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2018-2019学年浙江省绍兴市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年浙江省绍兴市高二(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)直线3xy+10的斜率是()A3B3CD2(3分)已知R,则“cos”是“2k+,kZ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3(3分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A2B1CD4(3分)已知方程的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A4k9BCD4k9且5(3分)已知椭圆上的一点P到两个焦点距离之和为10,则a2()A5B10C1

2、5D256(3分)直线ax+3y90与直线x3y+b0关于原点对称,则a,b的值是()Aa1,b9Ba1,b9Ca1,b9Da1,b97(3分)设圆C1:x2+y24与圆C2:(x3)2+(y+4)29,则圆C1与圆C2的位置关系是()A外离B外切C相交D内含8(3分)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的平面角()A相等B相等或互补C互补D不能确定9(3分)在ABC中,AB2AC,AD是A的平分线,且ACtAD,则t的取值范围是()ABCD10(3分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA11,点E,O分别是线段D1D,DB的中点,分别记二面角FO

3、B1E,FOEB1,FEB1O的平面角为,则下列结论正确的是()ABCD二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11(3分)已知向量(0,1,0),(1,0,1),|,且0,则   12(3分)若实数x,y满足x2+y21,则xy的最小值为   13(3分)焦点在x轴上的椭圆x2+my21的离心率为,则它的短半轴长为   14(3分)已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形,那么原三角形的面积为   15(3分)已知椭圆的上顶点为M,直线l与该椭圆交于P,Q两点,且点(1,0)恰为PQM的垂心,则直线l的方程为   16

4、(3分)若不全为零的实数a,b,c成等差数列,点A(1,2)在动直线l:ax+by+c0上的射影为P,点Q在直线3x4y+120上,则线段PQ长度的最小值是   三、解答题(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(10分)已知ABC中,A(2,2),B(4,0),C(3,1),ADBC,垂足为D()求直线AD的方程;()求过点D且平行于边AC的直线方程18(10分)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,D为AC的中点()求证:AB1平面C1BD;()求证:平面BDC1平面AA1C1C19(10分)从原点O向圆M:作两条切线,切点分别为P,Q

5、,记切线OP,OQ的斜率分别为k1,k2()若圆心,求两切线OP,OQ的方程;()若,求圆心M的轨迹方程20(10分)如图,在四棱锥PABCD中,PAB是正三角形,四边形ABCD是正方形()求证:PCPD;()若,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值21(12分)已知椭圆的离心率为,长轴长为4()求椭圆C的方程;()若直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O在以AB为直径的圆上,OHAB于H点试求点H的轨迹方程2018-2019学年浙江省绍兴市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)

6、直线3xy+10的斜率是()A3B3CD【分析】化直线方程的一般式为斜截式,则直线的斜率可求【解答】解:由3xy+10,得y3x+1直线3xy+10的斜率是3故选:A【点评】本题考查了直线的斜率,考查了直线方程的一般式和斜截式的互化,是基础的会考题型2(3分)已知R,则“cos”是“2k+,kZ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】cos,解得2k,kZ,即可判断出结论【解答】解:cos,解得2k,kZ,“cos”是“2k+,kZ”的必要但非充分条件故选:B【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3(

7、3分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A2B1CD【分析】根据三视图知该几何体是底面为俯视图三角形,高为1的直三棱锥,结合图中数据求得三棱锥的体积【解答】解:根据三视图知该几何体是底面为俯视图三角形,高为1的直三棱锥,如图所示;则该三棱锥的体积为V221(cm3)故选:C【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题,是基础题4(3分)已知方程的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A4k9BCD4k9且【分析】根据椭圆的标准方程,得焦点在y轴上的椭圆方程中,x2、y2的分母均为正数,且y2的分母较大,由此建立关于k的不等式组,解之

8、即得实数k的取值范围【解答】解:方程表示焦点在y轴上的椭圆,解之得k9实数k的取值范围是(,9)故选:C【点评】本题给出标准方程表示焦点在y轴上的椭圆,求参数k的取值范围,着重考查了椭圆的标准方程的概念,属于基础题5(3分)已知椭圆上的一点P到两个焦点距离之和为10,则a2()A5B10C15D25【分析】由椭圆的定义可得,点P到两个焦点的距离之和为 2a,根据椭圆的标准方程可得a值【解答】解:由椭圆的定义可得,椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为 2a,由椭圆的方程可知a5,a225,故选:D【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程,判断点P到两个焦点的距离之和为2a是解题的关键6(3分)直

9、线ax+3y90与直线x3y+b0关于原点对称,则a,b的值是()Aa1,b9Ba1,b9Ca1,b9Da1,b9【分析】直线ax+3y90上任意取点(m,n),关于原点对称点的坐标为(m,n),分别代入已知的直线方程,即可求得结论【解答】解:直线ax+3y90上任意取点(m,n),关于原点对称点的坐标为(m,n),则点(m,n)是直线ax+3y90上任意一点a1,b9故选:D【点评】本题考查直线的对称性,考查学生的计算能力,属于基础题7(3分)设圆C1:x2+y24与圆C2:(x3)2+(y+4)29,则圆C1与圆C2的位置关系是()A外离B外切C相交D内含【分析】求出两圆的圆心距,由两圆的

10、圆心距等于两圆的半径和可得圆C1与圆C2外切【解答】解:圆C1:x2+y24的圆心坐标为C1(0,0),半径r12,圆C2:(x3)2+(y+4)29的圆心坐标为圆C2(3,4),半径r23|C1C2|5r1+r2,圆C1与圆C2的位置关系是为切故选:B【点评】本题考查圆与圆的位置关系,是基础题8(3分)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的平面角()A相等B相等或互补C互补D不能确定【分析】在正方体中举反例得到答案即可【解答】解:如果两个二面角的半平面分别对应垂直,那么这两个二面角角相等或互补”(面与二面角的性质)但是这个命题不一定正确,如下图就是一个反例

11、:正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角DAA1F与二面角D1DCA的两个半平面就是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补故选:D【点评】本题主要考察二面角的平面角一般在说明命题不成立时,常举反例来说明9(3分)在ABC中,AB2AC,AD是A的平分线,且ACtAD,则t的取值范围是()ABCD【分析】如图所示,在ABC中,AD是A的平分线,AB2AC,利用角平分线的性质定理可得:2,令ACa,DCb,ADc,则AB2a,BD2b在ABD与ACD中,分别利用余弦定理可得:BD2AB2+AD22ABADcos1,DC2AC2+AD22ACADcos2,化简整理即可得出【解答】解:如

12、图所示,在ABC中,AD是A的平分线,AB2AC,令ACa,DCb,ADc,则AB2a,BD2b在ABD与ACD中,分别利用余弦定理可得:BD2AB2+AD22ABADcos1,DC2AC2+AD22ACADcos2,4b24a2+c24accos1,b2a2+c22accos2,化为3c24accos10,又atc,t,1(0,),cos1(0,1)t(,+)故选:A【点评】本题考查了三角形内角平分线的性质定理、余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10(3分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA11,点E,O分别是线段D1D,DB的中点,分别记二面角

13、FOB1E,FOEB1,FEB1O的平面角为,则下列结论正确的是()ABCD【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,取,利用向量法能求出结果【解答】解:在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA11,点E,O分别是线段D1D,DB的中点,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,取,则O(,0),B1(,1),E(0,0,),F(,0,),(,1),(,),(,),(,),(,0,),设平面OB1E的法向量(x,y,z),则,取x1,得(1,1,0),设平面OFB1的法向量(x,y,z),则,取z3,得(4,2,3),cos;设平

14、面EFO的法向量(x,y,z),则,取y,得(,1),cos;设平面EFB1的法向量(x,y,z),则,取z6,得(,4,6),cos,故选:B【点评】本题考查二面角的大小的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11(3分)已知向量(0,1,0),(1,0,1),|,且0,则2【分析】利用空间向量坐标运算法则求出(1,1),再由|,0,列方程能求出的值【解答】解:向量(0,1,0),(1,0,1),(1,1),|,0,解得2故答案为:2【点评】本题考查实数值的求法,考查平空间向量坐标运算法则、向量的模

15、等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题12(3分)若实数x,y满足x2+y21,则xy的最小值为【分析】由x2+y21,可令xcos,ysin,结合三角函数的性质即可求解【解答】解:由x2+y21,可令xcos,ysin,则xycossincos(),结合三角函数的性质可知,最小值为故答案为:【点评】本题主要考查了求解最值的应用,解题的关键是对三角函数性质的灵活应用13(3分)焦点在x轴上的椭圆x2+my21的离心率为,则它的短半轴长为【分析】利用椭圆的离心率求解m,然后求解椭圆的短半轴长【解答】解:焦点在x轴上的椭圆x2+my21的离心率为,可得,解得m4,所以椭圆的短半轴

16、长:故答案为:【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查14(3分)已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形,那么原三角形的面积为【分析】根据平面图形的直观图与原图形的面积比为1:2,计算所求的面积即可【解答】解:ABC的直观图是边长为1的正三角形ABC,且ABC的面积为1,所以原ABC的面积为2故答案为:【点评】本题考查了平面图形与它的直观图面积的计算问题,是基础题15(3分)已知椭圆的上顶点为M,直线l与该椭圆交于P,Q两点,且点(1,0)恰为PQM的垂心,则直线l的方程为【分析】求出椭圆的上顶点为M,以及椭圆的焦点坐标,设出PQ的坐标,利用直线与椭圆的位置关系列

17、出不等式,然后求解直线l的方程【解答】解:由题意可知M(0,1),F(1,0),MF的方程:x+y10,设P(x1,y1),Q(x2,y2),点F为PQM垂心PQMF,设直线l方程:yx+b,MFPF,(x11)x2+(x1+b)(x2+b1)0,化简得x1x2+(x1+x2)(b1)+b(b+1)0yx+b代入椭圆得3x2+4bx+2b220,8b2+248(b23)0,x1+x2,x1x2代入x1x2+(x1+x2)(b1)+b(b+1)0,解得b1舍去或bl的方程为yx故答案为:yx【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆的位置关系的应用,考查计算能力16(3分)若不全为零的实数

18、a,b,c成等差数列,点A(1,2)在动直线l:ax+by+c0上的射影为P,点Q在直线3x4y+120上,则线段PQ长度的最小值是1【分析】由已知得点P在以(1,0)为圆心,2为半径的圆上,线段PQ长度的最小值等于圆心(1,0)到直线3x4y+120的距离d减去圆半径2【解答】解:不全为零的实数a,b,c成等差数列,b,代入动直线l:ax+by+c0,得ax+c0,化为a(2x+y)+c(y+2)0,a,c不全为0,解得x1,y2,动直线l过定点Q(1,2),设点P(x,y),APQP(x1,y2)(x1,y+2)0,整理,得x2+y22x30,点P在以(1,0)为圆心,2为半径的圆上,点Q

19、在直线3x4y+120上,线段PQ长度的最小值等于圆心(1,0)到直线3x4y+120的距离d减去圆半径2,|PQ|min21故答案为:1【点评】本题考查线段长的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用三、解答题(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(10分)已知ABC中,A(2,2),B(4,0),C(3,1),ADBC,垂足为D()求直线AD的方程;()求过点D且平行于边AC的直线方程【分析】()求出BC的斜率,根据垂直关系得出AD的斜率,利用点斜式写出AD的直线方程;()写出BC的直线方程,求出点D的坐标,再求直线AC的

20、方程【解答】解:()因为,ADBC,所以kAD7;       (2分)所以AD的直线方程为y27(x2),即y7x12;(4分)()因为BC的直线方程为,所以,解得,所以;     (7分)又kAC3,所以AD的直线方程为y+3(x),即y3x+4 (10分)【点评】本题考查了直线方程的应用问题,是基础题18(10分)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,D为AC的中点()求证:AB1平面C1BD;()求证:平面BDC1平面AA1C1C【分析】()连结B1C交BC1于E,连结ED证明AB1DE,推出AB1平面C1BD()证明BD平

21、面AA1C1C,推出平面BDC1平面AA1C1C【解答】证明:()连结B1C交BC1于E,连结ED在AB1C中,D,E分别为AC与B1C的中点,所以AB1DE,又AB1平面C1BD,DE平面C1BD,所以AB1平面C1BD                           (5分)()因为BDAC,由平面ABC平面AA1C1C,所以BD平面AA1C1C,又BD平面BDC1,所以平面BDC1平面AA1C1C        (1

22、0分)【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力19(10分)从原点O向圆M:作两条切线,切点分别为P,Q,记切线OP,OQ的斜率分别为k1,k2()若圆心,求两切线OP,OQ的方程;()若,求圆心M的轨迹方程【分析】()圆M:,设切线为ykx,由相切列出方程,然后求解即可()因为直线OP:yk1x,OQ:yk2x,与圆M相切,由直线和圆相切得:,转化求解轨迹方程即可【解答】解:()圆M:,设切线为ykx,由相切得,解得,所以两切线OP,OQ分别为,(4分)()因为直线OP:yk1x,OQ:yk2x,与圆M相切,由直线和圆相

23、切得:,(6分)整理得0,0,(8分)当时,k1,k2是方程的两个不相等的实数根,k1k2,因,则               (9分)当时,也满足因此圆心M的轨迹方程为                          (10分)【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查点到直线的距离以及转化思想的应用,考查计算能力20(10分)如图,在四棱锥PABCD中,PAB是正三角形,四边形ABCD是正方形()

24、求证:PCPD;()若,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【分析】(I)取AB的中点M及CD的中点N,连结PM,PN,MN证明AB平面PMNCD平面PMN,然后证明PCPD(II)法一:过B作BH平面PCD,垂足为H,连接PH,BH,BPH为直线PB与平面PCD所成角,过M作MFPN于F,设CD2,在等腰三角形PMN中可算得MF,然后求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值法二:设PB与面PCD所成角为,设CD2,所以,以CD中点N为坐标原点,CD所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,过N点且垂直于面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系求出面PCD法向量,然后利用空间向量的数量积求解即可【解

25、答】解:(I)证明:取AB的中点M及CD的中点N,连结PM,PN,MN由PAB是正三角形,四边形ABCD是正方形得ABPM,ABMN,又PM,MN平面PMN,PMMNM,所以AB平面PMN因为ABCD,所以CD平面PMN,又PN平面PMN,所以CDPN,又CD的中点是N,所以PCPD(II)法一:过B作BH平面PCD,垂足为H,连接PH,BH,BPH为直线PB与平面PCD所成角,过M作MFPN于F,由CD平面PMN及MF平面PMN,得CDMF,又MFPN,PN,CD平面PCD,PNCDN,所以MF平面PCD由ABCD,AB平面PCD,CD平面PCD,得AB平面PCD于是点B到平面PCD的距离B

26、H等于点M到平面PCD的距离等于MF设CD2,则,PAPBABADBCMN2,计算得,PN2,在等腰三角形PMN中可算得,所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于法二:设PB与面PCD所成角为,设CD2,所以,以CD中点N为坐标原点,CD所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,过N点且垂直于面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,1,0),D(,0,),所以设面PCD法向量,所以,取z1,则所以【点评】本题考查直线与平面所成角的求法,直线与平面垂直的判定定理的应用,空间距离的求法,考查计算能力21(12分)已知椭圆的离心率为,长轴长为4()求椭圆C的

27、方程;()若直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O在以AB为直径的圆上,OHAB于H点试求点H的轨迹方程【分析】()利用椭圆的离心率以及长轴长,求出a,b,即可求椭圆C的方程;()设A(x1,y1),B(x2,y2),若lx轴,可设H(x0,0),求出H坐标;当直线l的斜率存在且不为0时,设l:ykx+m,联立直线与椭圆方程,通过韦达定理,结合OAOB,通过直线OH的方程为联立直线方程,然后求解点H的轨迹方程【解答】解:()由题意知,a2,所以c1,b23故椭圆C的方程为(3分)()设A(x1,y1),B(x2,y2),若lx轴,可设H(x0,0),因OAOB,则A(x0,x0)由,得,即若ly轴,可设H(0,y0),同理可得(4分)当直线l的斜率存在且不为0时,设l:ykx+m,由,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2120则(6分)由OAOB,得x1x2+y1y20故 ,即7m212(k2+1)(*)(8分)由OHAB,可知直线OH的方程为联立方程组,得(记为)(10分)代入(*)式,化简得综合(1)(2),可知点H的轨迹方程为(12分)【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力