1、2018-2019学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分1（4分）设集合A1，2，4，B3，4，则集合AB（）A4B1，4C2，3D1，2，3，42（4分）直线x+3y+40的斜率为（）ABC3D33（4分）函数ylog2（x1）2的定义域是（）Ax|x1Bx|x1Cx|x1DR4（4分）在ABC中，a2b2+c2+bc，则A（）A30B60C120D1505（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD46（4分）若四边形ABCD满足+，（）0则该
2、四边形是（）A正方形B矩形C菱形D直角梯形7（4分）已知1，a，b，5成等差数列，1，c，4成等比数列，则a+b+c（）A8B6C6或4D8或48（4分）设a，bR，则“a|b|”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（4分）函数f（x）（x22x）ex的图象可能是（）ABCD10（4分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，n，则mD若m，则m11（4分）设实数x，y满足不等式组，则x+3y的最小值是（）A2B3C4D512（4分）若是第四象限角，sin（+），则sin（）（）ABCD13（4
3、分）已知椭圆E：+1，设直线l：ykx+1R）交椭圆E所得的弦长为L则下列直线中，交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是（）Amx+y+m0Bmx+ym0Cmxy10Dmxy2014（4分）设F（a，b）若函数f（x），g（x）的定义域是R，则下列说法错误的是（）A若f（x），g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x）为增函数B若f（x），g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x）为减函数C若f（x），g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x）为奇函数D若f（x），g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x）为偶函数15（4分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，P是对角线A
4、C1上一点，Q是底面ABCD上一点若AB，BCAA11，则PB1+PQ的最小值为（）ABCD2二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16（4分）若双曲线C：1的渐近线与圆（x3）2+y2r2（r0）相切，则r 17（4分）已知，是单位向量，若|+|2|，则向量，夹角的取值范围是 18（4分）已知数列an是等差数列，bn是等比数列，数列anbn的前n项和为n3n+1若a13，则数列an的通项公式为 19（4分）如图，已知正三棱锥ABCD，BCCDBD，ABACAD2，点P，Q分别在棱BC，CD上（不包含端点），则直线AP，BQ所成的角的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分，
5、要求写出详细的推证和运算过程.20（14分）设函数f（x）sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期T；（）求f（x）在区间，上的值域21（15分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，A1A底面ABC，AA1ABAC，ABAC，D为AC的中点（）证明：B1C面BA1D；（）求直线BC1与平面BA1D所成角的正弦值22（15分）设数列an是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a11若a1，a2，a5成等比数列（）求an及Sn；（）设bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn23（15分）已知直线l与抛物线C：y24x交于M，N两点，点Q为线段MN的中点（）当直线l经过抛物线C的焦点
6、，且|MN|6时，求点Q的横坐标；（）若|MN|5，求点Q横坐标的最小值，并求此时直线l的方程24（15分）设a，kR，已知函数f（x）x2|xa|+ka（）当a1时，求f（x）的单调增区间；（）若对于任意a0，函数f（x）至少有三个零点，求实数k的取值范围2018-2019学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分1（4分）设集合A1，2，4，B3，4，则集合AB（）A4B1，4C2，3D1，2，3，4【分析】进行交集的运算即可【解答】解：A1，2，4，B3
7、，4；AB4故选：A【点评】考查列举法表示集合的定义，以及交集的运算2（4分）直线x+3y+40的斜率为（）ABC3D3【分析】将直线方程化为斜截式方程，可得所求斜率【解答】解：直线x+3y+40即为yx，可得直线的斜率为，故选：A【点评】本题考查直线方程的运用，主要是斜率的求法，考查转化思想，是基础题3（4分）函数ylog2（x1）2的定义域是（）Ax|x1Bx|x1Cx|x1DR【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足x10，从而得出原函数的定义域为x|x1【解答】解：要使原函数有意义，则x10；x1；原函数的定义域是x|x1故选：C【点评】考查函数定义域的定义及求法，以及对数函数的定
8、义域4（4分）在ABC中，a2b2+c2+bc，则A（）A30B60C120D150【分析】由余弦定理a2b2+c22bccosA与题中等式比较，可得cosA，结合A是三角形的内角，可得A的大小【解答】解：由余弦定理，得a2b2+c22bccosA又a2b2+c2+bc，cosA又A是三角形的内角，A150，故选：D【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题5（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD4【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，长为2，宽为1，四棱锥的高为2再由棱锥体积公式求解【解答】解：由三视图
9、还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，长为2，宽为1，四棱锥的高为2则该四棱锥的体积为V故选：B【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题6（4分）若四边形ABCD满足+，（）0则该四边形是（）A正方形B矩形C菱形D直角梯形【分析】由ABCD，ACBD，四边形ABCD是菱形【解答】解：四边形ABCD满足，ABCD，ACBD四边形ABCD是菱形故选：C【点评】本题考查四边形形状的判断，考查向量加法定理、数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（4分）已知1，a，b，5成等差数列，1，c，4成等比数列，则a+b+c（）
10、A8B6C6或4D8或4【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可【解答】解：1，a，b，5成等差数列，可得a+b6，1，c，4成等比数列，可得c24，c2，a+b+c4或8，故选：D【点评】本题主要考查数列性质与思维的严谨性是基本知识的考查8（4分）设a，bR，则“a|b|”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】举例说明不充分，再由ab不能得到a|b|说明不必要【解答】解：当ab0时，a|b|成立，不能得到ab；反之由ab，也不能得到a|b|，故“a|b|”是“ab”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题考查充分必要
11、条件的判定方法，是基础题9（4分）函数f（x）（x22x）ex的图象可能是（）ABCD【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象【解答】解：由f（x）0，解得x22x0，即x0或x2，函数f（x）有两个零点，A，C不正确f（x）（x22）ex，由f（x）（x22）ex0，解得x或x由f（x）（x22）ex0，解得，x即x是函数的一个极大值点，D不成立，排除D故选：B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强10（4分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A若m，n，则mnB若m，
12、m，则C若mn，n，则mD若m，则m【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，若m，n，则mn，或m，n相交、异面，故不正确；对于B，若m，m，则或，相交，故不正确；对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；对于D，若m，则m、相交或平行，或m，故不正确故选：C【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面位置关系的判断，熟练掌握直线与平面之间位置关系的判定定理，性质定理，及定义和空间特征是解答此类问题的关键11（4分）设实数x，y满足不等式组，则x+3y的最小值是（）A2B3C4D5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的
13、几何意义，求最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由zx+3y得y，平移直线y，由图象可知当直线y经过点A（3，0）时，直线y的截距最小，此时z最小代入目标函数得z3+303即zx+3y的最小值为3故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法12（4分）若是第四象限角，sin（+），则sin（）（）ABCD【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：是第四象限角，sin（+），+仍是第四象限角，cos（+），则sin（）sin（+）cos（+），故选：C【点评】本题
14、主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题13（4分）已知椭圆E：+1，设直线l：ykx+1R）交椭圆E所得的弦长为L则下列直线中，交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是（）Amx+y+m0Bmx+ym0Cmxy10Dmxy20【分析】在直线l中取k值，对应的找到选项A、B、C中的m值，使得直线l与给出的直线关于坐标轴与坐标原点具有对称性得答案【解答】解：当l过点（1，0）时，取m1，直线l和选项A中的直线重合，故排除A；当l过点（1，0）时，取m1，直线l和选项B中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故排除B；当k0时，取m0，直线l和选项C中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截
15、得的弦长相同，故不能选C；由排除法可知选：D故选：D【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题14（4分）设F（a，b）若函数f（x），g（x）的定义域是R，则下列说法错误的是（）A若f（x），g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x）为增函数B若f（x），g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x）为减函数C若f（x），g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x）为奇函数D若f（x），g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x）为偶函数【分析】根据题意，分析可得F（f（x），g（x）；据此依次分析选
16、项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，F（a，b），则F（f（x），g（x）；据此依次分析选项：对于A，若f（x）、g（x）都是增函数，可得图象均为上升，则函数F（f（x），g（x）为增函数，故A正确；对于B，若f（x）、g（x）都是减函数，可得它们的图象下降，则函数F（f（x），g（x）为减函数，故B正确；对于C，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x）不一定是奇函数，如yx与yx3，可得F（f（x），g（x）的图象不关于原点对称，故C错误；对于D，若f（x）、g（x）都是偶函数，可得它们的图象关于y轴对称，则函数F（f（x），g（x）为偶函数，故D正确；故选：C【点评
17、】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题15（4分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，P是对角线AC1上一点，Q是底面ABCD上一点若AB，BCAA11，则PB1+PQ的最小值为（）ABCD2【分析】将AB1C1绕边AC1旋转到AMC1位置，使得平面AMC1和平面ACC1在同一平面内，则M到平面ABCD的距离即为B1P+PQ的最小值，利用勾股定理解出即可【解答】解：将AB1C1绕边AC1旋转到AMC1位置，使得平面AMC1和平面ACC1在同一平面内，过点M作MQ平面ABCD，交AC1于P，垂足为Q，则MQ为B1P+PQ的最小值AB，BCAA11，AC1
18、2，AMAB1，sinC1AC，C1AC30，MAQ2C1AC60，MQAMsinMAQ故选：A【点评】本题考查了空间距离的计算，将两线段转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16（4分）若双曲线C：1的渐近线与圆（x3）2+y2r2（r0）相切，则r【分析】求得圆的圆心和半径r，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：dr，计算即可得到所求值【解答】解：圆（x3）2+y2r2的圆心为（3，0），半径为r，双曲线C：1的渐近线方程为yx，由直线和圆相切的条件：dr，可得r故答案为：【点评】本题考查直线和圆相切的条件：dr，同时
19、考查双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题17（4分）已知，是单位向量，若|+|2|，则向量，夹角的取值范围是0，【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出向量，夹角的取值范围【解答】解：已知，是单位向量，若|+|2|，+244+，设向量，夹角的取值范围是，0，则1+1+2cos44cos+1，求得cos，0，故答案为：0，【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题18（4分）已知数列an是等差数列，bn是等比数列，数列anbn的前n项和为n3n+1若a13，则数列an的通项公式为an2n+1【分析】数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，可令n1，2，3
20、，解方程可得公差d，公比为q，再由数列的错位相减法求和，即可得到所求通项公式【解答】解：数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，数列anbn的前n项和为n3n+1若a13，可得b13，由a1b1+a2b222754，即为（3+d）3q45，a1b1+a2b2+a3b3381，即为（3+2d）3q2189，解得d2，q3，则an2n+1，bn3n，检验：anbn（2n+1）3n，其前n项和为Sn33+59+（2n+1）3n，3Sn39+527+（2n+1）3n+1，相减可得2Sn9+2（9+27+3n）（2n+1）3n+19+2（2n+1）3n+1，化简可得Snn3n+1故答案为
21、：an2n+1【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于基础题19（4分）如图，已知正三棱锥ABCD，BCCDBD，ABACAD2，点P，Q分别在棱BC，CD上（不包含端点），则直线AP，BQ所成的角的取值范围是（，【分析】利用极限思想可得直线AP，BQ所成的角大于且无限接近；再由空间向量说明直线AP，BQ所成的角可取到，则答案可求【解答】解：当P无限接近B，Q无限接近C时，AP无限接近AB，BQ无限接近BC，直线AP，BQ所成的角大于且无限接近；设底面三角形的中心为O，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B（，0）
22、，D（，0），C（1，0，0），A（0，0，），取P满足BP2PC，则P（，0），设（，0），则，由，解得（0，1），说明线段CD上存在点Q，使得AP与BQ垂直直线AP，BQ所成的角的取值范围是（故答案为：（【点评】本题考查异面直线所成角的范围，考查极限思想的运用及利用向量求空间角，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程.20（14分）设函数f（x）sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期T；（）求f（x）在区间，上的值域【分析】（）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论（）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求
23、出f（x）在区间，上的值域【解答】解：（）函数f（x）sin2x+sinxcosx+sin2xsin（2x）+，故f（x）的最小正周期T（）在区间，上，2x，sin（2x），1，f（x）0，1+【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期，正弦函数的定义域和值域，属于中档题21（15分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，A1A底面ABC，AA1ABAC，ABAC，D为AC的中点（）证明：B1C面BA1D；（）求直线BC1与平面BA1D所成角的正弦值【分析】（），连接AB1，交A1B于N，可得DNCB1，即可证明B1C面BA1D；（）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
24、，设AC1，则AB，故B（，0，0），D（0，0），A（0，0，），C（0，1，），设求得面BA1D的法向量即可得直线BC1与平面BA1D所成角的正弦值【解答】（）证明：连接AB1，交A1B于N，可得N为AB1的中点，D为AC的中点，DNB1C，DNA1DB，B1C面A1DB，B1C面BA1D；（）解：以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AC1，则AB，故B（，0，0），D（0，0），A（0，0，），C（0，1，），设面BA1D的法向量为，cos故直线BC1与平面BA1D所成角的正弦值为【点评】本题考查了空间线平行，线面角面，属于中档题22（15分）设数列an是公差不为
25、零的等差数列，其前n项和为Sn，a11若a1，a2，a5成等比数列（）求an及Sn；（）设bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn【分析】（）设数列an的公差不为零d（d0，由，求得d，a1即可（）bn累加即可【解答】解：（）设数列an的公差不为零d（d0），a11，若a1，a2，a5成等比数列，an2n1，（bn则数列bn的前n项和Tn【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了裂项求和，属于中档题23（15分）已知直线l与抛物线C：y24x交于M，N两点，点Q为线段MN的中点（）当直线l经过抛物线C的焦点，且|MN|6时，求点Q的横坐标；（）若|MN|5，求点Q横坐标的最小值，并求此时直线l的
26、方程【分析】（）运用抛物线的定义和中点坐标公式可得所求；（）设直线l的方程为xty+m，联立y24x，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式、中点坐标公式，可得所求方程和最小值【解答】解：（）抛物线C：y24x的焦点为（1，0），p2，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得|MN|x1+x2+p6，可得x1+x24，点Q的横坐标为2；（）设直线l的方程为xty+m，联立y24x，可得y24ty4m0，可得y1+y24t，y1y24m，则|MN|5，可得mt2，则x1+x2t（y1+y2）+2m4t2+2m+2（1+t2）2223，当且仅当2（1+t2），即t，m1，点Q横坐标的最小值为，此
27、时直线l的方程为2xy20或2x+y20【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算能力，属于中档题24（15分）设a，kR，已知函数f（x）x2|xa|+ka（）当a1时，求f（x）的单调增区间；（）若对于任意a0，函数f（x）至少有三个零点，求实数k的取值范围【分析】（）当a1时，f（x）x2|x1|+k，根据二次函数的单调性可得其增区间；（）对f（x）去绝对值，然后判断单调性，再结合零点存在性定理判断f（x）的零点即可【解答】解：（）当a1时，f（x）x2|x1|+k，f（x）的单调增区间为；（）f（x）x2|xa|+ka，且a0，可知f（x）在和上单调递减，在和上单调递增，若f（a）0，则f（x）在和上无零点，由f（x）的单调性及零点存在性定理可知，f（x）至多有两个零点，故f（a）0，即a2+ak0对任意a恒成立，可知k0，当f（a）0时，若或成立，则由f（x）的单调性及零点存在性定理可知，f（x）至多有两个零点，故，即成立，注意到，故0，即k对于任意a0，成立，k，综上k的取值范围为【点评】本题考查了绝对值不等式单调性的求法和函数零点的判定，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题