=8,OC=2MC=4,MC=OM=2,OH=OM=2.在RtOHC中,OH=2,OC=4,HC=OC2-OH2=23,tanHOC=HCOH=3,HOC=60,S阴影=SOCH-S扇形OHM=12CHOH-60OH2360=12232-6022360=23-23.(3)作点M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,此时PH+PM的值最小.ON=OM=OH,MOH=60,MNH=30,MNH=HCM,HN=HC=23,即PH+PM的最小值为2
9、3.在RtNPO中,OP=ONtan30=233,在RtCOD中,OD=OCtan30=433,PD=OP+OD=23.6.解:(1)证明:连接AE.BAC=90,CF是O的直径.AC=EC,CFAE.AD为O的直径,AED=90,即GDAE,CFDG.AD为O的直径,ACD=90,ACD+BAC=180,ABCD,四边形DCFG为平行四边形.(2)由CD=38AB,可设CD=3x,AB=8x,由(1)可知FG=CD=3x.AOF=COD,AF=CD=3x,BG=8x-3x-3x=2x.GECF,BEEC=BGGF=23.又BE=4,AC=CE=6,BC=6+4=10,AB=102-62=8=
10、8x,x=1.在RtACF中,AF=3,AC=6,CF=32+62=35,即O的直径长为35.7.解:(1)BD与O相切.理由如下:连接OB,OB=OA,DE=DB,A=OBA,DEB=ABD,又CDOA,A+AEC=A+DEB=90,OBA+ABD=90,OBBD,BD是O的切线.(2)如图,过点D作DGBE于G,DE=DB,EG=12BE=5,ACE=DGE=90,AEC=GED,ACEDGE,GDE=A,tanA=512,sinA=513,sinEDG=sinA=EGDE=513,DE=13,在RtEDG中,DG=DE2-EG2=12,CD=15,DE=13,CE=2,ACEDGE,AC
11、DG=CEGE,AC=CEGEDG=245,O的直径=2OA=4AC=965.8.解:(1)证明:如图所示,连接OD,AB=AC,ABC=C,OB=OD,ODB=ABC=C,DFAC,CDF+C=90,CDF+ODB=90,ODF=90,直线DF是O的切线.(2)证明:连接AD,则ADBC,AB=AC,DB=DC=12BC.CDF+C=90,C+DAC=90,CDF=DAC,又DFC=ADC=90,CFDCDA,CDAC=CFCD,CD2=ACCF,BC2=4CFAC.(3)连接OE,作OGAE于G.CDF=15,C=75,OAE=30=OEA,AOE=120,AE=2EG=2OEcos30=2432=43.SOAE=12AEOEsinOEA=1243412=43,S阴影部分=S扇形OAE-SOAE=12036042-43=163-43.