1、2导数在实际问题中的应用21实际问题中导数的意义一、选择题1吹气球时，气球的体积V(r)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)r3，当半径为2 dm时体积的瞬时变化率为()A. B4 C12 D16考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案D解析V(r)4r2，V(2)42216，气球的体积V(r)在半径为2 dm时的瞬时变化率为16.2某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)t34t220t15，则s(1)的实际意义为()A汽车刹车后1 s内的位移B汽车刹车后1 s内的平均速度C汽车刹车后1 s时的瞬时速度D汽车
2、刹车后1 s时的位移考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案C解析由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度3某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，假设f(x)0恒成立，且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A公司已经亏损B公司的盈利在增加，但增加的幅度变小C公司在亏损且亏损幅度变小D公司的盈利在增加，增加的幅度变大考点导数在某点处的导数的几何意义题点导数在经济生活中的应用答案B解析因为导数的含义是变化率，f(10)f(20)0.4汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路
3、程s看作时间t的函数，其图像可能是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案A解析根据变化率的大小判断5细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AMx cm时，M处的细杆线密度(x)为()A2x B3x C4x D5x考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案C解析设m(x)kx2，当AM2时，m(2)k228，k2.m(x)2x2.(x)m(x)4x.6设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A成正比，比例系数为C
4、B成正比，比例系数为2CC成反比，比例系数为CD成反比，比例系数为2C考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案D解析根据题意知，VR3(t)，S4R2(t)，球的体积增长速度为V4R2(t)R(t)，球的表面积增长速度为S24R(t)R(t)球的体积以均匀速度C增长，球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.二、填空题7一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s3t2t，则速度v10时的时刻t_.考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案解析s6t110，t.8若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Qf(t)t2t80，t0,3
5、0，则f(15)_，它的实际意义是_考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案t15 s时的电流强度为 C/s9假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)的函数关系：p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是_元/年(1.05101.628，ln 1.050.049，结果精确到0.01)考点导数在实际问题中的应用题点导数在经济生活中的应用答案0.08解析因为p01，所以p(t)(15%)t1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t10时的函
6、数值因为p(t)(1.05t)1.05tln 1.05，所以p(10)1.0510ln 1.050.08.因此，在第10个年头，这种商品的价格以约0.08元/年的速度上涨10如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是_考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案25 000解析面积Sr2，半径r50t，S2 500t2.令r50t250，t5，又S5 000t，当t5时的膨胀率为5 000525 000.三、解答题11蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T(t)15，其中T(t)为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：mi
7、n)(1)从t0 min到t10 min，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t0 min到t10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T(5)，并说明它的实际意义考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用解(1)T(10)T(0)151516 ，所以蜥蜴的体温下降了16 .(2)平均变化率是1.6 /min，它表示从t0 min到t10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 .(3)由已知得T(t)，所以T(5)1.2，它表示t5 min时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 /min.12江轮逆水上行300 km，水速为6 km/h，船相对于水的速度为x
8、 km/h，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x2 L，即与船相对于水的速度的平方成正比(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：yf(x)；(2)求f(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度船相对水的速度水速)考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用解(1)船的实际速度为(x6) km/h，故全程用时 h，所以耗油量y关于x的函数关系式为yf(x)(x6)(2)f(x)3，f(36)2.88()，f(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时，耗油量增加的速度为2.88 ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h时，船的航行速度每增加1 km/h
9、，耗油量就要增加2.88 L.四、探究与拓展13在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s10t5t2(s的单位为m，t的单位为s)求：(1)t20，t0.1时的s与；(2)求t20时的瞬时速度考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用解(1)因为ss(20.1)s(20)(1020.1520.12)(10205202)21.05(m)，所以210.5(m/s)(2)因为s1010t，所以当t20时，s101020210(m/s)，即当t20时的瞬时速度为210 m/s.14水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，试求当水深10 m时，水面上升的速度考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用解设容器中水的体积在t min时为V，水深为h，则V20t，Vr2h(r如图所示)由图知，rh，V2h3h3，20th3，h ，于是h t，当h10时，t，此时h，当水深10 m时，水面上升的速度为 m/min.