1、2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（4分）椭圆的短轴长为（）A4B6C8D102（4分）设复数z满足（1+i）2z2+i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（4分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若m，m，则D若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则4（4分）有下列四个命题：“相似三角形周长相等”的否命题；“若xy，则x|y|”的逆命题；“若
2、x1，则x2+x20”的否命题；“若b0，则方程x22bx+b2+b0有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个5（4分）已知m，nR，则“m0且n0”是“抛物线mx2+ny0的焦点在y轴非负半轴上”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（4分）下列命题正确的是（）A|是向量，不共线的充要条件B在空间四边形ABCD中，+0C在棱长为1的正四面体ABCD中，D设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若+，则P，A，B，C四点共面7（4分）若椭圆1（a1b10）与双曲线1（a20，b20）有公共的焦点F1，F2，点P是两条曲线的交
3、点，F1PF2，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，且e1e21，则e1（）ABCD8（4分）已知P为双曲线：1（a0，b0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足|AF|PF|，PFA，则点F到直线PA的距离为（）ABCD9（4分）如图，四边形ABCD中，ABBDDA4，BCCD2，现将ABD沿BD折起，当二面角ABDC的大小在时，直线AB和CD所成角为，则cos的最大值为（）ABCD10（4分）若长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，BCCC1，E，F，G分别为AD，AB，C1D1上的点，AEED，AFFB，（4）分别记二面角GEFD1，GEFC，GFBC的平面角
4、为，则（）ABCD与的值有关二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。11（6分）双曲线1的焦点坐标是 ，渐近线方程是 12（6分）在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EHEF，记x+y+z，则 （x，y，z） ，若，BOC60，且|1，则| 13（6分）设复数z（）2018+（）2019，其中i为虚数单位，则的虚部是 ，|z| 14（6分）一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是 ，体积是 15（4分）已知P（x，y）是抛物线y28x上的点，则x的最大值是 16（4分）已知椭圆E：1的左右焦点分别为F1，F2，动弦AB过
5、左焦点F1，若|恒成立，则椭圆E的离心率的取值范围是 17（4分）已知矩形ABCD中，AB2AD4，E为CD的中点，AC，BE交于点F，ADE沿着AE向上翻折，使点D到D若D在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部及边界上，则FH的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（14分）已知a0，设命题p：当x，3时，函数f（x）x+恒成立，命题q：双曲线1的离心率e（1，3（）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围19（15分）如图，在四面体OABC中，AOB90，BOCAOC60，
6、OAOBOC4（）求点C到平面OAB的距离；（）求异面直线OA与BC所成角的大小20（15分）如图，已知多面体PABCD中，ADBC，AD平面PAB，AD2BC4，AB1，PA2，PAB60（1）证明：PB平面ABCD；（2）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值21（15分）已知点P是圆M：（x1）2+y28上的动点，定点N（1，0），线段PN的垂直平分线交PM于点Q（）求点Q的轨迹E的方程；（）过点N作两条斜率之积为的直线l1，l2，l1，l2分别与轨迹E交于A，B和C，D，记得到的四边形ACBD的面积为S，求S的最大值22（15分）如图，点P（x0，y0）在抛物线C：yx2外，过点P作抛物
7、线C的两切线，设两切点分别为A（x1，x12），B（x2，x22），记线段AB的中点为M（）求切线PA，PB的方程；（）证明：线段PM的中点N在抛物线C上；（）设点P为圆D：x2+（y+2）21上的点，当取最大值时，求点P的纵坐标2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（4分）椭圆的短轴长为（）A4B6C8D10【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可【解答】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b4，所以椭圆的短轴长为8故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的
8、应用，是基本知识的考查2（4分）设复数z满足（1+i）2z2+i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）2z2+i，得2iz2+i，复数z对应的点的坐标为（，1），位于第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（4分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若m，m，则D若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m
9、n；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，与相交或平行【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若m，n，则由线面垂直的性质定理得mn，故A正确；在B中，若m，m，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，m，则与相交或平行，故C错误；在D中，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与相交或平行，故D错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题4（4分）有下列四个命题：“相似三角形周长相等”的否命题；“若xy，则x|y|”的逆命题；“若x1，则x2+x20”的否命题；“若b0，则
10、方程x22bx+b2+b0有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个【分析】写出命题的逆命题可判断；写出逆命题，可判断；写出命题的否命题，可判断；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断【解答】解：“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，可得其否命题不正确；“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”正确；“若x1，则x2+x20”的否命题为“若x1，则x2+x20”不正确；“若b0，则方程x22bx+b2+b0有实根”由4b24（b2+b）4b0，可得原命题正确，其逆否命题也正确故选：C【点评】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真
11、假和相互关系，考查推理能力，属于基础题5（4分）已知m，nR，则“m0且n0”是“抛物线mx2+ny0的焦点在y轴非负半轴上”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可【解答】解：抛物线mx2+ny0的标准方程为x2y4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn0，则m0且n0或n0且m0，则“m0且n0”是“抛物线mx2+ny0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦
12、点坐标建立不等式关系是解决本题的关键6（4分）下列命题正确的是（）A|是向量，不共线的充要条件B在空间四边形ABCD中，+0C在棱长为1的正四面体ABCD中，D设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若+，则P，A，B，C四点共面【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D【解答】解：由|，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，+（+）（）+（）+0，故B正确；在棱长为1的正四面体ABCD中，11cos120，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为
13、平面ABC外一点，若+，由+121，可得P，A，B，C四点不共面，故 D错误故选：B【点评】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题7（4分）若椭圆1（a1b10）与双曲线1（a20，b20）有公共的焦点F1，F2，点P是两条曲线的交点，F1PF2，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，且e1e21，则e1（）ABCD【分析】设PF1s，PF2t，由椭圆的定义可得s+t2a1，由双曲线的定义可得st2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值【解答】解：不妨设P在第一象限，再设PF1s，PF2t，由椭圆的定义可得s+t2a1，由双曲
14、线的定义可得st2a2，解得sa1+a2，ta1a2，由F1PF2，可得，由e1e21，即，得：，解得：（舍），或，即故选：B【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题8（4分）已知P为双曲线：1（a0，b0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足|AF|PF|，PFA，则点F到直线PA的距离为（）ABCD【分析】由题意可得APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c4a，由等边三角形的高可得所求值【解答】解：由题意，A（a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|PF|，PFA60，可得APF
15、为等边三角形，即有P（，（a+c），由双曲线的第二定义可得，（另解：将P的坐标代入双曲线的方程可得1，由b2c2a2）化为c23ac4a20，可得c4a，由c4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）5故选：D【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题9（4分）如图，四边形ABCD中，ABBDDA4，BCCD2，现将ABD沿BD折起，当二面角ABDC的大小在时，直线AB和CD所成角为，则cos的最大值为（）ABCD【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能
16、求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围，从而得到cos的最大值【解答】解：取BD中点O，连结AO，CO，ABBDDA4BCCD，COBD，AOBD，且CO2，AO，AOC是二面角ABDC的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角ABDC的平面角为，则，A（cos，0，sin），（cos，2，sin），（2，2，0），由AB、CD的夹角为，则cos，cos，则|1cos|，cos，即cos的最大值为，故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查空间想象能力与思维
17、能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题10（4分）若长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，BCCC1，E，F，G分别为AD，AB，C1D1上的点，AEED，AFFB，（4）分别记二面角GEFD1，GEFC，GFBC的平面角为，则（）ABCD与的值有关【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设4，向量法求出cos，cos，cos，由此能求出结果【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设4，则E（，0，0），F（，0），G（0，），D1（0，0，），B（，1，0），C（0，0），（，0），（，），（，0，），
18、（，0），（0，0），（，），设平面EFG的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，），设平面EFD1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，），cos0.935；平面EFC的法向量（0，0，1），cos0.600；设平面GBF的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，1），平面BFC的法向量（0，0，1），cos0.707故选：C【点评】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。11（6分）双曲线1的焦点坐标是（0，），渐近线方
19、程是y2x【分析】利用双曲线的a，b，c的关系，直接计算【解答】解：双曲线1中a212，b23，则c2a2+b215且焦点在y轴上，双曲线1的焦点坐标是 （0，），渐近线方程是 y故答案为：（0，），y2x【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，考查学生的计算能力，属于基础题12（6分）在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EHEF，记x+y+z，则 （x，y，z）（），若，BOC60，且|1，则|【分析】利用空间向量加法定理能求出（x，y，z）；利用空间向量数量积公式能求出|【解答】解：在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是
20、EF上一点，且EHEF，+（）x+y+z，（x，y，z）（），BOC60，且|1，2（+）2+2|故答案为：（），【点评】本题考查空间向量的求法，考查向量的模的求法，考查空间向量加法法则、空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题13（6分）设复数z（）2018+（）2019，其中i为虚数单位，则的虚部是1，|z|【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：，z（）2018+（）2019（i）2018+i2019i2+i31i，则的虚部为1|z|故答案为：1；【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14
21、（6分）一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是15，体积是【分析】根据三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据，代入表面积与体积公式计算【解答】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：几何体的表面积：15+几何体的体积V1；故答案为：15+；，【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量15（4分）已知P（x，y）是抛物线y28x上的点，则x的最大值是+2【分析】根据题意画出图形，利用数形结合法把x化为|PA|PF|+2，从而求得最大值【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；由图
22、形知，x|PA|x|PA|（|PM|2）|PA|（|PF|2）|PA|PF|+2|AF|+2+2；即x的最大值是+2故答案为：+2【点评】本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题16（4分）已知椭圆E：1的左右焦点分别为F1，F2，动弦AB过左焦点F1，若|恒成立，则椭圆E的离心率的取值范围是（0，【分析】设|AF1|m，|BF1|n，|AB|m+n，运用椭圆的定义和向量的平方即为模的平方，化简整理，结合余弦定理，以及基本不等式，可得a，c的关系，由离心率公式可得所求范围【解答】解：设|AF1|m，|BF1|n，|AB|m+n，由椭圆的定义可得|AF2|2am，|
23、BF2|2an，由|，两边平方可得|AF2|2+|BF2|22|AF2|2+|BF2|2+2，可得0，即有cosAF2B0，由余弦定理可得|AF2|2+|BF2|2|AB|2，可得（2am）2+（2an）2（m+n）2，即为8a24a（m+n）2mn，解得m+n4（1）a，又ABx轴时，AB取得最小值，可得4（1）a，即2（1）a2b2a2c2，即c（1）a，由e（0e1），则e的范围为（0，1故答案为：（0，1【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用定义法和向量数量积的性质，考查化简运算能力，属于中档题17（4分）已知矩形ABCD中，AB2AD4，E为CD的中点，AC，BE交于点F，ADE
24、沿着AE向上翻折，使点D到D若D在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部及边界上，则FH的取值范围为【分析】取AB中点M，AE中点N，易证H在MN上，问题转化为点F到线段MN 的距离最值问题，最小值易得，最大值为NF的长，可在直角三角形NEF中去求，也可通过建坐标系，利用两点间距离公式去求【解答】解：如图，M为AB中点，矩形ABCD中，AB2AD4，E为CD的中点，AMED，MBCE均为正方形，可知在旋转过程中，AE平面DNM，D在平面ABCD上的投影H落在线段MN上，故FH的最小值为FG，最大值为FN的长，FN的长可由下列方法求得：法1：在RtNEF中，NE，EF：BF1：2，由勾股定理
25、求得FN；法2：以M为原点建立坐标系，可知N（1，1），直线AC的方程为：y，直线BE的方程为：yx+2，联立可得F（），FN，故答案为【点评】此题考查了线面垂直，点到直线的距离等，综合性较强，难度适中三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（14分）已知a0，设命题p：当x，3时，函数f（x）x+恒成立，命题q：双曲线1的离心率e（1，3（）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围【分析】（）由p真，结合对勾函数的单调性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范围；（）由双曲线的离心率公式，可得a
26、的范围，由题意可得p真q假，p假q真，解不等式组，即可得到所求范围【解答】解：（）命题p为真命题，即当x，3时，函数f（x）x+恒成立，由yx+2，当且仅当x1时，y取得最小值2，即有2，解得a；（）双曲线1的离心率e（1，3，可得（1，3，解得a1，命题p和q中有且只有一个是真命题，可得p真q假，可得a且0a1，即a1：p假q真，可得0a且a1，即为a，综上可得a的范围是（，1）【点评】本题考查命题的真假判断，主要是不等式恒成立问题和双曲线的离心率，考查不等式的解法，属于基础题19（15分）如图，在四面体OABC中，AOB90，BOCAOC60，OAOBOC4（）求点C到平面OAB的距离；（
27、）求异面直线OA与BC所成角的大小【分析】（）作CH平面OAB于H，连接OH，作HEOA于E，HFOB于F，连接CE，CF，可得CEOCFO，得到OH是AOB的角平分线，求得COH45，再求解三角形得答案；（）记，则，记，求出的值，结合，即可求得异面直线OA与BC所成角的大小【解答】解：（）作CH平面OAB于H，连接OH，作HEOA于E，HFOB于F，连接CE，CF，AO平面CEH，BO平面CFH，CEOA，CFOB，则CEOCFOOEOF，四边形OEHF为正方形，OH是AOB的角平分线，cosCOEcosCOHcosEOH，即cosCOH，则COH45CH4；（）记，则，记，又，cos，即6
28、0异面直线OA与BC所成角的大小为60【点评】本题考查空间中点到面的距离的求法，考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题20（15分）如图，已知多面体PABCD中，ADBC，AD平面PAB，AD2BC4，AB1，PA2，PAB60（1）证明：PB平面ABCD；（2）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值【分析】（1）由余弦定理得PB，从而PBAB，由AD平面PAB，得ADPB，再由PBAB，能证明PB平面ABCD（2）由余弦定理求出cosPDC，从而sinPCD，SACD2，设直线PA与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为h，由VAPDCVPACD，得h，从而sin，由此能求出
29、直线PA与平面PCD所成角的正弦值【解答】证明：（1）在PBA中，PA2，AB1，PAB60，PB24+1221cos603，PB，PB2+AB2PA2，PBAB，ADBC，A，B，C，D四点共面，又AD平面PAB，PB平面PAB，ADPB，又PBAB，ADABA，PB平面ABCD解：（2）在RtPBC中，PC，在RtPAD中，PD2，在直角梯形ABCD中，CD，在PDC中，cosPDC，sinPCD，SACD2，设直线PA与平面PCD所成角为，设点A到平面PCD的距离为h，VAPDCVPACD，即，解得h，sin，直线PA与平面PCD所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角
30、的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（15分）已知点P是圆M：（x1）2+y28上的动点，定点N（1，0），线段PN的垂直平分线交PM于点Q（）求点Q的轨迹E的方程；（）过点N作两条斜率之积为的直线l1，l2，l1，l2分别与轨迹E交于A，B和C，D，记得到的四边形ACBD的面积为S，求S的最大值【分析】（）根据题意可得点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出椭圆的方程，（）设其中的一条直线AB的方程为yk（x+1）代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+4k2x+2k220，根据弦长公式求出|AB|，设出CD的方程
31、为y（x+1），根据韦达定理和点到直线的距离公式求出d1+d2，表示出四边形ACBD的面积为S，根据基本不等式求出最值【解答】解：（1）线段PN的垂直平分线交PM于点Q，|QN|QP|，|QM|+|QN|QP|+|QM|MP|2|MN|2点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，2a2，2c2，a，c1，b1，点Q的轨迹E的方程为+y21，（）设其中的一条直线AB的方程为yk（x+1）代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+4k2x+2k220，|AB|，设C（x1，y1），D（x2，y2），则CD的方程为y（x+1），即x2ky1，代入椭圆方程可得（4k2+2）y2+4ky10，则|y1y2|设C，D
32、到直线AB的距离分别为d1和d2，则d1+d2，S|AB|（d1+d2）2222，当k2时取等号【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于难题22（15分）如图，点P（x0，y0）在抛物线C：yx2外，过点P作抛物线C的两切线，设两切点分别为A（x1，x12），B（x2，x22），记线段AB的中点为M（）求切线PA，PB的方程；（）证明：线段PM的中点N在抛物线C上；（）设点P为圆D：x2+（y+2）21上的点，当取最大值时，求点P的纵坐标【分析】（）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（）求出点M的坐标，即可求出点N的坐
33、标，即可证明线段PM的中点N在抛物线C上；（）求出|AB|，再求出|PM|，结合换元法和函数的性质即可求出【解答】解：（）yx2，y2x，切线PA的方程为yx122x1（xx1），即y2x1xx12，同理可得，切线PB的方程为y2x2xx22，证明：（）点P既在切线PA上，也切线PB上，由（）可得y02x0x1x12，y02x0x2x22，故x0，y0x1x2，又点M的坐标为（，），点N的纵坐标为yN（+x1x2）（）2，即点N的坐标为（，（）2），即线段PM的中点N在抛物线C上（）由（）知，|AB|，|PM|，2，设t4y0+1，则，当t113时，即y0时，取最大值【点评】本题考查抛物线的方程的运用，同时考查切线方程的求法，注意运用导数的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题