1、2018-2019学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知集合A1，0，1，By|y2x1，xA，则AB（）A1，0，1B1，1C0D2（4分）设i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z2i，则z（）A1+iB1iC1+iD1i3（4分）已知cba0，且a+b+c21，则a的取值范围为（）Aa9Ba8Ca7Da74（4分）A、B、C、D、E、F六名同学站成一排照相，其中A、B两人相邻的不同排法数是（）A720 种B360 种C240 种D120 种5（4分）对于实数a，b，则“l
2、og2019alog2019b”是“2019a2019b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（4分）已知袋中有编号为1、2、3、8的八只相同小球，现从中任取3只，则所取3只球的最大编号是5的概率等于（）ABCD7（4分）已知，为锐角，且tan1，若tan24tan（），则tan（+）的最大值为（）ABCD8（4分）已知（23x2x2）5a0+a1x+a2x2+a10x10，则a0+a1+a10（）A240B186C240D3049（4分）已知二次函数f（x）x2axb在区间1，1内有两个零点，则H|a2+2b|的取值范围为（）A（0，2B（0，2C（0，1
3、D（0，310（4分）设数列an的前n项和为Sn，（1）（nN*），且a1，则（）A2019B2019C2020D2020二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）若函数f（x）+2x，则f（x）的定义域是 ，值域是 12（6分）已知随机变量的分布列如表，x01234P0.20.20.3a0.1则a ，E（） 13（6分）A、B、C三人将参加某项测试，三人能否达标互不影响，已知他们能达标的概率分别是，则三人都能达标的概率是 ，三人中至少有一人能达标的概率是 14（6分）已知
4、函数f（x）sin（x）+（0），若函数f（x）的最小正周期为，则 ；若2，则函数yf（x）的最小正周期为 15（4分）设函数f（x）（2x2ex）cos（2x+）（e为自然对数的底数）的导函数为f（x），则f（0） 16（4分）已知变量x，y满足约束条件，设Z的最大值和最小值分别是M和m，则M+m 17（4分）已知非零向量，满足：（2）（2）0，且不等式|+|+|恒成立，则实数的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c
5、，且满足：（b2+c2a2）sinCc2sin B（）求角A的大小；（）若a1，求b+c的最大值19（15分）已知数列an满足：an+14|an|（nN*）（）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1；（）若a14，且a1，a2，a3，a4成等差数列，求a120（15分）如图，多面体PABCD，平面ABCD平面PBC，DCBC，DABC，BCP90，M是AP的中点，N是DP上的点（）若MN平面PBC，证明：N是DP的中点；（）若CBCDCP3，AD1，求二面角ABPC的平面角的余弦值21（15分）已知椭圆C：+1（a0，b0）的长轴长为4，离心率为（）求椭圆C的方程；（）当ab时，设M（
6、m，0）（mR），过M作直线l交椭圆C于P、Q两点，记椭圆C的左顶点为A，直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求实数m的值22（15分）已知函数f（x）lnx，e是自然对数的底数（）若过坐标原点O作曲线yf（x）的切线l，求切线l的方程；（）当a0时，不等式f（x）ax+b（bR）恒成立，求f （2+）的最小值2018-2019学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知集合A1，0，1，By|y2x1，xA，则AB（）A1，0，1B1，1C0D【分
7、析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可【解答】解：B1，1，3；AB1，1故选：B【点评】考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算2（4分）设i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z2i，则z（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】（1+i）z2i，可得（1i）（1+i）z2i（1i），化简整理即可得出【解答】解：（1+i）z2i，（1i）（1+i）z2i（1i），化为：2z2（i+1），z1+i故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭虚数的定义，考查了推理能力与技能数列，属于基础题3（4分）已知cba0，且a+b+c21，则a的取值范围为（）Aa9Ba8Ca7Da7【
8、分析】由21a+b+ca+a+a3a可得a的范围【解答】解：cba0，且a+b+c21，21a+b+ca+a+a3a，a7故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题4（4分）A、B、C、D、E、F六名同学站成一排照相，其中A、B两人相邻的不同排法数是（）A720 种B360 种C240 种D120 种【分析】根据题意，分2步进行分析：，将AB看成一个整体，考虑2人之间的顺序，将这个整体与C、D、E、F四人全排列，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，将AB看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A222种情况，将这个整体与C、D、E、F四人全排列，有A5512
9、0种排法，则A、B两人相邻的不同排法有2120240种；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题5（4分）对于实数a，b，则“log2019alog2019b”是“2019a2019b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由充分必要条件，先求出“log2019alog2019b”与“2019a2019b”的充要条件，再判断即可得解【解答】解：因为“log2019alog2019b”的充要条件为“ab0“，“2019a2019b”的充要条件为“ab“，即“log2019alog2019b”是“2019a2019b”的充
10、分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，属简单题6（4分）已知袋中有编号为1、2、3、8的八只相同小球，现从中任取3只，则所取3只球的最大编号是5的概率等于（）ABCD【分析】基本事件总数n56，所取3只球的最大编号是5包含的基本事件个数m6，由此能求出所取3只球的最大编号是5的概率【解答】解：袋中有编号为1、2、3、8的八只相同小球，现从中任取3只，基本事件总数n56，所取3只球的最大编号是5包含的基本事件个数m6，所取3只球的最大编号是5的概率为p故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（4分）已知，为锐角，且tan1
11、，若tan24tan（），则tan（+）的最大值为（）ABCD【分析】两角和差的三角公式化简tan（+）tan2（），再利用基本不等式求得它的最大值【解答】解：，为锐角，且tan1，（0，），若tan24tan（）0，则tan（+）tan2（），当且仅当tan（） 时，取等号，故选：B【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、基本不等式的应用，属于基础题8（4分）已知（23x2x2）5a0+a1x+a2x2+a10x10，则a0+a1+a10（）A240B186C240D304【分析】令x0可得a032；将（23x2x2）5变成（2x+1）5（x+2）5，再利用通项公式可得【解答】解：在（23x
12、2x2）5a0+a1x+a2x2+a10x10中，令x0得a032，（23x2x2）5（2x+1）5（x+2）5，a1C（2）1C25+C（2）0C24240a10C（2）5C2032，a0+a1+a1032240+32240故选：A【点评】本题考查了二项式定理，属中档题9（4分）已知二次函数f（x）x2axb在区间1，1内有两个零点，则H|a2+2b|的取值范围为（）A（0，2B（0，2C（0，1D（0，3【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案【解答】解：由题意，要使函数f（x）x2axb在区间1，1上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：则当a0，b0时，
13、a2+2b取最小值0，当a0，b1时，a2+2b取最大值2，当a2，b1时，a2+2b取最大值2，所以|a2+2b|的取值范围为（0，2；故选：A【点评】本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组10（4分）设数列an的前n项和为Sn，（1）（nN*），且a1，则（）A2019B2019C2020D2020【分析】（1）（nN*），化为：1利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：（1）（nN*），化为：1数列是等差数列，首项为2，公差为12（n1）1n则120192020故选：D【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于
14、中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）若函数f（x）+2x，则f（x）的定义域是2，+），值域是4，+）【分析】根据x20，即可求解定义域；结合定义域和单调性即可求解值域【解答】解：函数f（x）+2x，定义域满足：x20，可得x2定义域2，+）由于y和y2x，都是递增函数当x2时取得最小值为4值域为4+）故答案为：2，+），4+）【点评】本题考查了定义域和值域的求法，单调性的应用属于基础题12（6分）已知随机变量的分布列如表，x01234P0.20.20.3a0.1则a0.2，E（）1.8【分析】利用分布列知识求出a，然后求解期望即可【解答】解：
15、由题意可知：0.2+0.2+0.3+a+0.11，解得a0.2；E（）00.2+10.2+20.3+30.2+40.11.8故答案为：0.2；1.8【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望的求法，考查计算能力13（6分）A、B、C三人将参加某项测试，三人能否达标互不影响，已知他们能达标的概率分别是，则三人都能达标的概率是，三人中至少有一人能达标的概率是【分析】利用相互独立事件概率计算公式能求出三人都能达标的概率，利用对立事件概率计算公式能求出三人中至少有一人能达标的概率【解答】解：A、B、C三人将参加某项测试，三人能否达标互不影响，他们能达标的概率分别是，三人都能达标的概率是p，三
16、人中至少有一人能达标的概率是：p1（1）（1）（1）故答案为：，【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（6分）已知函数f（x）sin（x）+（0），若函数f（x）的最小正周期为，则4；若2，则函数yf（x）的最小正周期为【分析】由题意利用正弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数f（x）sin（x）+（0）的最小正周期为，4若2，则函数yf（x）的最小正周期为，故答案为：4；【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题15（4分）设函数f（x）（2x2ex）cos（2x+）（e为自然对数的底数）的导函数为f（
17、x），则f（0）【分析】进行基本初等函数的求导，得出导函数f（x），带入x0即可求出f（0）【解答】解：；故答案为：【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法16（4分）已知变量x，y满足约束条件，设Z的最大值和最小值分别是M和m，则M+m【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，求出的范围，然后求解目标函数的最值即可【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：A（1，1），B（，）Z，的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，1，令t，则z，t，1，4t+24，6，所以，Z的最大值和最小值分别是M和m，则M+m故答案为：【点评】本题考查线性规划的简单应用，转化思想的应用
18、，求解目标函数的最值是解题的难点，考查数形结合思想的应用17（4分）已知非零向量，满足：（2）（2）0，且不等式|+|+|恒成立，则实数的最大值为4【分析】解决本题的关键是记住向量恒等式，及向量不等式【解答】解：0，不等式|+|+|恒成立，4，即的最大值为4故答案为：4【点评】本题考查平面向量的运用，考查化简及变形能力，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足：（b2+c2a2）sinCc2sin B（）求角A的大小；（）若a1，求b+c的最大值【分析】（）由正弦定理化简已知等式可得
19、b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosA，结合范围A（0，），可求A的值（）由（）及a1，可得（b+c）23bc+1，由bc（）2，即可求得b+c的最大值【解答】解：（）（b2+c2a2）sinCc2sinB，（b2+c2a2）cc2b，c0，b2+c2a2bc，由余弦定理可得：cosA，又在ABC中，A（0，），A（）由（）及a1，可得：b2+c2bc+1，即（b+c）23bc+1，bc（）2，当且仅当bc时等号成立，（b+c）2（b+c）2+1，则b+c2，当且仅当bc时等号成立，故b+c的最大值为2【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能
20、力和转化思想，属于基础题19（15分）已知数列an满足：an+14|an|（nN*）（）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1；（）若a14，且a1，a2，a3，a4成等差数列，求a1【分析】（）把已知等式an+14|an|取n值依次得到a1，a2，a3，然后分类利用等比数列的性质求解；（）由a14，求得a1，a2，a3，a4，再由a44+a3列式求解【解答】解：（）a10，a24|a1|4a1，a1，a2，a3成等比数列，0a14时，解得a12；当a14时，解得（舍）或综合可知，a12或；（）a14，a24|a1|4+a10，a34|a2|8+a1，a44|a3|4|8+a1|，a1
21、，a2，a3，a4成等差数列，而显然a1，a2，a3成等差数列且公差为4，a44+a3，得4|8+a1|（8+a1）+4，即|8+a1|（8+a1），故a18，即a1是小于等于8的所有实数【点评】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题20（15分）如图，多面体PABCD，平面ABCD平面PBC，DCBC，DABC，BCP90，M是AP的中点，N是DP上的点（）若MN平面PBC，证明：N是DP的中点；（）若CBCDCP3，AD1，求二面角ABPC的平面角的余弦值【分析】（）设平面ADP平面PBCl，由已知结合线面平行的性质可得MNl
22、，再由DABC，得DA平面PBC，则DAl，可得MNl，结合M是AP的中点，得N是DP的中点；（）证明DCPC，又BCPC，于是可建立如图所示空间直角坐标系（C为原点），分别求出平面APB与平面PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角ABPC的余弦值【解答】（）证明：设平面ADP平面PBCl，MN平面PBC，MN平面ADP，MNl，又DABC，DA平面PBC，则DAlMNl，又M是AP的中点，N是DP的中点；（）解：平面ABCD平面PBC，DCBC，DC平面PBC，DCPC，而BCP90，即BCPC，于是可建立如图所示空间直角坐标系（C为原点），得A（1，0，3），B（3，0，0
23、），P（0，3，0），设平面APB的法向量为，则，取z2，得取平面PBC的法向量为设所求二面角ABPC的平面角为，则cos【点评】本题考查直线与平面平行的性质及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题21（15分）已知椭圆C：+1（a0，b0）的长轴长为4，离心率为（）求椭圆C的方程；（）当ab时，设M（m，0）（mR），过M作直线l交椭圆C于P、Q两点，记椭圆C的左顶点为A，直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求实数m的值【分析】（）利用椭圆的几何性质，分两种情况，建立方程组求解；（）分直线l的斜率不存在与存在两种情况，分别建立k1k2关于m的
24、表达式，建立方程求解【解答】解：（）当ab时，由解之得；当ab时，由得所以椭圆C的方程为或（）当直线l的斜率不存在时，l的方程为xm（2m2），由，得两点所以，即m2+m20得m2（舍）或m1当直线l的斜率存在时，l的方程设为yk（xm）（2m2k0），设P（x1，x2），Q（x2y2），联立消去y得（3+4k2）x28mk2x+4m2k2120（*）所以，而化简得，即m2k2+mk22k20，显然k20，所以m2+m20，解得m1或m2（舍去）对m1时，方程（*）的0，所以m1故综上所得实数m1【点评】本题主要考查椭圆的性质、方程以及直线与椭圆之间的位置关系，属于中档题目22（15分）已知函
25、数f（x）lnx，e是自然对数的底数（）若过坐标原点O作曲线yf（x）的切线l，求切线l的方程；（）当a0时，不等式f（x）ax+b（bR）恒成立，求f （2+）的最小值【分析】（）设切点为（x0，y0），利用导数求得函数在切点处的切线方程，代入原点坐标求得y0，再由y0lnx0求得x0e，则直线l的方程可求；（）不等式f（x）ax+b（bR）恒成立，即lnxaxb0恒成立，记m（x）lnxaxb（x0），利用导数求其最大值，可得即blna1得到在令n（a），利用导数求其最小值，可得的最小值为1，则2+的最小值为1再由f（x）lnx是增函数求解f （2+）的最小值为ln10【解答】解：（）设切
26、点为（x0，y0），f（x），l：，得，即y01y0lnx0，x0e故直线l的方程为，即；（）不等式f（x）ax+b（bR）恒成立，即lnxaxb0恒成立，记m（x）lnxaxb（x0），则m（x）（x0）当a0时，令m（x）0，得x，当x（0，）时，m（x）0，此时m（x）单调递增；当x（，+）时，m（x）0，此时m（x）单调递减则即blna1则记n（a），则n（a）（a0），令n（a）0，得a1当a（0，1）时，n（a）0，n（a）单调递减；当a（1，+）时，n（a）0，n（a）单调递增则n（a）minn（1）1，得的最小值为12+的最小值为1f（x）lnx是增函数，f （2+）的最小值为ln10【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题