1、1初中数学北师大版九年级上册单元综合练习第一章 特殊平行四边形 单元综合练习满分 100分,限时 60分钟一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)1.如图 1-4-1,在菱形 ABCD 中,AB=5,BCD=120,则ABC 的周长等于( )图 1-4-1A.20 B.15 C.10 D.5答案 B 四边形 ABCD 是菱形,AB=BC,ABCD,B+BCD=180,B=180-BCD=180-120=60,ABC 是等边三角形,故ABC 的周长=3AB=15.2.如图 1-4-2,在ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,则下列结论不一定成立的是( )图 1-4-
2、2A.BO=DO B.CD=ABC.BAD=BCD D.AC=BD答案 D 根据平行四边形的对角线互相平分,得 BO=DO,选项 A 不符合题意;根据平行四边形的对边相等,2得 AB=CD,选项 B 不符合题意;根据平行四边形的对角相等,得BAD= BCD,选项 C 不符合题意;而选项 D中“AC=BD” 说明对角线相等 ,平行四边形没有这一性质,因此选项 D 符合题意.故选 D.3.菱形的两条对角线分别是 12 和 16,则此菱形的边长是( )A.10 B.8 C.6 D.5答案 A 如图,在菱形 ABCD 中,AC=12,BD=16,OA= AC=6,OB= BD=8,12 12AB= =
3、10.2+2即菱形的边长是 10.故选 A.4.下列命题中错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直C.同旁内角互补D.矩形的对角线相等答案 C 选项 A,由平行四边形的性质可知,正确;选项 B,菱形的对角线互相垂直,正确;选项 C 错误,反例:任意一个三角形都有三对同旁内角,但每对同旁内角都不互补;选项 D,矩形的对角线相等,正确,故选 C.5.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,如图 1-4-3.人们将等宽红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前.红丝带重叠部分形成的图形是( )3图 1-4-3A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形答案 C 过点
4、 A 作 AEBC 于 E,AFCD 于 F,由题意知 ABCD,ADBC,AE=AF,四边形 ABCD 是平行四边形.S ABCD=BCAE=CDAF,又AE=AF,BC=CD,平行四边形 ABCD 是菱形.故选 C.6.如图 1-4-4,正方形 ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上两点,连接 BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:ABE=CBF;AE=CF;AB=AF;BE=BF. 可以判定四边形 BEDF 是菱形的条件有( )图 1-4-4A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案 C 连接 BD,交 AC 于点 O,在正方形 ABCD 中,AB=BC,BAC= ACB,A
5、CBD,OB=OD,在ABE 与 CBF 中,ABECBF(ASA),=,=,=,AE=CF,OA=OC,OE=OF,又ACBD,四边形 BEDF 是菱形,故正确.在正方形 ABCD 中,OA=OB=OC=OD,AE=CF,OE=OF,又 EFBD,BO=OD,四边形 BEDF 是菱形,故正确.由 AB=AF 不能推出四边形 BEDF 是菱形,故错误.在正方形 ABCD 中,OA=OC=OB=OD,ACBD,BE=BF,EFBD,OE=OF,四边形BEDF 是菱形,故正确.故选 C.7.如图 1-4-5,在ABC 中,ACB=90,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点
6、E,且 BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是( )4图 1-4-5A.BC=AC B.CFBFC.BD=DF D.AC=BF答案 D 由 BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E 可以证明 BE=CE,BF=CF,再由 BE=BF 可得BE=CE=BF=CF,所以四边形 BECF 是菱形.由 BC=AC 得ABC=45,所以 EBF=90,从而可证四边形 BECF 是正方形;由 CFBF 可得CFB=90,从而可证四边形 BECF 是正方形;由 BD=DF 可得 BC=EF,从而可证四边形 BECF是正方形;只有选项 D 不能证明四边形 B
7、ECF 是正方形.故选 D.8.如图 1-4-6,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8,DB=6,DEBC 于点 E,则 DE 的长为( )图 1-4-6A. B. C.12 D.24245 125答案 A 四边形 ABCD 是菱形,AC 与 BD 互相垂直平分,由勾股定理得 BC=5,S 菱形 ABCD=BCDE= ACBD=24,12DE= .故选 A.2459.如图 1-4-7 所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为 120的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )图 1-4-75A.15或 30 B.30或 45C.45或 60 D.30或 60
8、答案 D 画出示意图如图.四边形 ABCD 是菱形,ABD= ABC,BAC= BAD,ADBC,12 12BAD=120, ABC=180-BAD=180-120=60,ABD=30, BAC=60.剪口与第二次折痕所成的角的度数应为 30或 60.故选 D.10.如图 1-4-8,E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点,且 CE=DF,AE、BF 相交于点 O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AEBF;(3)AO=OE;(4)SAOB=S 四边形 DEOF,其中正确的有 ( )图 1-4-8A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个答案 B 四边形 ABCD 为正方
9、形,AB=AD=DC,D= BAD=90,CE=DF,DE=AF, DEAAFB,AE=BF,DEA= AFB,又 DEA+DAE=90,AFB+DAE=90,AOF=90,即 AEBF.由 DEAAFB得 SDEA=SAFB,S DEA-SAOF=SAFB-SAOF,S AOB=S 四边形 DEOF,所以正确的是(1)(2)(4),共 3 个,故选 B.二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)611.如图 1-4-9,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,不添加任何辅助线,请添加一个条件: ,使四边形 ABCD 是正方形(填一个即可). 图 1-4-9答
10、案 AC=BD(或ABC=90等 )12.如图 1-4-10,O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,M 是 AD 的中点,若 AB=5,AD=12,则四边形 ABOM 的周长为 . 图 1-4-10答案 20解析 在 RtABC 中,由勾股定理得 AC=13.由矩形的性质得 AO=BO= AC= ,又 OM 是ACD 的中位线,所以 OM=12 132CD= ,所以四边形 ABOM 的周长为 AB+BO+OM+AM=5+ + +6=20.12 52 1325213.如图 1-4-11,四边形 ABCD 是菱形,O 是两条对角线的交点,过 O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分,当菱形
11、的两条对角线的长分别为 6 和 8 时,阴影部分的面积为 . 图 1-4-11答案 12解析 菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8,7菱形的面积= 68=24.O 是菱形两条对角线的交点,阴影部分的面积= 24=12.12 1214.如图 1-4-12,在ABC 中, 点 D 是 BC 的中点,点 E、F 分别在线段 AD 及其延长线上,且 DE=DF,给出下列条件:BE EC;BF CE;AB=AC. 从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形,你认为这个条件是 .(填序号) 图 1-4-12答案 解析 需添加条件,理由:点 D 是 BC 的中点,BD=DC,DE=DF,四边形 BECF
12、为平行四边形,AB=AC,D 是 BC 的中点,ADBC,平行四边形 BECF 为菱形,故答案为.15.如图 1-4-13,两个完全相同的三角尺 ABC 和 DEF 在直线 l 上滑动.要使四边形 CBFE 为菱形,还需添加的一个条件是 (写出一个即可). 图 1-4-13答案 CB=BF 或 BECF 或EBF=60或 BD=BF(答案不唯一)解析 由已知得 CBEF,CB=EF,四边形 CBFE 是平行四边形.因此可以添加 CB=BF,BECF,EBF=60或BD=BF 等,都能说明四边形 CBFE 是菱形.16.如图 1-4-14,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,在 CD 上任
13、取一点 E,连接 BE,将BCE 沿 BE 折叠,使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处,则 CE 的长为 . 8图 1-4-14答案 53解析 设 CE=x,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,AD=BC=5,CD=AB=3,则 ED=3-x.由折叠的性质可知,BF=BC=5,FE=CE=x.在 RtABF 中,AF= =4,FD=5-4=1.在 RtDEF 中,有 DF2+DE2=EF2,即 12+(3-x)2 =x2,解得 x= ,即 CE 的长为 .523253 5317.如图 1-4-15,菱形 ABCD 的面积为 120 cm2,正方形 AECF 的面积为 50 cm2,
14、则菱形的边长为 cm. 图 1-4-15答案 13解析 连接 BE,EF,FD,AC,菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,B,E,F,D 在同一条直线上,S 正方形 AECF= ACEF= AC2=50 cm2,12 12AC=10 cm,S 菱形 ABCD= ACBD=120 cm2,12BD=24 cm.9设 AC,BD 的交点为 O,由菱形的性质可得 ACBD,AO=5 cm,OB=12 cm,AB= = =13 cm.2+2 52+12218.如图 1-4-16,在四边形 ABCD 中,AC=BD=6,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,连接 EG,
15、HF 交于点 O.则EG2+FH2= . 图 1-4-16答案 36解析 连接 EF,FG,GH,HE,点 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,EFAC GH,EF=GH= AC=3,12EHBDFG,EH=FG= BD=3,12EF=FG=GH=EH,四边形 EFGH 是菱形.EGFH,OE=OG,OH=OF.EG 2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36.三、解答题(共 46 分)19.(8 分)如图 1-4-17,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 AB、BC 上,AF=DE,AF 和 DE 相交于点 G
16、.10(1)观察图形,写出图中所有与AED 相等的角;(2)选择图中与AED 相等的任意一个角 ,并加以证明.图 1-4-17解析 (1)如图,与AED( 1)相等的角是3、2、4.(2)选择1= 2.在正方形 ABCD 中,DAB= B=90,AD=AB,又AF=DE,RtADERtBAF.1=2.选择1=4.在正方形 ABCD 中,ABCD,1=4.选择1=3.同可证 RtADERtBAF. 1=2.在正方形 ABCD 中,ADBC,3=2.1=3.20.(8 分)如图 1-4-18,已知四边形纸片 ABCD 中,ADBC,点 E 是 BC 边上的一点,将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好落
17、在 AD 边上的点 F 处,连接 EF.求证:四边形 ABEF 是菱形.11图 1-4-18证明 AFBE, 1=2.由折叠知1=3,AB=AF.2=3,AB=BE,AF=BE.AF BE,四边形 ABEF 是平行四边形 .AB=AF,ABEF 是菱形.21.(10分)如图 1-4-19,ABCD,点 E、F 分别在 AB、CD 上,连接 EF.AEF、 CFE 的平分线交于点G,BEF、DFE 的平分线交于点 H.图 1-4-19(1)求证:四边形 EGFH 是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过 G 作 MNEF,分别交 AB、CD 于点 M、N,过 H 作 PQEF,分
18、别交AB、CD 于点 P、Q,得到四边形 MNQP.此时,他猜想四边形 MNQP 是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.12解析 (1)证明:EH 平分BEF,FEH= BEF.12FH 平分DFE,EFH= DFE.12ABCD,BEF+DFE=180,FEH+EFH= (BEF+DFE)= 180=90,12 12又FEH+EFH+EHF=180,EHF=180-( FEH+EFH)=180-90=90.同理可证,EGF=90.EG 平分AEF, FEG= AEF.12EH 平分BEF, FEH= BEF.12点 A、E、B 在同一条直线上,AEB=180, 即 AEF+BEF=180.
19、FEG+FEH= (AEF+BEF)= 180=90,12 12即GEH=90.四边形 EGFH 是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案仅供参考.13例如,FG 平分CFE;GE=FH; GME=FQH;GEF=EFH.22.(10 分)(1)如图 1-4-20,纸片ABCD 中,AD=5,S ABCD=15.过点 A 作 AEBC,垂足为 E,沿 AE 剪下ABE,将它平移至DCE的位置,拼成四边形 AEED,则四边形 AEED 的形状为( )A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形(2)如图 1-4-21,在(1)的四边形纸片 AEED 中,在 EE上取一点 F,使 EF=4,剪下A
20、EF,将它平移至 DEF的位置,拼成四边形 AFFD.求证:四边形 AFFD 是菱形;求四边形 AFFD 的两条对角线的长.图 1-4-20 图 1-4-21 解析 (1)C.(2)证明:AD=BC=5,S ABCD=15,AEBC,AE=3.如图,EF=4,在 RtAEF 中,AF= = =5.2+2 32+42AF=AD=5.又AEF 经平移得到DEF,AFDF,AF=DF,四边形 AFFD 是平行四边形.又 AF=AD,四边形 AFFD 是菱形.14如图,连接 AF,DF.在 RtDEF 中,EF=EE-EF=5-4=1,DE=3,DF= = .12+32 10在 RtAEF中,EF=E
21、E+EF=5+4=9,AE=3,AF= =3 .32+92 10四边形 AFFD 的两条对角线长分别为 ,3 .10 1023.(10 分)如图 1-4-22,在 RtABC 中,ACB=90,过点 C 的直线 MNAB,D 为 AB 边上一点,过点 D 作 DEBC,交直线 MN 于 E,垂足为 F,连接 CD、BE.(1)求证:CE=AD;(2)当 D 为 AB 的中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若 D 为 AB 的中点,则当A 的大小满足什么条件时,四边形 BECD 是正方形?请说明理由.图 1-4-22解析 (1)证明:DEBC,DFB=90, ACB=90,ACB=DFB,ACDE, 又MN AB,即 CEAD,四边形 ADEC 是平行四边形,CE=AD.(2)四边形 BECD 是菱形,15理由:D 为 AB 的中点,AD=BD,CE=AD,BD=CE,BDCE, 四边形 BECD 是平行四边形.ACB=90,D 为 AB 的中点 ,CD=BD,四边形 BECD 是菱形.(3)当A=45 时,四边形 BECD 是正方形.理由如下:ACB=90, A=45,ABC=A=45,AC=BC,D 为 AB 的中点,CDAB,CDB=90,四边形 BECD 是菱形,四边形 BECD 是正方形.