1、2018-2019学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）抛物线y24x的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（2，0）D（0，2）2（4分）直线2x+y20在x轴上的截距为（）A1B2C1D23（4分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR34（4分）已知平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB5（4分）长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，AD2，AA11，则异面直线A1B
2、1与AC1所成角的余弦值为（）ABCD6（4分）空间中，是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（）A若，l，则lB若，l，则lC若l，l，则D若l，l，则7（4分）已知直线l1：x+my+70和l2：（m2）x+3y+2m0互相平行，则实数m（）Am1或3Bm1Cm3Dm1或m38（4分）若圆x2+y22ax+3by0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b0一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9（4分）在RtABC中，ABAC1，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（）ABCD10（4分）如图，在长方形A
3、BCD中，AB，BC1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）ABCD二、填空原（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，第15-17题，每题4分，共36分）11（6分）已知双曲线1，则该双曲线的渐近线方程为 ，焦点坐标为 12（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 13（6分）已知点A（2，0），B（0，1）在椭圆C：+1（ab0）上，则椭圆C的方程为 ，若直线yx交椭圆C于M，N两点，则|MN| &n
4、bsp; 14（6分）抛物线C：y22x的准线方程是 ，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则|AF|+|BF| 15（4分）已知F1F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，P是其渐近线在第一象限内的点，点Q在双曲线上，且满足0，4，则双曲线的离心率为 16（4分）如图，直线l平面，垂足为O，已知ABC中，ABC为直角，AB2，BC1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）Al，（2）B则C、O两点间的最大距离为 17（4分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点
5、P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|m的点P的个数为6，则m的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）点P为两直线l1：3x+4y20和l2：2x+y+20的交点（1）求过P点且与直线3x2y+40平行的直线方程；（2）求过原点且与直线l1和l2围成的三角形为直角三角形的直线方程19（15分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直BECF，BCF90，AD，AB1，CF3，EF2（1）求证：DF平面ABE；（2）求二面角DEFC的余弦值20（15分）如图，设ABC是边长为2的正
6、三角形，DC平面ABC，EADC，若EA：AB：DC2：2：1，F是BE的中点（1）证明：FD平面ABE；（2）求CE与平面EAB所成角的正弦值21（15分）已知过点A（0，4），且斜率为k的直线与圆C：（x2）2+（y3）21，相交于不同两点M、N（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求k的值，若不存在，说明理由22（15分）已知抛物线C：y24x，过抛物线C的焦点F作互相垂直的两条直线AB，CD，与抛物线C分别相交于A，B和C，D，点A，C在x轴上方（1）若直线AB的倾斜角为60，求|AB|的值；（2）设AFC与BF
7、D的面积之和为S，求S的最小值2018-2019学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）抛物线y24x的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（2，0）D（0，2）【分析】由抛物线y22px的焦点坐标为（，0），即有p2，即可得到焦点坐标【解答】解：由抛物线y22px的焦点坐标为（，0），即有抛物线y24x的2p4，即p2，则焦点坐标为（1，0），故选：A【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题2（4分）直线2x+y20在x轴上的截距为
8、（）A1B2C1D2【分析】直线方程为2x+y20令y0得x1，得到直线2x+y20在x轴上的截距即可【解答】解：因为直线方程为2x+y20，令y0得x1所以直线2x+y20在x轴上的截距为1，故选：C【点评】本题考查直线的横截距的求法：只需令y0求出x即可，本题如求直线的纵截距，只需令x0求出y即可，属于基础题3（4分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR3【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积【解答】解：2rR，所以r，则h，所以V故选：A【点评】本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求
9、法，考查计算能力4（4分）已知平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB【分析】根据平面的法向量与空间向量的共线关系，即可判断直线AB与平面垂直【解答】解：平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），即直线AB与平面垂直故选：A【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量共线问题，是基础题5（4分）长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，AD2，AA11，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】由A1B1AB，得BAC1是异面直线A1B1与AC1所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线
10、A1B1与AC1所成角的余弦值【解答】解：A1B1AB，BAC1是异面直线A1B1与AC1所成角（或所成角的补角），长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，AD2，AA11，AC1，BC1，cosBAC1异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题6（4分）空间中，是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（）A若，l，则lB若，l，则lC若l，l，则D若l，l，则【分析】根据空间线面关系，线线关系，面面关系的定义，几何特征，性质及判定方法，逐一
11、判断四个答案中的结论的真假，即可得到答案【解答】解：若，l，则l与可能平行也可能相交，故A错误；若，l，则l或l，故B错误；若l，则存在直线m，使得lm，又由l可得m，故，故C正确；若l，l，则与可能平行也可能相交（此时交线与l平行）故选：C【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键7（4分）已知直线l1：x+my+70和l2：（m2）x+3y+2m0互相平行，则实数m（）Am1或3Bm1Cm3Dm1或m3【分析】由m（m2）30，解得m经过验证即可得出【解答】解：由m（m2）30，解得m3或1经
12、过验证都满足两条直线平行，m3或1故选：A【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（4分）若圆x2+y22ax+3by0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b0一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由已知圆的圆心在第三象限，建立关于a、b的不等式组解出a0且b0，由此算出直线x+ay+b0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点，可得它不经过第四象限【解答】解：圆x2+y22ax+3by0的圆心为（a，）圆心位于第三象限，得a0且0，解得a0且b0又直线x+ay+b0，在x轴的截距为b0，在y轴的截距为0直线x+ay+b0经过x轴负半
13、轴一点和y轴正半轴一点由此可得直线经过一、二、三象限，不经过第四象限故选：D【点评】本题给出含有参数a、b的圆的圆心在第三象限，求直线x+ay+b0经过的象限着重考查了直线的方程、圆的方程等知识，属于基础题9（4分）在RtABC中，ABAC1，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（）ABCD【分析】设另一焦点为D，则可再RtABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC4a求得a再利用AC+AD2a求得AD最后在RtACD中根据勾股定理求得CD，得到椭圆半焦距，进一步求得离心率【解答】解：设另一焦点为D，RtABC中，A
14、BAC1，BC，AC+AD2a，AC+AB+BC1+1+4a，a，又AC1，AD在RtACD中焦距CD，则c，故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系是关键，是中档题10（4分）如图，在长方形ABCD中，AB，BC1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）ABCD【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA90，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径
15、，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度【解答】解：由题意，将AED沿AE折起，使平面AED平面ABC，在平面AED内过点D作DKAE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA90，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK，取O为AD的中点，得到OAK是正三角形故K0A，K0D'，其所对的弧长为，故选：D【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变本题是一个中档题目二、填空原（本大题共7小题，第1
16、1-14题，每题6分，第15-17题，每题4分，共36分）11（6分）已知双曲线1，则该双曲线的渐近线方程为yx，焦点坐标为（，0）【分析】利用双曲线方程求解双曲线的渐近线方程；以及焦点坐标【解答】解：双曲线1，可得a2，b，c，则该双曲线的渐近线方程为：yx焦点坐标为：（，0）故答案为：yx；（，0）【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，考查计算能力12（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为8+4【分析】首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和表面积公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图，复原为几何体是：下底为边长为2的长
17、方形，高为2的四棱锥体，几何体的体积为：V几何体的表面积为：S8+4，故答案为：，8+4【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主要考察几何体的体积公式的应用和相关的运算问题的应用，属于基础题型13（6分）已知点A（2，0），B（0，1）在椭圆C：+1（ab0）上，则椭圆C的方程为+y21，若直线yx交椭圆C于M，N两点，则|MN|【分析】由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，求解即可【解答】解：由题意可知：椭圆C：+1（ab0）上，由点A（2，0），B（0，1），焦点在x轴上，则a2，b1，椭圆
18、的标准方程：；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得2x24，则x1，x2，y1，y2，则|MN|故答案为：；【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题14（6分）抛物线C：y22x的准线方程是x，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则|AF|+|BF|9【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|转化为|AM|+|BN|，再转化为2|PK|，从而得出结论【解答】解：抛物线C：y22x的准线方程是x，它的焦点F（，0）
19、过A作AM准线，BN准线，PK准线，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|AF|+|BF|再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）|PK|，|AF|+|BF|9，故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的定义性值以及标准方程的应用，属于中档题15（4分）已知F1F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，P是其渐近线在第一象限内的点，点Q在双曲线上，且满足0，4，则双曲线的离心率为2【分析】由，可得P（a，b），由4，即可得，解得2ac，即可【解答】解：由依题意可得点P的坐标满足，P（a，b），4，（ca，b）4（xQa，yQb），解得2ac，双曲线的离心率为e，故答案
20、为：2【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线的离心率的求法，考查运算能力，属于中档题16（4分）如图，直线l平面，垂足为O，已知ABC中，ABC为直角，AB2，BC1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）Al，（2）B则C、O两点间的最大距离为【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图设ABO，C（x，y），C、O两点间的最大距离表示成2sin（2+）+3，最后结合三角函数的性质求出其最大值即可【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图设ABO，C（x，
21、y），则有：xABcos+BCsin2cos+sin，yBCcoscosx2+y24cos2+4sincos+12cos2+2sin2+32sin（2+）+3，当sin（2+）1时，x2+y2最大，为2+3，则C、O两点间的最大距离为故答案为：【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值17（4分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|m的点P的个数为6，则m的取值范围是（2，2）【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短
22、半轴长不大于，能求出m的范围【解答】解：|PA|+|PC1|m|AC1|，m，正方体的棱长为2，正方体的面的对角线的长为：，点P的个数为6，b，短半轴长b，解得m2，m的取值范围是（2，2）故答案为：（2，2）【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）点P为两直线l1：3x+4y20和l2：2x+y+20的交点（1）求过P点且与直线3x2y+40平行的直线方程；（2）求过原点且与直线l1和l2围成的三角形为直角三角形的直线方程【分析】（1）解
23、方程组，求出点P（2，2），由此能求出求过P点且与直线3x2y+40平行的直线方程（2）l1和l2不垂直，符合条件的直线可以与l1，l2任一直线垂直，由此能求出所求的直线方程【解答】解：（1）解方程组，得，点P（2，2），直线3x2y+40的斜率为，过P点的直线为y2（x+2），即3x2y+100（2）l1的斜率k1，l2的斜率k22，l1和l2不垂直，符合条件的直线可以与l1，l2任一直线垂直，斜率为或，直线方程为4x3y0或x2y0【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（15分）如图，矩形ABC
24、D和梯形BEFC所在平面互相垂直BECF，BCF90，AD，AB1，CF3，EF2（1）求证：DF平面ABE；（2）求二面角DEFC的余弦值【分析】（1）在BE上取点H，使得BHCF，可得四边形BCFH为矩形，得到FHBC，进一步得到FHAD，则四边形FDAH为平行四边形，故DFAH，由线面平行的判定可得DF平面ABE；（2）由平面ABCD平面BEFC结合面面垂直的性质可得DC平面BEFC，过C作CMEF交EF的延长线于M，连接DM，可得DMC为二面角DEFC的平面角，然后求解三角形得答案【解答】（1）证明：在BE上取点H，使得BHCF，则四边形BCFH为矩形，FHBC，又BCAD，FHAD，
25、则四边形FDAH为平行四边形，故DFAHAH平面ABE，DF平面ABE，DF平面ABE；（2）解：平面ABCD平面BEFC，平面ABCD平面BEFCBC，CDBC，DC平面BEFC，过C作CMEF交EF的延长线于M，连接DM，则DMC为二面角DEFC的平面角，在梯形BCEF中，由BCAD，EF2，可得FEB，MFC，又CF3，CM，又CDAB1，DMcosDMC【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题20（15分）如图，设ABC是边长为2的正三角形，DC平面ABC，EADC，若EA：AB：DC2：2：1，F是BE的中点（1）证明：F
26、D平面ABE；（2）求CE与平面EAB所成角的正弦值【分析】（1）取AB中点M，连结MC，推导出FMEA，从而FMDC，且FMDC，进而四边形FMCD是平行四边形，FDMC，由CD平面ABC，得CDCM，从而AECM，求出DFAE，DFAB，由此能证明FD平面ABE（2）连结EM，由MC平面ABE，得CEM是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值【解答】证明：（1）取AB中点M，连结MC，ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，FMEA，FMEA1DC，又EADC，FMDC，且FMDC，四边形FMCD是平行四边形，FDMC，CD平面ABC，CDCM，又AECD，A
27、ECM，CMAB，DFAE，DFAB，AEABA，FD平面ABE解：（2）连结EM，MC平面ABE，CEM是CE与平面EAB所成角，ABC是边长为2的正三角形，DC平面ABC，EADC，EA：AB：DC2：2：1，CM，CM2，sinCEMCE与平面EAB所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（15分）已知过点A（0，4），且斜率为k的直线与圆C：（x2）2+（y3）21，相交于不同两点M、N（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，问
28、是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求k的值，若不存在，说明理由【分析】第一步结合图形由相切入手，不难求解；第二，第三步须把直线与圆的方程联立，得根与系数关系，通过向量数量积解决【解答】解：（1）过点A（0，4），斜率为k的直线l的方程为：ykx+4即kxy+40圆C：（x2）2+（y3）21的圆心C（2，0），半径r1若l与圆C相切，1解得k10，k2结合图形分析可知，当直线l与圆C相交时，k（2）证明：设M（x1，y1）N（x2，y2），则（x1，y14）（x2，y24）x1x2+y1y24（y1+y2）+16（*）把直线l的方程代入圆C的方程并整理得（1+k2）x2+（2k4）x+
29、40x1+x2x1x2y1+y2k（x1+x2）+8y1y2（kx1+4）（kx2+4）k2x1x2+4k（x1+x2）+16代回（*）式并整理得4为定值（3）若以MN为直径的圆过原点，则OMON，从而0即x1x2+y1y20由（2）可知，x1x2+y1y2+此式，分子判别式小于0，即分子恒正从而整个分式值恒正，与0矛盾故以MN为直径的圆不会过原点【点评】此题综合考查了直线与圆的位置关系，向量的数量积等知识，难度适中22（15分）已知抛物线C：y24x，过抛物线C的焦点F作互相垂直的两条直线AB，CD，与抛物线C分别相交于A，B和C，D，点A，C在x轴上方（1）若直线AB的倾斜角为60，求|A
30、B|的值；（2）设AFC与BFD的面积之和为S，求S的最小值【分析】（1）先求出直线直线AB的方程为y（x1），与抛物线方程联立，根据韦达定理和抛物线的性质即可求出，（2）设直线AB的方程为yk（x1），则CD为y（x1），分别根据韦达定理和基本不等式即可求出S的最小值【解答】解：（1）直线AB的方程为y（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消y可得3x210x+30，x1+x2，|AB|x1+x2+2（2）由已知条件得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为yk（x1），则CD为y（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，消y可得k2x（2k2+4）+k20，x1+x2，x1x21，|AF|BF|（x1+1）（x2+1）x1x2+x1+x2+1，|AF|，由，消y可得k2x（4k2+2）+10，x3+x42+4k2，x1x21，|CF|DF|（x3+1）（x4+1）x3x4+x3+x4+14（k21），|DF|S|AF|CF|+|BF|DF|CF|+|BF|2448，当且仅当k1时等号成立，故S的最小值为8【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题