1、1初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第 3课时 矩形的性质与判定测试时间:15 分钟一、选择题1.在四边形 ABCD中,AC、BD 交于点 O,在下列各组条件中,不能判定四边形 ABCD为矩形的是( )A.AB=CD,AD=BC,AC=BD B.AO=CO,BO=DO,BAD=90C.BAD=BCD,ABC+BCD=180,ACBD D.BAD=ABC=90,AC=BD答案 C AB=CD,AD=BC,四边形 ABCD是平行四边形,又AC=BD,四边形 ABCD是矩形,A 能判定四边形 ABCD为矩形;AO=CO,BO=DO,四边形 ABCD是平行四边形,又B
2、AD=90, 四边形 ABCD是矩形,B 能判定四边形 ABCD为矩形;ABC+BCD=180,ABDC,BAD=BCD,ABC+ BAD=180,ADBC, 四边形 ABCD是平行四边形,又AC BD, 四边形 ABCD是菱形,C 不能判定四边形 ABCD为矩形;BAD=ABC=90,BAD+ABC=180,ADBC.在 RtABC 和 RtBAD 中, =,=,RtABCRtBAD(HL),2BC=AD,四边形 ABCD是平行四边形,又BAD=90, 四边形 ABCD是矩形,D 能判定四边形 ABCD为矩形.故选 C.2.如图,在矩形 ABCD中,点 O为对角线的交点,E 为 BC的中点,
3、OE=3,AC=12,则 AD=( )A.6 B.8 C.6 D.63 2答案 A 四边形 ABCD为矩形,AD=BC,OB=OC= AC=6.12OB=OC,BE=EC,OEBC.EC= =3 .22 3BC=2EC=6 .故选 A.3二、填空题3.如图,矩形 ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是 86厘米,矩形的周长是 30厘米,则对角线的长是 厘米. 答案 14解析 四边形 ABCD是矩形,AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,OD=OB,AO=OC=OD=OB,矩形 ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是 86厘米,OA+OD+AD+
4、OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=86 厘米,即 8OA+2AB+2BC=86厘米,矩形 ABCD的周长是 30厘米,2AB+2BC=30 厘米,8OA=56 厘米,3OA=7 厘米,则 AC=BD=2OA=14厘米.故答案为 14.4.如图,在矩形 ABCD中,对角线 AC、BD 相交于点 O,若 AE平分BAD 交 BC于点 E,且 BO=BE,连接 OE,则BOE= . 答案 75解析 四边形 ABCD是矩形,ADBC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,BAD=90,OA=OB,DAE= AEB,AE 平分BAD, BAE=DAE=45,BAE=AEB=45,AB=
5、BE,BO=BE,AB=BO=OA,BAO 是等边三角形,ABO=60,OBE=90-60=30, 又OB=BE,BOE=BEO= (180-30)=75.12三、解答题5.已知:如图,在ABC 中,D 是 BC边上的一点,连接 AD,取 AD的中点 E,过点 A作 BC的平行线与 CE的延长线交于点 F,连接 DF.(1)求证:AF=DC;(2)当 AD与 CF满足什么条件时,四边形 AFDC是矩形?并说明理由.解析 (1)证明:AFBC,AFE=DCE,E 为 AD的中点,AE=DE,4在AEF 和DEC 中, =,=,=, AEFDEC(AAS),AF=DC.(2)当 AD=CF时,四边形 AFDC是矩形.理由如下:由(1)得:AF=DC,又AFDC,四边形 AFDC是平行四边形,又AD=CF,四边形 AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).6.在 RtABC 中,ACB=90,D 是 AB的中点,DE 平分ADC,DF 平分 BDC,那么 EF=DC吗?试说明理由.解析 EF=DC.理由如下:ACB=90,D 是 AB的中点 ,DC=AD=DB= AB,12DE 平分ADC,DF 平分 BDC,DEAC,DF BC,ADE=EDC,CDF=BDF,又ADC+BDC=180,EDC+CDF= 180=90.12四边形 ECFD是矩形,EF=DC.