1、2018-2019学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）直线xy+10的倾斜角的大小为（）A30B60C120D1502（4分）双曲线x2y21的渐近线方程是（）ABCy2xDyx3（4分）如图所示，把棱长为1的正方体放在空间直角坐标系中，则点D的坐标为（）A（0，0，1）B（0，1，1）C（1，0，1）D（1，1，1）4（4分）如图是某几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（AB4C4D85（4分）已知圆C：（x1）2+（y2）28，则过点P（3，0
2、）的圆C的切线方程为（）Ax+y30Bxy30Cx2y30Dx+2y306（4分）已知m，n是两条不同直线，是一个平面，m，n，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）如图，M是抛物线y24x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角xFM120则|FM|（）ABC3D48（4分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为梯形，ABDC，则在面PBC内（）A一定存在与CD平行的直线B一定存在与AD平行的直线C一定存在与AD垂直的直线D不存在与CD垂直的直线9（4分）已知O为坐标原点，F为双曲线1（a0，b0）的左焦点，过点F且倾
3、斜角为30的直线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足|FA|BP|，且|OA|OB|，则双曲线的离心率为（）ABCD10（4分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C13DC1，B1C4B1E点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A22B23C26D27二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为 ：外接球的表面积为 12（6分）已知直线l1：3x+my+
4、40与l2：xy+10若l1l2，则m ；若l1l2，则m 13（6分）已知向量（1，0，1），（1，1，0）则| ；向量与的夹角是 14（6分）已知两圆x2+y21和x2+y26x8y+m0，当m 时，两圆外切：当m 时，两圆内切15（4分）已知点M（4，2），过原点的直线l与直线y2交于点A，若|AM|2，则直线l的方程为 16（4分）如图，已知F为椭圆+1的左焦点，直线11：x3，直线l2：x3，过点F且斜率为1的直线与l1，椭圆，l2从左至右分别交于A，B，C，D四点则|AB|CD| &n
5、bsp; 17（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M为底面ABCD两条对角线的交点，P为平面BCC1B1内的动点，设直线PM与平面BCC1B1所成的角为，直线PD与平面BCC1B1所成的角为若，则动点P的轨迹长度为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知圆C：（x2）2+y2r2（r0）经过点A（2，1）（）求r的值；（）设O为坐标原点，直线OA与圆C交于另一点B，求|AB|19（15分）在正方体ABCDA1B1C1D1中（）求证：A1C1平面ABCD；（）求二面角A1BDC1的平面角的余弦值20（15分）
6、如图，焦点为F的抛物线y22px（p0）过点Q（1，m）（m0），且|QF|2（）求p的值；（）过点Q作两条直线l1，l2分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线l1，l2分别交x轴于C，D两点，若QCDQDC，证明：y1+y2为定值21（15分）如图，在三棱锥EABC中，AE垂直于平面ABCACB90，ACBC2，AE1，点F为平面ABC内一点，记直线EF与平面BCE所成角为，直线EF与平面ABC所成角为（）求证：BC平面ACE；（）若sin，求sin的最小值22（15分）如图，已知椭圆：+y21的左右顶点分别为A，B，过点M（1，0）的直线与椭圆交于C，D两点（异于A，B
7、），直线AC与BD交于点P，直线AD与BC交于点Q（）设直线CA的斜率为k1，直线CB的斜率为k2，求k1k2的值；（）证明：直线PQ为定直线，并求该定直线的方程；（）求APQ面积的最小值2018-2019学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）直线xy+10的倾斜角的大小为（）A30B60C120D150【分析】设直线xy+10的倾斜角为，则tan，0，180）即可得出【解答】解：设直线xy+10的倾斜角为，则tan，0，180）60，故选：B【点评】本题考查了直线
8、的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（4分）双曲线x2y21的渐近线方程是（）ABCy2xDyx【分析】由双曲线的方程即可得出a，b的值，进而即可求出其渐近线的方程【解答】解：由双曲线x2y21的方程可得：ab1，其渐近线的方程为yx故选：D【点评】熟练掌握双曲线的方程与渐近线的方程的关系是解题的关键3（4分）如图所示，把棱长为1的正方体放在空间直角坐标系中，则点D的坐标为（）A（0，0，1）B（0，1，1）C（1，0，1）D（1，1，1）【分析】利用空间直角坐标系的性质直接求解【解答】解：把棱长为1的正方体放在空间直角坐标系中，则点D的坐标为（1，1，1）故选：D【点
9、评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（4分）如图是某几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（AB4C4D8【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体的三视图：转换为几何体为：底面为边长为2的正三角形，高为4的三棱柱，故：，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型5（4分）已知圆C：（x1）2+（y2）28，则过点P（3，0）的圆C的切线方程为（）Ax+y30Bxy30
10、Cx2y30Dx+2y30【分析】根据题意，由圆的方程和点的坐标分析可得P在圆C上，求出直线CP的斜率，进而可得切线的斜率，将P的坐标代入计算可得答案【解答】解：根据题意，圆C：（x1）2+（y2）28，P的坐标为（3，0），则有（31）2+（02）28，则P在圆C上，此时KCP1，则切线的斜率k1，则切线的方程为yx3，即xy30，故选：B【点评】本题考查圆的切线方程，注意直线与圆相切的性质，属于基础题6（4分）已知m，n是两条不同直线，是一个平面，m，n，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的性质结合充分条件和必要条件
11、的定义进行判断即可【解答】解：若mn由线面平行的定义知m成立，即充分性成立，若m，则m与n可能平行可能是异面直线，故必要性不成立，即“mn”是“m”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的性质定理是解决本题的关键7（4分）如图，M是抛物线y24x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角xFM120则|FM|（）ABC3D4【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|a，求得M的纵坐标和横坐标，代入抛物线方程解方程即可得到所求值【解答】解：抛物线y24x的焦点F（1，0），准线方程为x1，设|MF|a，可得M的纵坐标为asin120a
12、，横坐标为1a，即有M的横坐标为a21a，解得a或4（舍去），故选：A【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查任意角的三角函数的定义，考查化简运算能力，属于基础题8（4分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为梯形，ABDC，则在面PBC内（）A一定存在与CD平行的直线B一定存在与AD平行的直线C一定存在与AD垂直的直线D不存在与CD垂直的直线【分析】在A中，由CD平面PBCC，得到在面PBC内没有直线与CD平行；在B中，由AD与平面PBC相交，得到在面PBC内没有直线与AD平行；在C中，由AD与平面PBC相交，得到在面PBC内一定存在与AD垂直的直线；在D中，由CD平面PBCC，得到在
13、面PBC内一定存在与CD垂直的直线【解答】解：由四棱锥PABCD的底面ABCD为梯形，ABDC，知：在A中，CD平面PBCC，在面PBC内没有直线与CD平行，故A错误；在B中，底面ABCD为梯形，AD与平面PBC相交，在面PBC内没有直线与AD平行，故B错误；在C中，AD与平面PBC相交，在面PBC内一定存在与AD垂直的直线，故C正确；在D中，CD平面PBCC，在面PBC内一定存在与CD垂直的直线，故D错误故选：C【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题9（4分）已知O为坐标原点，F为双曲线1（a
14、0，b0）的左焦点，过点F且倾斜角为30的直线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足|FA|BP|，且|OA|OB|，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】设双曲线的右焦点为F'，连接PF'，取AB的中点M，可得M为FB的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，连接PF'，取AB的中点M，由|FA|BP|，可得M为PF的中点，|OA|OB|，可得OMAB，由PFO30，可得|PF'|2|OM|c，即有|PF|2ccos30c，由双曲线的定义可得cc2a，即有e+1，故选：D【
15、点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题10（4分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C13DC1，B1C4B1E点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A22B23C26D27【分析】延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，由题意得A1D2DC1，由此能求出较大部分的体积【解答】解：如图，延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C
16、1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，A1C13DC1，B1C4B1E，M，N分别为C1B1，B1B的中点，下部分体积V下VPAQCVVMABQ23故选：B【点评】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为：外接球的表面积为3【分析】利用正方体体对角线长为棱长的倍，和外接球直径为体对角线长容易得到答案【解答】解：由正方体的棱长为1，易知其体对角线长为，而其外接球直径
17、即为其体对角线长，3，故答案为：【点评】此题考查了正方体的外接球，属容易题12（6分）已知直线l1：3x+my+40与l2：xy+10若l1l2，则m3；若l1l2，则m3【分析】利用直线平行与垂直与斜率之间的关系即可得出【解答】解：直线l1：3x+my+40与l2：xy+10l1l2，3m0，解得m3l1l2，3m0，解得m3故答案为：3，3【点评】本题考查了直线平行与垂直斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13（6分）已知向量（1，0，1），（1，1，0）则|；向量与的夹角是60【分析】利用向量的模的定义和向量夹角求解公式直接求解【解答】解：向量（1，0，1），（1，1，0
18、）则|；cos，向量与的夹角是60故答案为：，60【点评】本题考查向量的模和两个向量的夹角的求法，考查向量的模的定义和向量夹角求解公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题14（6分）已知两圆x2+y21和x2+y26x8y+m0，当m9时，两圆外切：当m11时，两圆内切【分析】根据题意，求出两个圆的圆心与半径，即可得两圆的圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：根据题意，由C1：x2+y21，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y26x8y+m0，得（x3）2+（y4）225m，其圆心（3，4），半径r，|C1C2|5，若两圆外切，有|C1C2|1+
19、5，解可得m9，若两圆内切，有|C1C2|15，解可得m11，故答案为：9，11【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切、内切的条件，属于基础题15（4分）已知点M（4，2），过原点的直线l与直线y2交于点A，若|AM|2，则直线l的方程为xy0，或x3y0【分析】分情况讨论，结合|AM|2，即可求出【解答】解：当直线l的斜率存在时，设过原点的直线l为ykx，由，可得A（，2），M（4，2），|AM|2，（4）2+（22）24，解得k或k1，此时直线方程为xy0，或x3y0，当直线l的斜率不存在时，此时直线方程为x0，此时点A的坐标为（0，2），由M（4，2），此时|AM|4，不满足|A
20、M|2，综上所述直线的方程为xy0，或x3y0，故答案为：xy0，或x3y0【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了运算能力，属于中档题16（4分）如图，已知F为椭圆+1的左焦点，直线11：x3，直线l2：x3，过点F且斜率为1的直线与l1，椭圆，l2从左至右分别交于A，B，C，D四点则|AB|CD|【分析】写出直线l的方程，与椭圆方程联立求得B，C的坐标，进一步求出|AB|，|CD|的值得答案【解答】解：由椭圆+1，得a24，b23，则F（1，0），直线l的方程为yx+1联立，解得，则|AB|，|CD|AB|CD|故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题17（4分）如
21、图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M为底面ABCD两条对角线的交点，P为平面BCC1B1内的动点，设直线PM与平面BCC1B1所成的角为，直线PD与平面BCC1B1所成的角为若，则动点P的轨迹长度为【分析】过M作MEBC，E为垂足，推导出PC2PE，以CE的中点O为坐标原点，BC为x轴，在平面BCC1B1作BC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设P（x，y），推导出动点P的轨迹是以（，0）为圆心，以这半径的圆，由此能求出动点P的轨迹长度【解答】解：过M作MEBC，E为垂足，则，即，PC2PE，以CE的中点O为坐标原点，BC为x轴，在平面BCC1B1作BC的垂线为y轴，建立平面直角坐
22、标系，设P（x，y），C（1，0），E（1，0），则（x1）2+y24（x+1）2+4y2，整理，得（x+）2+y2，y0动点P的轨迹是以（，0）为圆心，以这半径的圆，动点P的轨迹长度为：r故答案为：【点评】该题考查动点P的轨迹长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知圆C：（x2）2+y2r2（r0）经过点A（2，1）（）求r的值；（）设O为坐标原点，直线OA与圆C交于另一点B，求|AB|【分析】（）把A（2.1）代入到圆C的方程可解得；（）写出直线
23、OA的方程，求出圆心到直线OA的距离d，再用勾股定理可得弦长|AB|【解答】解：（）代入A（2，1）到（x2）2+y2r（r0）得（22）2+12r2，r1；（） 直线OA：x2y0，圆心C（2，0）到直线x2y0的距离d，|AB|22【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题19（15分）在正方体ABCDA1B1C1D1中（）求证：A1C1平面ABCD；（）求二面角A1BDC1的平面角的余弦值【分析】（）连接AC，在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1AC，再由线面平行的判定可得A1C1平面ABCD；（）找出二面角A1BDC1的平面角，再由余
24、弦定理求解【解答】（）证明：连接AC，交BD于O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，AA1CC1，四边形AA1C1C为平行四边形，则A1C1ACAC平面ABCD，A1C1平面ABCD，A1C1平面ABCD；（）解：连接A1O，C1O，则A1OBD，C1OBD，即A1OC1为二面角A1BDC1的平面角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则，在A1OC1 中，cosA1OC1二面角A1BDC1的平面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是关键，是中档题20（15分）如图，焦点为F的抛物线y22px（p0）过点Q（1
25、，m）（m0），且|QF|2（）求p的值；（）过点Q作两条直线l1，l2分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线l1，l2分别交x轴于C，D两点，若QCDQDC，证明：y1+y2为定值【分析】（）由抛物线的定义可得出p的值；（）先写出抛物线的方程，由条件QCDQDC，得出直线AQ和直线BQ的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式，可计算出y1+y24，进而证明结论成立【解答】解：（）抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得|QF|，得p2；（）由（）可知，抛物线的方程为y24x，将点Q的坐标代入抛物线的方程得m2414，m0，得m2，所以，点Q的坐标为（1，2）QCDQDC，所
26、以，直线AQ和BQ的斜率互为相反数则kAQ+kBQ所以y1+2+y2+20，因此y1+y24（定值）【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时可考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题21（15分）如图，在三棱锥EABC中，AE垂直于平面ABCACB90，ACBC2，AE1，点F为平面ABC内一点，记直线EF与平面BCE所成角为，直线EF与平面ABC所成角为（）求证：BC平面ACE；（）若sin，求sin的最小值【分析】（）推导出BCAC，AEBC，由此能证明BC平面ACE（）过点C作AE的平行线CD，则CD平面ABC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，作平面ABC的垂
27、线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sin的最小值【解答】证明：（）ACB90，BCACAE平面ABC，AEBC，ACAEA，BC平面ACE解：（）过点C作AE的平行线CD，则CD平面ABC，如图所示，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），E（2，0，1），设F（x，y，0），则（0，2，0），（2，0，1），（x2，y，1），设平面BCE的一个法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，2），sin，sin，整理，得（x4）26，解得4，AFE，sin，sin，当x4+，y0时，si
28、n取到最小值，且最小值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22（15分）如图，已知椭圆：+y21的左右顶点分别为A，B，过点M（1，0）的直线与椭圆交于C，D两点（异于A，B），直线AC与BD交于点P，直线AD与BC交于点Q（）设直线CA的斜率为k1，直线CB的斜率为k2，求k1k2的值；（）证明：直线PQ为定直线，并求该定直线的方程；（）求APQ面积的最小值【分析】（）由题意可得A（2，0），B（2，0），设C（x0，y0），（）由题意设直线CD方程为xmy+1，C（x1，y1
29、），D（x2，y2），由，my1y2直线AC的方程为：，直线BD方程为：，可得x（）设直线AC方程为：yk（x+2）P（4，6k），（k0）直线BC方程为：yQ（4，）|PQ|6k+即可得APQ面积的最小值【解答】解：（）由题意可得A（2，0），B（2，0），设C（x0，y0），可得（）由题意设直线CD方程为xmy+1，C（x1，y1），D（x2，y2），由（4+m2）y2+2my300恒成立，my1y2直线AC的方程为：，直线BD方程为：，由可得x点P的横坐标为4，同理可得点Q的横坐标为4，直线PQ为定直线：x4（）由（）可得直线PQ为定直线：x4设C（x1，y1），故设直线AC方程为：yk（x+2）P（4，6k），（k0）设直线BC方程为：yQ（4，）|PQ|6k+当且仅当k时取等号点A到直线PQ的距离为d4+26，APQ面积的最小值S【点评】本题考查椭圆的相关知识，直线与椭圆的位置关系的应用，考查学生运算能力、分析问题的能力，属难题