1、2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）设集合Ax|0x2，B0，1，2，3，则集合AB（）A0，1B0，1，2C1，2D1，2，32（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A3B6C9D123（4分）已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（4分）曲线yx3+3在点（1，2）处的切线方程为（）A3x+y+30B3xy+30C3xy0D3xy+505（4
2、分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（）ABCD6（4分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD7（4分）已知ABC中，且，则ABC是（）A正三角形B直角三角形C正三角形或直角三角形D直角三角形或等腰三角形8（4分）直线yx+m与圆x2+y24相交于M，N两点，若|MN|2，则m的取值范围是（）A2，2B4，4C0，2D（22，2）9（4分）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A（1，4）B（4，1）C（，4）（1，+）D（，3）（0，+）10（4分）如图所示，PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，PAAB2，C是O上的一点
3、，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，当三棱锥PAEF的体积最大时，PC与底面ABC所成角的余弦值是（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11（6分）函数的定义域为 ；值域为 12（6分）已知直线l：x+my50，若l的倾斜角为45，则实数m ；若直线l与直线x2y10垂直，则实数m 13（6分）（1）2lg2+lg25 ；（2） 14（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）等于 ，表面积（
4、单位：cm2）等于 15（6分）已知平面向量满足，且，则 16（6分）如图，平面四边形ABCD中，AB，AD2，CD，CBD30，BCD120，则ADC的面积S为 17（6分）当x，4时，不等式|ax2+bx+4a|2x恒成立，则6a+b的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18如图，以Ox为始边作角与（0），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（1）求的值；（2）若OPOQ，求3sin4cos的值19已知正项等比数列an中，且a2，a3，a41成等差数列（1）求
5、数列an的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Tn20已知函数f（x）x2+alnx（1）当a2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在1，+）上是单调函数，求实数a的取值范围21已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，若点P在C上，点E在l上，且PEF是边长为8的正三角形（1）求C的方程；（2）过点（1，0）的直线n与C相交于A，B两点，若23，求FAB的面积22已知函数（I）若f（x）f1（x）+f2（x）bf2（x），是否存在a，bR，yf（x）为偶函数如果存在请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；II）若a2，b1求函数g（x）f1（x）+f2（x）在R上的
6、单调区间；（III ）对于给定的实数x00，1，对x0，1，有|f1（x）f2（x0）|1成立求a的取值范围2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）设集合Ax|0x2，B0，1，2，3，则集合AB（）A0，1B0，1，2C1，2D1，2，3【分析】进行交集的运算即可【解答】解：Ax|0x2，B0，1，2，3；AB1，2故选：C【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算2（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（
7、）A3B6C9D12【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合三角形的面积公式进行计算即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（2，0），C（0，2），由得，即B（2，3），则|AB|3，ABCAB边上的高为2，则ABC的面积S3，故选：A【点评】本题主要考查三角形面积的计算，作出不等式组对应的平面区域求出对应交点的坐标是解决本题的关键3（4分）已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】m不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个
8、平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m【解答】解：、表示两个不同的平面，直线m，m，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m“m”是“”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查条件的判断和平面的基本性质及推论，本题解题的关键是注意平面与平面平行的判定与性质，本题是一个基础题4（4分）曲线yx3+3在点（1，2）处的切线方程为（）A3x+y+30B3xy+30C3xy0D3xy+50【分析】根据题意，求出yx3+3的导数，进而可得曲线在点（1，2）处
9、的切线的斜率ky|x1的值，由直线的点斜式方程分析可得答案【解答】解：根据题意，曲线yx3+3，则y3x2，则曲线yx3+3在点（1，2）处的切线的斜率ky|x13，则切线的方程为：y23（x+1），即3xy+50，故选：D【点评】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题5（4分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（）ABCD【分析】根据题意，可得2a（2b），变形可得ba，进而计算可得ca，由椭圆的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即2a（2b），变形可得ba，则ca，故离心率e；故选：C【点评】本题考查椭圆的
10、简单几何性质，关键是掌握椭圆的离心率的计算公式以及a、b、c之间的关系6（4分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断【解答】解：f（x）x2+ln|x|f（x），yf（x）为偶函数，yf（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x0时，y，故排除D，或者根据，当x0时，yx2+lnx为增函数，故排除D，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题7（4分）已知ABC中，且，则ABC是（）A正三角形B直角三角形C正三角形或直角三角形D直角三角形或等腰三
11、角形【分析】利用两角和的正切求得A+B，再由倍角公式求得B，则答案可求【解答】解：由，得：，即tan（A+B），A+B120，C60，又sinBcosB，sin2B，则2B60或2B120，即B30或B60，若B30，则A90，tanA不存在，不合题意；若B60，则AC60，ABC为正三角形故选：A【点评】本题考查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题8（4分）直线yx+m与圆x2+y24相交于M，N两点，若|MN|2，则m的取值范围是（）A2，2B4，4C0，2D（22，2）【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线yx+m的距离，结合直线与圆的位置关系可得
12、|MN|24（4）8，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y24的圆心为（0，0），半径r2，圆心到直线yx+m的距离d，若|MN|2，即|MN|24（4）8，即2，解可得：2m2，即m的取值范围为2，2；故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质以及弦长的计算，属于基础题9（4分）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A（1，4）B（4，1）C（，4）（1，+）D（，3）（0，+）【分析】由x+（x+）（）2，利用基本不等式可求其最小值，存在x，y使不等式有解，即m2+3m，解不等式可求【解答】解：正实
13、数x，y满足，x+（x+）（）24当且仅当且，即x2，y8时取等号，存在x，y使不等式有解，4m2+3m，解可得m1或m4，故选：C【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及存在性问题与最值问题的相互转化思想的应用10（4分）如图所示，PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，PAAB2，C是O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，当三棱锥PAEF的体积最大时，PC与底面ABC所成角的余弦值是（）ABCD【分析】由题意PB平面AEF，从而AFPB，由ACBC，APBC，得AFBC，从而AF平面PBC，AFE90，设AFx，由此能求出当三棱锥PAEF体积最大时x，即可【解答】解：AB
14、为圆O的直径，C为圆上一动点，PA圆O所在平面，且PAAB2，过点A作平面PB，交PB，PC分别于E，F，PB平面AEF，又AF平面AEF，AFPB，又ACBC，APBC，ACAPA，BC平面PAC，AF平面PAC，AFBC，BCPBB，AF平面PBC，AFPB，AF面AEF，AFE90，PAAB2，AEPE，设AFx，在RtPEF中，EF则三棱锥PAEF的体积V当AF1时，VPAEF取最大值此时，当三棱锥PAEF体积最大时，cosACPsinAPF故选：D【点评】本题考查三棱锥体积最大时，角的正切值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形
15、结合思想，是中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11（6分）函数的定义域为（1，+）；值域为（0，+）【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，需满足x10，从而可得出f（x）的定义域；根据即可得出，从而得出f（x）的值域【解答】解：要使f（x）有意义，则：x10；x1；f（x）的定义域为（1，+）；f（x）的值域为（0，+）故答案为：（1，+），（0，+）【点评】考查函数定义域、值域的定义及求法，以及区间表示集合的方法12（6分）已知直线l：x+my50，若l的倾斜角为45，则实数m1；若直线l与直线x2y10垂直，则实数m【分
16、析】直线l：x+my50，若l的倾斜角为45，则实数tan45，解得m；若直线l与直线x2y10垂直，则实数1，解得m【解答】解：直线l：x+my50，若l的倾斜角为45，则实数tan45，解得m1；若直线l与直线x2y10垂直，则实数1，解得m故答案为：1，【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13（6分）（1）2lg2+lg252；（2）10【分析】直接利用有理指数幂与对数的运算性质求解（1）（2）的值【解答】解：（1）2lg2+lg252lg2+2lg52（lg2+lg5）2lg102；（2）9+110故答案为：（1）2；（2）
17、10【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查对数的运算性质，是基础的计算题14（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）等于，表面积（单位：cm2）等于20+4【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是一个正方体挖去一个正四棱锥的几何体，正方体的棱长为2，所以几何体的体积为：222几何体的表面积为：522+420+4故答案为：；20+4【点评】本题考查三视图求解几何体的体积以及表面积，判断几何体的形状是解题的关键15（6分）已知平面向量满足，且，则【分析】由平面向量模的运算及数量积的运
18、算得：|，得解【解答】解：因为，且，所以3，所以1，所以|，故答案为：【点评】本题考查了平面向量模的运算及数量积的运算，属简单题16（6分）如图，平面四边形ABCD中，AB，AD2，CD，CBD30，BCD120，则ADC的面积S为【分析】在BCD中由正弦定理解出BD，在ABD中，由余弦定解出ADB的度数；代入三角形的面积公式计算【解答】解：在BCD中，由正弦定理得：，即 ，解得BD3在ABD中，由余弦定理得：cosADBADB45CBD30，BCD120，CDB30sinADCsin（45+30），SACDADCDsinADC2，故答案为：【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于
19、中档题17（6分）当x，4时，不等式|ax2+bx+4a|2x恒成立，则6a+b的最大值是6【分析】利用分离变量，通过基本不等式求解ax+b+的范围，构造函数，利用线性规划转化求解6a+b的最大值即可【解答】解：当x，4时，不等式|ax2+bx+4a|2x恒成立，即：|ax+b+|2，即：|a（x+）+b|2，x，4时，恒成立，因为当x，4时：42x+5，所以x+4，5，令f（x）|a（x+）+b|f（x）maxMaxf（2），f（4），画出可行域如图：解得A（4，18），目标函数z6a+b经过可行域的A时，取得最大值：46186故答案为：6【点评】本题考查函数恒成立，线性规划的应用，基本不等
20、式的应用，考查数形结合以及计算能力三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18如图，以Ox为始边作角与（0），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（1）求的值；（2）若OPOQ，求3sin4cos的值【分析】（1）由任意角的三角函数的定义可得，代入求值即可（2）由题意得，利用诱导公式可求，代入即可求值得解【解答】解：（1）由题得，（2）由题得，cossin，sincos，【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题19已知正项等比数列an中，且a2，a3，a41成等差数
21、列（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Tn【分析】（1）设等比数列an的公比为q，由a2，a3，a41成等差数列，可得2a3a2+a41，得，解出即可得出（2）由（1）知，可得，利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，因为a2，a3，a41成等差数列，所以2a3a2+a41，得，又，则，即2q2q+q32，化简整理得（q2）（1+q2）0显然1+q20，所以2q0，解得q2故数列an的通项公式（2）由（1）知，所以则，【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数f（x）x2+alnx
22、（1）当a2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在1，+）上是单调函数，求实数a的取值范围【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到导数在x1时为零然后列表讨论函数在区间（0，1）和（1，+）上讨论函数的单调性，即可得到函数f（x）的单调区间和极值；（2）在1，+）上是单调函数，说明g（x）的导数g'（x）在区间1，+）恒大于等于0，或g'（x）在区间1，+）恒小于等于0然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围【解答】解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+）（1分）当a2时，（2分）当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：（4分
23、）x（0，1）1（1，+）f'（x）0+f（x）递减极小值递增由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+），极小值是f（1）1（8分）（2）由，得（9分）又函数为1，+）上单调函数，若函数g（x）为1，+）上的单调增函数，则g'（x）0在1，+）上恒成立，即不等式在1，+）上恒成立也即在1，+）上恒成立，而（x）在1，+）上的最大值为（1）0，所以a0（12分）若函数g（x）为1，+）上的单调减函数，根据，在1，+）上（x）max（1）0，（x）没有最小值（13分）所以g'（x）0在1，+）上是不可能恒成立的（15分）综上，a的取值范围为
24、0，+）（16分）【点评】本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题21已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，若点P在C上，点E在l上，且PEF是边长为8的正三角形（1）求C的方程；（2）过点（1，0）的直线n与C相交于A，B两点，若23，求FAB的面积【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；（2）设过点（1，0）的直线n的方程为xty+1，联立直线方程与抛物线方程，得y28ty80利用根与系数的关系结合23求得t，进一步求出|AB|与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解【解答】解：（1）由题知
25、，|PF|PE|，则PEl设准线l与x轴交于点D，则PEDF又PEF是边长为8的等边三角形，PEF60，EFD60，|DF|EF|cosEFD84，即p4抛物线C的方程为y28x；（2）设过点（1，0）的直线n的方程为xty+1，联立，得y28ty80设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y28t，y1y28x1x2（ty1+1）（ty2+1）t2y1y2+t（y1+y2）+11x1+x2t（y1+y2）+28t2+2由23，得（x12，y1）（x22，y2）（x12）（x22）+y1y2x1x22（x1+x2）+4+y1y212（8t2+2）+4823，解得t1不妨取t1，则直线方程
26、为xy10|AB|而F到直线xy10的距离dFAB的面积为【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题22已知函数（I）若f（x）f1（x）+f2（x）bf2（x），是否存在a，bR，yf（x）为偶函数如果存在请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；II）若a2，b1求函数g（x）f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；（III ）对于给定的实数x00，1，对x0，1，有|f1（x）f2（x0）|1成立求a的取值范围【分析】（）存在a0，b1使yf（x）为偶函数再根据偶函数的定义进行证明即可；（）先利用绝对值的意义将g（x）写成分段函数的形式g（
27、x），再对x进行分类讨论：当x2时；当x2时；利用导数工具研究其单调性即得；（）由于|f1（x）f2（x0）|1，从而f2（x0）1f1（x）f2（x0）+1，x00，1对x0，1，f2（x0）1f1（x）f2（x0）+1成立等价于：再对字母b分类讨论：当b0时，当b0时即可求得a的取值范围【解答】解：（）存在a0，b1使yf（x）为偶函数，（2分）证明如下：此时：f（x）e|x|+ex+ex，xRf（x）e|x|+ex+exf（x），yf（x）为偶函数（4分）（）g（x）e|x2|+ex，（5分）当x2时g（x）ex2+ex，g（x）ex2+ex0，yg（x）在2，+）上为增函数（6分）当x
28、2时g（x）e2x+ex，则g（x）e2x+ex，令g（x）0得到x1，（）当x1时g（x）0，yg（x）在（，1）上为减函数（） 当1x2时g（x）0，yg（x）在（1，2）上为增函数（8分）综上所述：yg（x）的增区间为1，+），减区间为（，1）（9分）（）|f1（x）f2（x0）|1，f2（x0）1f1（x）f2（x0）+1x00，1对x0，1，f2（x0）1f1（x）f2（x0）+1成立即：（10分）当b0时，f2（x）为增函数或常数函数，当x0，1时，f2（x）min1f2（0）10f1（x）min恒成立，eb+1e1aa1ln（eb+1）eb+1eaaln（eb+1）综上所述：a（1ln（eb+1），ln（eb+1）（12分）当b0时，f2（x）在0，1上为减函数，f2（x）min1f1（x）min恒成立a1ln2，2eaaln2综上所述：a（1ln2，ln2）（13分）由得当b0时，a（1ln（eb+1），ln（eb+1）；当b0时，a（1ln2，ln2）（14分）【点评】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性与单调性的综合等基本知识，考查分类讨论、化归以等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力