1、22最大值、最小值问题第1课时函数的最大值、最小值的求法一、选择题1设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)()A等于0 B小于0C等于1 D不确定考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求导数答案A解析因为Mm，所以f(x)为常数函数，故f(x)0，故选A.2函数f(x)x44x(|x|1)()A有最大值，无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，有最小值D既无最大值，也无最小值考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案D解析f(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)且1 (1,1)，函数f(x)在(1,1)上既无极
2、值也无最值，故选D.3函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2 B3C. D2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案B解析由f(x)0，得x1，且当x(0,1)时，f(x)0，当x1时，f(x)最小，最小值为f(1)3.4若函数f(x)asin xsin 3x在x处有最值，则a等于()A2 B1 C. D0考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案A解析f(x)在x处有最值，x是函数f(x)的极值点又f(x)acos xcos 3x，facoscos 0，解得a2.经验证，a2符合题意5已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g
3、(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上是减少的，F(x)maxF(a)f(a)g(a)6已知函数f(x)x22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案C解析由题意知a2，令f(x)2x20，则x1.当a1时，最大值为4，不符合题意当1a0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图像上的点(
4、1，f(1)处的切线方程是_考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435.又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)即15x3y20.10函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时，f(x)0，所以f(x)在上是增函数，故f(x)的最大值为f，f(x)的最小值为f(0).11已知yf(x)
5、是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为_考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0，得0x1，令f(x)1，所以f(x)在上是增加的，在(1，e上是减少的，所以f(x)在上的最大值为f(1).四、探究与拓展14已知函数f(x)x3x2xm在0,1上的最小值为，则实数m的值为_考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1.当x(1，1)时，f(
6、x)0，即函数f(x)在(1，1)上是减函数，即f(x)在0,1上为减函数，故f(x)在0,1上的最小值为f(1)，所以11m，解得m2.15已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解函数f(x)ln x的定义域为(0，)，f(x)，(1)a0，故函数在其定义域(0，)上是增加的f(x)的单调增区间为(0，)(2)当x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)是增加的，其最小值为f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，函数f(x)在1，e上是增加的，其最小值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)是增加的，所以，函数f(x)的最小值为f(a)ln a1，由ln a1，得a.当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)是减少的，其最小值为f(e)2，这与最小值是相矛盾；当ae时，显然函数f(x)在1，e上是减少的，其最小值为f(e)12，仍与最小值是相矛盾综上所述，a的值为.