1、2018-2019学年浙江省绍兴一中高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）若集合Ax|x2，a，则下列结论中正确的是（）AaABaACaADaA2（4分）“x1”是“x2x”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（4分）用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）（n+n）2n135（2n1）（2n+1）（nN*）”时，从nk到nk+1，等式的左边需要增乘的代数式是（）A2k+1BCD4（4分）已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大
2、小关系是（）AbacBcabCcbaDabc5（4分）设f（x）是函数f（x）的导函数，将yf（x）和yf（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD6（4分）设函数f（x）x（x1）2（x2）3（x3）4，则函数yf（x）的极大值点为（）Ax0Bx1Cx2Dx37（4分）将函数f（x）sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则的值可以是（）ABCD8（4分）已知，若实数a，b，c满足0abc，且f（a）f（b）f（c）0，实数x0满足f（x0）0，那么下列不等式中，一定成立的是（）Ax0aBx0a
3、Cx0cDx0c9（4分）设0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A1a0B0a1C1a3D3a610（4分）设函数f（x）min|x3|，2x2，|x+3|，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者，下列说法错误的是（）A函数f（x）是偶函数B若时，有|f（x）2|f（x）C若xR时，有f（f（x）2f（x）D若x1，+）时，有f（x2）f（x）二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分11（6分）已知复数z4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为 ，的虚部为 12（6分）计算lg5lg
4、 ，2 13（6分）若函数f（x）ln（e3x+1）+ax，x2b，1b是偶函数，则b ，a 14（6分）函数的单调递增区间为 ，值域为 15（4分）如图ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，AD3，则cosC的值为 16（4分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinC+csinB4asinBsinC，b2+c2a28，则ABC的面积为 17（4分）已知函数f（x）在R上为增函数，则a的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤18（14分）已知集合Ax|1x5，集合B0（1）求AB；（2）若集合Cx|a+1x4a3，且CAA，求实数a的取值范围19（15分）设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知，求cos220（15分）已知函数f（x）（1）计算f（）+f（）的值；（2）设aR，解关于x的不等式：f（x2（a+1）x+a+）21（15分）已知函数f（x）x3ax2，aR（1）若a1，求曲线yf（x）在（1，0）点处的切线方程；（2）若曲线yf（x）与直线yx1只有一个公共点，求实数a的取值范围22（15分）已知x1，x2是关于x的方程x2x+t0的两个根，且x1x2（1）若0，t1，求
6、x2的范围；（2）若x10，x20记f（t）（x1）（），若存在（0，1），使不等式f（t）3在其定义域范围内恒成立，求的取值范围2018-2019学年浙江省绍兴一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）若集合Ax|x2，a，则下列结论中正确的是（）AaABaACaADaA【分析】利用集合Ax|x2，a，即可得出结论【解答】解：集合Ax|x2，a，aA，aA，故选：B【点评】本题考查元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础2（4分）“x1”是“x2x”的（）A充分
7、而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由题意解不等式x2x，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件，判断此解和x1的关系【解答】解：由x2x，可得x1或x0，x1，可得到x2x，但x2x得不到x1故选：A【点评】注意必要条件、充分条件与充要条件的判断3（4分）用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）（n+n）2n135（2n1）（2n+1）（nN*）”时，从nk到nk+1，等式的左边需要增乘的代数式是（）A2k+1BCD【分析】从nk到nk+1时左边需增乘的代数式是，化简即可得出【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n
8、+3）（n+n）2n135（2n1）（2n+1）（nN*）时，nk时，左侧（k+1）（k+2）（k+k），k+1时，左侧（k+1+1）（k+1+2）（k+1+k1）（k+1+k）（k+1+k+1），从nk到nk+1时左边需增乘的代数式是故选：D【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（4分）已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是（）AbacBcabCcbaDabc【分析】考察指数函数y0.8x与y1.2x在R上单调性且与1相比较即可得出【解答】解：考察指数函数y0.8x在R上单调递减，10.80.70.80.9考察指数函数
9、y1.2x在R上单调递增，1.20.81综上可得：cab故选：B【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键5（4分）设f（x）是函数f（x）的导函数，将yf（x）和yf（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但yf（x）和yf（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但yf（x）和yf（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D【点评】考查函
10、数的单调性问题6（4分）设函数f（x）x（x1）2（x2）3（x3）4，则函数yf（x）的极大值点为（）Ax0Bx1Cx2Dx3【分析】考察函数f（x）的符号，当0x1时，f（x）x（x1）2（x2）3（x3）40，当x1时，f（x）x（x1）2（x2）3（x3）40，当1x2时，f（x）x（x1）2（x2）3（x3）40，从而画出函数f（x）x（x1）2（x2）3（x3）4大致如图所示最后根据函数极值的概念可知，x1是函数yf（x）的极大值点【解答】解：当0x1时，f（x）x（x1）2（x2）3（x3）40，当x1时，f（x）x（x1）2（x2）3（x3）40，当1x2时，f（x）x（x1）
11、2（x2）3（x3）40，其函数f（x）x（x1）2（x2）3（x3）4大致如图所示结合图象可知，当0x1时，函数是增，当1x2时，函数是减函数，根据函数极值的概念可知，x1是函数yf（x）的极大值点故选：B【点评】本题考查的重点是函数的极值点，考查函数极值的概念的运用，属于基础题7（4分）将函数f（x）sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则的值可以是（）ABCD【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出，然后求出即可【解答】解：函数向右平移个单位，得到g（x）sin（2x+2），因为两个
12、函数都经过P（0，），所以，所以g（x）sin（2x+2），sin（2），0，所以22k+，k，与选项不符舍去，22k+，kZ，当k1时，故选：B【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力8（4分）已知，若实数a，b，c满足0abc，且f（a）f（b）f（c）0，实数x0满足f（x0）0，那么下列不等式中，一定成立的是（）Ax0aBx0aCx0cDx0c【分析】结合f（x0）0，可得当xx0时，f（x）0，当xx0时，f（x）0，由此可得x0a一定成立【解答】解：f（x）log2x（）x在（0，+）上是增函数，0abc，且f（a）f（b）f（c）0，f（
13、a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）0，0f（b）f（c）；或f（a）f（b）f（c）0；由于实数x0 是函数yf（x）的一个零点，当f（a）0，0f（b）f（c）时，ax0b，当f（a）f（b）f（c）0时，x0a，故选：B【点评】本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题9（4分）设0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A1a0B0a1C1a3D3a6【分析】将不等式变形为（a+1）xb（a1）x+b0的解集中的整数恰有3个，再由0b1+a 可得，a1，不等式的解集为 x1，考查解
14、集端点的范围，解出a的取值范围【解答】解：关于x 的不等式（xb）2（ax）2 即 （a21）x2+2bxb20，0b1+a，（a+1）xb（a1）x+b0 的解集中的整数恰有3个，a1，不等式的解集为 x1，所以解集里的整数是2，1，0 三个32，23，2a2b3a3，b1+a，2a21+a，a3，综上，1a3，故选：C【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根10（4分）设函数f（x）min|x3|，2x2，|x+3|，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者，下列说法错误的是（）A函数f（x）是偶函数B若时，有|f（x
15、）2|f（x）C若xR时，有f（f（x）2f（x）D若x1，+）时，有f（x2）f（x）【分析】在同一直角坐标系中画出y|x3|，y2x2，y|x+3|，求得f（x）的解析式，结合图象可得奇偶性，由图象平移、两图象的关系以及特殊值，即可得到所求结论【解答】解：在同一直角坐标系中画出y|x3|，y2x2，y|x+3|，可得由图易函数f（x）是偶函数，即A正确；当时，f（x）20，由|f（x）2|f（x）可得2f（x）f（x），解之得f（x）1；由图象可知当时，f（x）1成立，即B正确；若xR时，f（x）0，令tf（x）（t0），由yf（x）与y2t（t0），且y2t的图象恒在上方，显然f（f（x
16、）2f（x），显然C正确；当x1时，f（x）|x3|，f（x2）的图象可看做f（x）的图象右移2个单位得到，显然x1时，f（x）的图象不恒在f（x2）图象之上，则若x1，+）时，则f（x2）f（x）不成立；D错误；故选：D【点评】本题考查分段函数的图象与性质，采用图象法与换元法求解，属于中档题目二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分11（6分）已知复数z4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为5，的虚部为【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求z的模；再把z4+3i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z4+3i，的虚部为故答案为：5；【点评
17、】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题12（6分）计算lg5lg1，2【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：lg5lglg5+lg2lg101，2故答案为：1，【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题13（6分）若函数f（x）ln（e3x+1）+ax，x2b，1b是偶函数，则b1，a【分析】根据题意，由偶函数的定义域可得2b+（1b）0，解可得b的值，又由函数的解析式可得f（x）f（x），即ln（e3x+1）+axln（e3x+1）ax，变形分析可得a的值，即可得答案【
18、解答】解：根据题意，函数f（x）在2b，1b是偶函数，则有2b+（1b）0，解可得：b1，又由f（x）ln（e3x+1）+ax，则有f（x）f（x），即ln（e3x+1）+axln（e3x+1）ax，变形可得：2ax3x，分析可得：a；故答案为：，1【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题14（6分）函数的单调递增区间为3，7），值域为4，+）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：由x2+6x+70得x26x70，得1x7，即函数的定义域为（1，7），设tx2+6x+7，则函数ylogt为减函数，要求f（x）单调递增，则求函数tx2+
19、6x+7的单调递减区间，当3x7时，函数tx2+6x+7，为减函数，f（x）的单调递增区间为3，7），tx2+6x+7（x3）2+16（0，16，log164，故函数的值域为4，+），故答案为：3，7），4，+），【点评】本题主要考查函数单调性的求解，结合复合函数单调性之间的关系利用换元法进行转化是解决本题的关键15（4分）如图ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，AD3，则cosC的值为【分析】由BACBAD+DAC，DAC90，得到BACBAD+90，代入并利用诱导公式化简sinBAC，求出cosBAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cosBAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长，
20、在在ABD中，由正弦定理可得sinADB，根据诱导公式可求cosC的值【解答】解：ADAC，DAC90，BACBAD+DACBAD+90，sinBACsin（BAD+90）cosBAD，sinBAD，在ABD中，AB3 ，AD3，根据余弦定理得：BD2AB2+AD22ABADcosBAD18+9243，则BD在ABD中，由正弦定理可得，解得：sinADB，cosCcos（ADB）sinADB故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题16（4分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinC+csin
21、B4asinBsinC，b2+c2a28，则ABC的面积为【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cbsinC+csinB4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB4sinAsinBsinC，由于0B，0C，所以sinBsinC0，所以sinA，则A由于b2+c2a28，则：，当A时，解得bc，所以当A时，解得bc（不合题意），舍去故：故答案为：【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用17（4分）已知函数
22、f（x）在R上为增函数，则a的取值范围为，1【分析】求得yxlnx的导数，可得单调性，作出yxlnx和yx2+（1+）x的图象，由f（x）在R上为增函数，可得xa的图象在xa的图象上方，且f（x）在xa，xa都为增函数，结合图象可得a的范围【解答】解：由yxlnx的导数为y1+lnx，可得x，函数y递增，0x，函数y递减；分别作出yxlnx和yx2+（1+）x的图象，由f（x）在R上为增函数，可得xa的图象在xa的图象上方，且f（x）在xa，xa都为增函数，可得a1，故答案为：，1【点评】本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性的判断，注意运用导数判断单调性，考查数形结合思想，属于中档题三、
23、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知集合Ax|1x5，集合B0（1）求AB；（2）若集合Cx|a+1x4a3，且CAA，求实数a的取值范围【分析】（1）由分式不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出AB；（2）由CAA得CA，根据子集的定义对C进行分类讨论，分别列出不等式组，求出实数a的取值范围【解答】解：（1）由得（2x1）（x3）0，解得x或x3，则集合Bx|x或x3，2因集合Ax|1x5，所以ABx|3x5；4（2）因为CAA，所以CAx|1x5，5又集合Cx|a+1x4a3，当C时，则4a3a+1，解得，满足题意；7当C时，要使CA，
24、则，解得9综上所述，实数a的取值范围为（，210【点评】本题考查了分式不等式的解法，交集的运算，以及集合之间的关系的应用，考查分类讨论思想，注意空集是任何集合的子集19（15分）设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知，求cos2【分析】（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）根据f（）+，以及f（）的解析式，求出sin（2+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2+）的值，所求式子中的角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，计算即可
25、得到结果【解答】解：（1）f（x）sin2x+cos2xsin2x+（1+cos2x）sin2x+cos2x+sin（2x+）+，2，f（x）的最小正周期为T；（2）sin（2+）+，（，），2+（，），sin（2+），cos（2+），cos2cos（2+）（）+【点评】此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键20（15分）已知函数f（x）（1）计算f（）+f（）的值；（2）设aR，解关于x的不等式：f（x2（a+1）x+a+）【分析】（1）由函数f（x）得到f（）+f（）1（2）由f（）+f（）1，令x0，得f（
26、），推导出f（x）在实数集上是单调递增函数，由此能求出结果【解答】解：（1）函数f（x）f（）+f（）+1（2）f（）+f（）1，令x0，得f（），f（x）1，故f（x）在实数集上是单调递增函数原不等式即为，即（xa）（x1）0，故当a1时，不等式的解集为x|ax1；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为x|1xa【点评】本题考查函数值的求法，考查不等式的解集的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是中档题21（15分）已知函数f（x）x3ax2，aR（1）若a1，求曲线yf（x）在（1，0）点处的切线方程；（2）若曲线yf（x）与直线yx1只有一个公共
27、点，求实数a的取值范围【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程；（2）由题意可得关于x的方程ax2x3x+1只有一个实根显然x0，方程ax+只有一个实根设函数g（x）x+，求得导数和单调性，极值，画出g（x）的图象，即可得到所求范围【解答】解：（1）f（x）x3x2的导数为f（x）3x22x，可得曲线yf（x）在（1，0）点处的切线斜率为1，可得切线的方程为yx1；（2）曲线yf（x）与直线yx1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2x3x+1只有一个实根显然x0，方程ax+只有一个实根设函数g（x）x+，则g（x）1+，设h（x）x3+x2，h（x）3x2+10
28、，h（x）为增函数，又h（1）0当x0时，g（x）0，g（x）为增函数；当0x1时，g（x）0，g（x）为减函数；当x1时，g（x）0，g（x）为增函数；可得g（x）在x1时取极小值1又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷g（x）图象大致如图所示：ax+只有一个实根时，实数a的取值范围为（，1）【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，极值，考查参数分离和构造函数法，考查方程思想和运算能力，属于中档题22（15分）已知x1，x2是关于x的方程x2x+t0的两个根，且x1x2（1）若0，t1，求x2的范围；（2）若x10，x20记f（t）（x1）（），若存在（0，1），使不等式f（t）3在其定义域范围内恒成立，求的取值范围【分析】（1）由题，然后根据（，0，求出x2的范围；（2）由韦达定理得到x1，x2的关系，然后将f（t）化简用t表示，在根据f（t）3在其定义域范围内恒成立，得到的取值范围【解答】解：（1）由题在（，0上递增，x2（0，1（2）x1，x2是关于x的方程x2x+t0的两个不等根，且x1，x20，由韦达定理得，若，则若，则的取值范围为：【点评】本题考查了韦达定理和函数恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题