1、二次函数综合题(必考1道，9或12分)类型一与图形规律有关的探究问题(2019.23，2016.23，2014.24，2013.24)1. (2018江西样卷)已知抛物线Cn：ynx2(n1)x2n(其中n为正整数)与x轴交于An，Bn两点(点An在Bn的左边)，与y轴交于点Dn.(1)填空：当n1时，点A1的坐标为_，点B1的坐标为_；当n2时，点A2的坐标为_，点B2的坐标为_；(2)猜想抛物线Cn是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，并说明理由；(3)判断A2D2B4的形状；猜想AnDnBn2的大小，并给予证明2. (2019南昌模拟)如图，抛物线C：yx2经过
2、变换可得到抛物线C1：y1a1x(xb1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图，抛物线C1：y1a1x(xb1)经过变换可得到抛物线C2：y2a2x(xb2)，C2与x轴的正半轴交于点A2，且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2.此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图，可得到抛物线C3：y3a3x(xb3)与正方形OB3A3D3，请探究以下问题：(1)填空：a1_，b1_；(2)求出C2与C3的解析式；(3)按上述类似方法，可得到抛物线Cn：ynanx(xbn)与正方形
3、OBnAnDn(n1)请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；当x取任意不为0的实数时，试比较y2018与y2019的函数值的大小关系，并说明理由第2题图3. (2019江西黑白卷)如图，抛物线y1x2(2m4)xm24m与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)若抛物线y1x2(2m4)xm24m过点(1，0)，求抛物线y1的解析式；(2)当AOCCOB时，求点C的坐标；(3)当m3时，过点(2，0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P，抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，抛物线y2与直线l交于点Q.y1向右平移2个单位得到抛物线y3，y1向右平移n1(n为正
4、整数)个单位得到抛物线yn，抛物线yn与直线l交于点R，当四边形PARB的面积为70时，求n的值第3题图4. (2019抚州模拟)如图，已知OBB130，点A1，A2，A3，在x轴上，点B1，B2，B3，在射线BB1上，OA1B1，A1B2A2，A2B3A3，均为等边三角形，若OB1，过O、A1、B1三点的抛物线称为y1，过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2，过An1、Bn、An三点的抛物线称为yn.(1)写出A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)求出抛物线y1和y2的解析式；(3)若把A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2
5、019A2019，点A2019与A2019是对应点，请判断四边形A2018A2019B2019A2019的形状，并说明理由；(4)若抛物线yn和yn1的对称轴分别交x轴于点Cn和Cn1，连接Bn1Cn并延长交yn1的对称轴于点D，请判断Bn1Bn1D的形状(不需证明)，求出Bn1D的长，并说明理由第4题图5. (2018章贡模拟)已知抛物线C1：y1a(x1)2k1(a0)交x轴于点M(2，0)和点A1(b1，0)，抛物线C2：y2a(xb1)2k2交x轴于点M(2，0)和点A2(b2，0), 抛物线C3：y3a(xb2)2k3交x轴于点M(2，0)和点A3(b3，0)，按此规律，抛物线Cn：
6、yna(xbn1)2kn交x轴于点M(2，0)和点An(bn，0)(其中n为正整数)，我们把抛物线C1，C2，C3，Cn称为系数a的抛物线族(1)直接写出b1的值；(2)线段An1An的长为_；(3)探究如下问题：(用含a的代数式表示)抛物线C3的顶点坐标为(_，_)；依此类推第n条抛物线Cn的顶点坐标为(_，_)；(4)抛物线C10的顶点为N，是否存在MNA10是等腰直角三角形的情况？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由6. (2019江西样卷六)已知以直线x1为对称轴的抛物线y1与x轴交于点A1(d，0)和A2，顶点为B1，以直线x2为对称轴的抛物线y2与x轴交于点A2和A3，顶点为B
7、2，以直线xn为对称轴的抛物线yn与x轴交于点An和An1，顶点为Bn，我们把这样的抛物线y1，y2，yn对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数(1)当0d1时：填空：A1A2_，A2A3_，A3A4_；(用含d的代数式表示)若d0.4，“整对称轴”二次函数y1，y2，yn的图象的顶点B1，B2，Bn都在直线yx上，当n的值为多少时，AnAn1Bn是直角三角形？(2)当0d1时，已知“整对称轴”二次函数y1，y2，yn的图象的开口方向都向下，且A1A2B1，A2A3B2，AnAn1Bn均为直角三角形请求出“整对称轴”二次函数y1，y2的解析式，并猜想出二次函数y2019的解析式(可以含d)；请
8、通过画草图分析直线y与抛物线y1，y2，y2019的公共点个数第6题图类型二与图象变换有关的探究问题(2019.23，2017.22，2011.24，2010.24)1. (2019江西模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M：yax2bxc(a0)经过点A(1，0)，且顶点为B(0，1)(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设点F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180得到抛物线M1.抛物线M1的顶点B1的坐标为_；当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围第1题图2. (2019江西定心卷)已知抛物线C1：yax22ax3 (a0)(1)当a1时，抛物线
9、C1的顶点坐标为_；将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为_； (2)无论a为何值，直线ym与抛物线C1相交所得的线段EF(点E在点F左侧)的长度都不变，求m的值和EF的长；(3)在(2)的条件下，将抛物线C1沿直线ym翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由第2题图3. (2019江西样卷二)如图，已知二次函数L1：ymx22mx3m1(m1)和二次函数L2：ym(x3)24m1(m1)图象的顶点分别为点M、N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点
10、B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)(1)函数ymx22mx3m1(m1)的顶点坐标为_；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是_；(2)当ADMN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点求所有定点的坐标；若抛物线L1位置固定不变，通过平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？4. (2017江西样卷二)已知抛物线C1：y1a1x2b1xc1中，函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表：x321134y141041625(1)设抛物线C1的顶点为P，则点P的坐标为
11、_；(2)现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2a2x2b2xc2，试求抛物线C2的解析式；(3)现将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点A、B.在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？在最初的状态下，若向下平移m(m0)个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系5. (2019江西模拟)将抛物线y(x1)2向右平移2个单位，再向上平移4个单位得抛物线m，抛物线m交x轴于A，B(点A在B的左侧)两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与抛物线m交于另一点D.(1)求抛物线m的解析式及点D的坐标，在
12、如图所示的坐标系中画出抛物线m的示意图；(2)P是抛物线上一动点，点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；(3)M是抛物线上一动点，当M点在抛物线m的对称轴右侧时，过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将CMN沿CM翻折，点N的对应点为N.是否存在点M，使N恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由第5题图6. (2019江西黑白卷)已知抛物线L1：y1ax22的顶点为P，交x轴于A、B两点(A点在B点左侧)，且sinABP.(1)求抛物线L1的函数解析式；(2)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若ABC的面积被y轴分为14两个部
13、分，求直线AC的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线L1绕点P逆时针旋转180得到抛物线L2，点M为抛物线L2上一点，当点M的横坐标为何值时，BDM为直角三角形？第6题图类型三二次函数性质的探究问题(2015.23，2012.23)1. (2019北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx(a0)与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P(，)，Q(2，2)，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围2. (2019江西样卷一)已知抛物线yx2(2m1)xm2
14、1.(1)若该抛物线经过点P(1，4)，试求m的值及抛物线的顶点坐标(2)求此抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示)，并证明：不论m为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l上(3)直线l截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由3. 已知二次函数yx2bxc(b，c为常数)(1)当b2，c3时，求二次函数图象的顶点坐标；(2)当c10时，若在函数值y1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3)当cb2时，若在自变量x的值满足bxb3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式4. (2017江西样卷一)已知抛物线L1
15、：y1x26x5k和抛物线L2：y2kx26kx5k，其中k0.(1)下列说法你认为正确的序号是_；抛物线L1和L2与y轴交于同一点F(0，5k)；抛物线L1和L2开口都向上；抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线；当k1时，抛物线L1和L2都与x轴有两个交点(2)抛物线L1和L2相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在(2)中，若抛物线L1的顶点为M，抛物线L2的顶点为N，问是否存在实数k，使MN2EF？如存在，求出实数k的值；如不存在，请说明理由5. 如图，已知抛物线l1的顶点是P(2，4)，且经过点O(0，0)、A(t，0)，平行于y轴的直
16、线m与x轴交于点B(b，0)，与抛物线l1交于点M.(1)求t的值及抛物线l1的解析式；(2)当BM4时，求b的值；(3)把抛物线l1绕点(0，1)旋转180，得到抛物线l2.直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围；直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值第5题图类型四与新定义有关的探究问题(2014.24)1. 我们定义：对于抛物线y，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y，则我们称抛物线y为抛物线y关于点M(0，m)的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”(1)求抛物线yx22
17、关于原点O(0，0)的“衍生抛物线”的解析式；(2)已知抛物线yax22axb(a0)若抛物线y的“衍生抛物线”为ybx22bxa2(b0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；若抛物线y关于点(0，k12)的“衍生抛物线”为y1，其顶点为A1；关于点(0，k22)的“衍生抛物线”为y2，其顶点为A2；关于点(0，kn2)的“衍生抛物线”为yn，其顶点为An(n为正整数)求AnAn1的长(用含n的式子表示)2. (2019南昌模拟)已知：抛物线C1：y(xm)2m2(m0)，抛物线C2：y(xn)2n2(n0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1
18、：y(x1)21与抛物线C2：y(x)22是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.(1)已知抛物线yx22x，y(x3)23，y(x)22，yx2x，则抛物线中互为派对抛物线的是_(请在横线上填写抛物线的数字序号)；(2)如图，当m1，n2时，证明：ACBD；(3)如图，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，BEOBDC.求证：四边形ACBD是菱形；若已知抛物线C2：y(x2)24，请求出m的值第2题图参考答案类型一与图形规律有关的探究问题1. 解：(1
19、)(2，0)，(2，0)；(2，0)，(4，0)；(2)经过，定点为(2，0)；解法一：当x2时，y(2)2(n1)(2)2n22n22n0，结果与n无关，必经过点(2，0)；解法二：ynx2nxx2nx2(x2)nx，令x20，即x2.yn0与n无关必经过点(2，0)；解法三：令yn0，即x22(n1)x4n0，(x2)(x2n)0，解得x12，x22n，定点为(2，0)；(3)A2D2B4的形状为直角三角形；猜想AnDnBn290.证明：当x0时，yn2n，Dn(0，2n)Bn(2n，0)，Bn2(2n2，0)在AnDnO中，tanAnDnO，在ODnBn2中，tanOBn2Dn，AnDn
20、OOBn2Dn.AnDnODnAnBn290，OBn2DnODnBn290，AnDnOODnBn290.AnDnBn290.2. 解：(1)1，2；【解法提示】当y10时，a1x(xb1)0，解得x10，x2b1，A1(b1，0)由正方形OB1A1D1得，OA1B1D1b1，B1(，)，D1(，)B1在抛物线C上，则()2，化简后为b1(b12)0，b10(不符合题意，舍去)，b12，D1(1，1)把D1(1，1)代入y1a1x(xb1)中得：1a1，a11.(2)当y20时，a2x(xb2)0，解得x10，x2b2，A2(b2，0)由正方形OB2A2D2得，OA2B2D2b2，B2(，)，D
21、2(，)B2在抛物线C1上，则()22，化简后为b2(b26)0，b20(不符合题意，舍去)，b26，D2(3，3)把D2(3，3)代入C2的解析式中，得33a2(36)，a2，抛物线C2的解析式为y2x(x6)x22x.当y30时，a3x(xb3)0，解得x10，x2b3，A3(b3，0)由正方形OB3A3D3得，OA3B3D3b3，B3(，)，D3(，)B3在抛物线C2上，则()22，化简后为b3(b318)0，b30(不符合题意，舍去)，b318，D3(9，9)把D3(9，9)代入C3的解析式中，得99a3(918)，a3，抛物线C3的解析式为y3x(x18)x22x；(3)Cn的解析式
22、为ynx22x(n1)；由可得，抛物线C2018的解析式为y2018x22x，抛物线C2019的解析式为y2019x22x，两抛物线的交点为(0，0)如解图，由图象得，当x0时，y2018y2019.第2题解图3. 解：(1)把(1，0)代入y1x2(2m4)xm24m中，得1(2m4)m24m0，解得m1或3，当m1时，抛物线y1的解析式为y1x26x5；当m3时，抛物线y1的解析式为y1x22x3；抛物线y1的解析式为y1x26x5或y1x22x3；(2)令y10，有x2(2m4)xm24m0，即(xm)x(m4)0.解得x1m，x2m4，点A的坐标为(m，0)，点B的坐标为(m4，0)令
23、y1x2(2m4)xm24m中x0，则y1m24m，C(0，m24m)AOCCOB，.当A、B在y轴左侧时，OAm，OBm4，OCm24m，.m24m1，即点C的坐标为(0，1)；当A、B在y轴异侧时，OAm，OBm4，OCm24m，.m24m1，即点C的坐标为(0，1)；当A、B在y轴右侧时，OAm，OBm4，OCm24m，.m24m1，即点C的坐标为(0，1)综上所述，当AOCCOB时，点C的坐标为(0, 1)或(0，1)；(3)当m3时，y1x(m2)24(x1)24，令y10，得(x1)240，解得x13，x21，A(3，0)，B(1，0)当x2时，y1(21)243，点P的坐标为(2
24、，3)y1向右平移n1(n为正整数)个单位得到抛物线yn，ynx1(n1)24(x2n)24，当x2时，yn(x2n)24n24.点R的坐标为(2，n24)S四边形PARBSPABSRAB344(n24)70，解得n6.n为正整数，n6.4. 解：(1)A1(1，0)、A2(3，0)、A3(7，0)、B1(，)、B2(2，)、B3(5，2)；(2)设抛物线y1的解析式为y1ax(x1)，把B1(，)代入y1，中，解得a2，y12x22x.同理可得y2x24x3；(3)四边形A2018A2019B2019A2019是菱形，由折叠性质可知，A2018B2019A2019是等边三角形，A2018A2
25、019B2019是等边三角形，A2019B2019B2019A2019A2018A2019A2018A2019，四边形A2018A2019B2019A2019是菱形；(4)Bn1Bn1D是等边三角形由题意可得：Bn1(32n31，2n3)、Bn1(32n11，2n1)，过点Bn1作Bn1EBn1D交Bn1D于点E，Bn1Bn1D是等边三角形Bn1EDE.Bn1E32n11(32n31)92n3.DE32n3.Bn1D2DE32n2.5. 解：(1)4；【解法提示】抛物线C1y1a(x1)2k1(a0)，交x轴于点M(2，0)和点A1(b1，0)，抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交
26、点为(4，0)，b14.(2)2；【解法提示】同(1)可知，b26，b38，b410，按此规律得bn2n2，An1Anbnbn12n22(n1)22.(3)3，25a；n，(n2)2a；【解法提示】y3a(xb2)2k3交x轴于点M(2，0)和点A3(b3，0)，b26，0a(23)2k3，k325a，抛物线C3的顶点坐标为(3，25a)；bn12n，第n条抛物线的对称轴为直线xn，0a(2n)2kn，kn(n2)2a，第n条抛物线Cn的顶点坐标为n，(n2)2a(4)存在，理由如下：抛物线C10y10a(x10)2144a，顶点坐标N为(10，144a)，点A10 的坐标为(22，0)，|M
27、A10|24.MNA10是等腰直角三角形，|144a|24.解得a.存在a使MNA10为等腰直角三角形6. 解：(1)22d，2d，22d；顶点B1，B2，Bn都在直线yx上，当xn时，yn.由可知，当n为奇数时，AnAn122d，当n为偶数时，AnAn12d.当d0.4时，只要满足nAnAn1(22d)0.6，或nAnAn12d0.4时，AnAn1Bn是直角三角形解得n3或n2.(2)A1A2B1是直角三角形，A1A222d，抛物线y1的顶点B1的坐标为(1，1d)设二次函数y1的解析式为y1a1(x1)21d，抛物线y1过点A1(d，0)，将A1的坐标代入得a1，二次函数y1的解析式为y1
28、(x1)21d.同理，A2A3B2是直角三角形，A2A32d，抛物线y2的顶点B2的坐标为(2，d)设二次函数y2的解析式为y2a2(x2)2d，抛物线y2过点A2(2d，0)，将A2的坐标代入得a2，二次函数y2的解析式为y2(x2)2d.猜想二次函数y2019的解析式为y2019(x2019)21d.通过以上探究，画出草图，可知：当0d时，直线y与y1，y2，y2019的公共点个数为2020个；当d时，直线y与y1，y2，y2019的公共点个数为2019个；当d1时，直线y与y1，y2，y2019的公共点个数为2018个类型二与图形变换有关的探究问题1. 解：(1)抛物线M的顶点为B(0，
29、1)，可设抛物线M的函数表达式为yax21.抛物线M经过点A(1，0)，a(1)210，解得a1.抛物线M的函数表达式为yx21；(2)(2t，1)；由可知抛物线M1的顶点B1的坐标为(2t，1)，抛物线M1的函数表达式为y(x2t)21(t0)当抛物线M1经过点A(1，0)时，(12t)210，解得t11，t20.当抛物线M1经过点B(0，1)时，(02t)211，解得t.如解图，结合函数图象分析，t0，当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围是0t.第1题解图2. 解：(1)(1，4)；【解法提示】当a1时，抛物线C1的解析式为yx22x3(x1)24，抛物线C1的顶点坐标为(1，4
30、)；yx22x3；(2) 将yax22ax3变形，得yax(x2)3，抛物线C1总经过定点(2，3)yax22ax3与y轴交于点(0，3)，且EF的长度不变，当y3时，EF的长为2，即当m3时，线段EF的长恒为2；(3)存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形理由如下：易得抛物线C1：yax22ax3的顶点坐标为(1，a3) .由(2)知EF2，点E、F均在直线y3上，根据翻折的性质可知P、Q两点关于EF对称，即P、Q在EF的两侧，故要使E，F，P，Q四点构成的四边形为正方形，需满足PQ2，即点P到直线y3的距离为1，|(a3)(3)|1，|a|1，解得a1或a1.3. 解：(
31、1)(1，4m1)，1x3；(2)四边形AMDN是矩形；(3)ymx22mx3m1m(x3)(x1)1，当x3或1时，y1.故抛物线L1恒经过定点(3，1)或(1，1)；ym(x3)24m1m(x5)(x1)1，当x5或1时，y1.故抛物线L2恒经过定点(5，1)或(1，1)；抛物线L1经过定点(3，1)或(1，1)与抛物线L2经过定点(5，1)或(1，1)，设E为(3，1)，F为(1，1)，G为(5，1)，H为(1，1)，则组成的四边形EFGH是平行四边形，如解图，另设平移的距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得4222(4x)2，解得x42，故抛物线L2应平移的距离是42或42.第
32、3题解图4. 解：(1)(1，0)；【解法提示】观察表格可知，抛物线上的点(3，4)与点(1，4)关于对称轴对称，抛物线的对称轴为直线x1，顶点P的坐标为(1，0)(2)设抛物线C1的解析式为y1a(x1)2，把(2，1)代入得到a1，抛物线C1的解析式为y1(x1)2.将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，根据对称性可知，抛物线C2的顶点为(1，0)，a1，抛物线C2的解析式为y2(x1)2；(3)抛物线C2向下平移过程中，对称轴为直线x1，当A、B之间的距离为6时，可知A(4，0)，B(2，0)，此时抛物线C2的解析式为y(x4)(x2)即y(x1)29，抛物线C2至少向下平移9个单位，
33、才能使点A、B之间的距离不小于6个单位；mn2.【解法提示】抛物线C2向下平移m(m0)个单位后的解析式为y(x1)2m，令y0，解得x1，A(1，0)，B(1，0)nAB2.mn2.5. 解：(1)依题意得抛物线m的解析式为y(x1)24，C(0，3)，直线CD的解析式为y3.由y(x1)24与y3联立解得x0(舍去)或2，D(2，3)抛物线y(x1)24如解图所示； 第5题解图(2)由(x1)240，解得x11，x2 3，A(1，0)A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为平行四边形一边时，AEPD，P1(0，3)；当AE为对角线时，根据平行四边形对角的顶点到另一条对角线距离相等，可
34、知点P、点D到直线AE(即x轴)的距离相等，D(2，3)，即点D到x轴的距离为3，点P的纵坐标为3.3(x1)24.解得x31，x41，点P的坐标为(1，3)或(1，3)综上所述，满足条件的点P的坐标为(0，3)，(1，3)，(1，3)；(3)存在满足条件的点M.理由如下：如解图，设直线MN交x轴于F，假设点N在x轴上，第5题解图依题意得，点M在直线CD下方，设CNa，M是抛物线上一动点，点M的坐标为(a，a22a3)，MN3(a22a3)a22a.由折叠性质得CMNCMN，NCNM90 , CNCNa ，MNMNa22a，CNOFNM90.OCNCNO90，FNMOCN.又CONNFM90，
35、CONNFM，NF3a6，ONOFNFa(3a6)62a，在RtCON中，CON90，CO2ON2NC2.32(62a)2a2，解得a3或5，点M的坐标为(3，0)或(5，12)6. 解：(1)抛物线y1ax22的顶点为点P，点P的坐标为(0，2)又sinABP，BP22.在RtOBP中，由勾股定理可得OB4.A(4，0)，B(4，0)将A(4，0)代入y1ax22中，解得a，抛物线L1的解析式为y1x22；(2)如解图，过点C作CEx轴于点E，由题意得SAODSABC，AB2OA，第6题解图SAODAOOD，SABCABCE.即AOODABCE.CEx轴，DOx轴，AODAEC，.OA4，A
36、E10.OE6.在y1x22中，令x6，得y.C(6，)设直线AC的解析式为ykxb，将A(4，0)，C(6，)代入得解得直线AC的解析式为yx1；(3)将抛物线L1绕点P逆时针旋转180得到抛物线L2的解析式为y2x22，当BDM为直角三角形时，分两种情况讨论：()当BD为直角边时，直线AC的解析为yx1，D(0，1)B(4，0)，易得直线BD的解析式为yx1，当MDB90时，即DMDB，设直线DM的解析式为y4xm，代入D(0，1)得y4x1，联立得解得x1162，x2162；当DBM90时，即BDBM，设直线BM的解析式为y4xn，代入B(4，0)得y4x16，联立解得x3164，x41
37、64.()当BD为斜边时，RtBDM不存在；综上所述，当点M的横坐标为162或162或164或164时，BDM为直角三角形类型三二次函数性质的探究问题1. 解：(1)当x0时，y.A(0，)点A向右平移2个单位长度得到点B，B(2，)；(2)点B(2，)在抛物线上，a22b2.b2a.对称轴为直线x1；(3)由(2)知b2a.yax2bxax22ax.当a0时，在yax22ax中，当x时，ya.a，点P(，)在抛物线的上方当x2时，y.2，点Q(2，2)在抛物线的上方抛物线与线段PQ没有公共点，故此情况舍去当a0时，a，点P(，)在抛物线的下方当2，即a时，Q(2，2)在抛物线上方，此时抛物线
38、与线段PQ恰好有一个公共点综上所述，a的取值范围是a.2. 解：(1)将x1，y4代入yx2(2m1)xm21，得m22m30.解得m1或m3.当m1时，yx23x，其顶点坐标为(，)；当m3时，yx25x8，其顶点坐标为(，)；(2)方法1：设顶点坐标为(x，y)，则xm，ym，顶点坐标为(m，m)方法2：yx2(2m1)xm21x2(2m1)x()2m21()2(x)2，顶点坐标为(m，m)证明：yx，不论m为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l：yx上(3)是将yx代入yx2(2m1)xm21得x22mxm20(xm)2xm.l与抛物线的交点坐标分别为A(m，m)，B(m，m)AB .3. 解：(1)当b2，c3时，二次函数的解析式为yx22x3(x1)24，故二次函数的顶点坐标为(1，4)；(2)当c10时，二次函数的解析式为yx2bx10，由题意得，x2bx101有两个相等的实数根，b24acb2360，解得b16，b26，二次函数的解析式为yx26x10或yx26x10；(3)当cb2时，二次函数解析式为yx2bxb2，图象开口向上，对称轴为直线x，当对称轴在取值范围的左边，即b，b0时，在自变量x的值满