1、习题课数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3C5 D62用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12 B12C13 D12，f(8)，f(16)3，f(32).观察上述结果，可推测出一般结论()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不正确5用数学归纳法证明不等式1(nN)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D106已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A. B. C. D.二、填空题7用数学归纳法证明11)时，在第二步证明从n
2、k到nk1不等式成立时，左边增加的项数为_8用数学归纳法证明xnyn能被xy整除(n为正奇数)时，假设当nk(k为正奇数)时，命题成立，再证n_时，命题也成立9设f(n)1(nN)，那么f(n1)f(n)_.10用数学归纳法证明“凸n(n3，nN)边形的内角和公式”时，由nk到nk1时增加了_三、解答题11已知f(n)(2n7)3n9(nN)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除12是否存在常数a、b、c，使得等式122232342n(n1)2(an2bnc)对一切正整数成立？并证明你的结论13试比较2n2与n2的大小(nN)，并用数学归纳法证明你的结论四、探究与拓展14用数学归纳法证明122
3、2(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_15已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若不等式(1)(1)(1)对任意nN恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明答案精析1C2.B3.C4.C5.B6.B72k8.k29.1018011证明(1)当n1时，f(1)(27)3936，能被36整除(2)假设当nk(kN)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)2(k1)73k19(2k7)3k123k19(2k7)3k323k193(2k7)3k92723k193(2k7
4、)3k918(3k11)由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，即当nk1时，f(n)也能被36整除根据(1)和(2)可知，对一切正整数n，都有f(n)(2n7)3n9能被36整除12解假设存在a、b、c，使题中等式对一切正整数成立，则当n1,2,3时，上式显然也成立，可得解得a3，b11，c10.下面用数学归纳法证明等式122232342n(n1)2(3n211n10)对一切正整数均成立(1)当n1时，命题显然成立(2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立，即122232342k(k1)2(3k211k10)，则当nk1时，有122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k2
5、11k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10即当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何正整数n，等式都成立13解当n1时，212412，当n2时，222622，当n3时，2321032，当n4时，2421842，由此可以猜想，2n2n2(nN)成立下面用数学归纳法证明：当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边假设nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2，那么当nk1时，2k1222k22
6、(2k2)22k22.要证当nk1时结论成立，只需证2k22(k1)2，即证k22k30，即证(k1)(k3)0.又因为k10，k30，所以(k1)(k3)0.所以当nk1时，结论成立由可知，nN时，2n2n2.14(k1)2k215解(1)设数列an公差为d(d0)，由题意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等价于，当n1时，m；当n2时，m；而，所以猜想，m的最小值为.下面证不等式对任意nN恒成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，命题成立(2)假设当nk时，不等式成立，当nk1时，只要证 ，只要证，只要证2k2，只要证4k28k34k28k4，只要证34，显然成立所以，对任意nN，不等式恒成立